13.2: Dinámica browniana

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La ecuación de Langevin para el movimiento de una partícula browniana se puede modificar para dar cuenta de una fuerza externa adicional, además de la fuerza de arrastre y la fuerza aleatoria. De la Segunda Ley de Newton:

\[ m \ddot{x} = f_d + f_r(t)+ f_{ext}(t) \nonumber \]

donde la fuerza añadida se obtiene del gradiente del potencial que experimenta:

\[ f_{ext} = -\dfrac{\partial U}{\partial x} \]

Con la relación fluctuación-disipación\( \langle f_r(t)f_r(t')\rangle = 2\zeta k_BT \delta (t-t')\), la ecuación de Langevin se convierte

\[ m\ddot{x} + (\partial U/\partial x)+\zeta \dot{x} - \sqrt{2\zeta k_BT } R(t)=0 \]

Aquí\(R(t)\) se refiere a una secuencia distribuida gaussiana de números aleatorios con\(⟨R(t)⟩ = 0\) y\(⟨R(t) R(t′)⟩ = δ(t ‒ t′)\).

Las simulaciones de dinámica browniana se realizan usando esta ecuación de movimiento en el límite de fricción dominado por difusión o fuerte\( |m\ddot{x}|\ll |\zeta \dot{x}|\). Entonces, podemos descuidar el movimiento inercial, y establecer la aceleración de la partícula a cero para obtener una expresión para la velocidad de la partícula

\[\dot{x} (t) = \dfrac{\dfrac{\partial U}{\partial x}}{\zeta} -\sqrt{2k_BT/\zeta} R(t) \nonumber \]

Luego integramos esta ecuación de movimiento en presencia de perturbaciones aleatorias para determinar la dinámica\(x(t)\).

Lecturas

R. Zwanzig, Mecánica Estadística de Noequilibrio. (Oxford University Press, Nueva York, 2001).
B. J. Berne y R. Pecora, Dispersión dinámica de luz: con aplicaciones a la química, la biología y la física. (Wiley, Nueva York, 1976).