3.15: Problemas

Problemas

1. A cada lanzamiento de un dado, el dado aterriza con una cara en la parte superior. Este rostro se distingue de las otras cinco caras por el número de puntos que aparecen en él. Tirar un dado produce datos. ¿Cuál es la distribución? ¿Cuál es la variable aleatoria de esta distribución? ¿Qué resultados son posibles para esta distribución? ¿Cómo recogeríamos una muestra de diez valores de la variable aleatoria de esta distribución?

2. Supongamos que tiramos un dado tres veces y promediamos los resultados observados. ¿Cómo describiría la distribución de la que se deriva este promedio? ¿Cuál es la variable aleatoria de esta distribución? ¿Qué resultados son posibles para esta distribución? ¿Qué haríamos para recolectar una muestra de diez valores de la variable aleatoria de esta distribución?

3. Supongamos que lanzamos tres dados simultáneamente y promediamos los resultados observados. ¿Cómo describiría la distribución de la que se deriva este promedio? ¿Cuál es la variable aleatoria de esta distribución? ¿Qué resultados son posibles para esta distribución? ¿Qué haríamos para recolectar una muestra de diez valores de la variable aleatoria de esta distribución? Supongamos que algún tercero recoge un conjunto, lo llaman A, de diez valores de esta distribución y un segundo conjunto, lo llaman B, de valores de la distribución en el problema 2. Si se nos dan los datos en cada conjunto pero no se nos dice qué etiqueta va con qué conjunto de datos, ¿podemos analizar los datos para determinar qué conjunto es A y cuál es B?

4. El proceso de fabricación de un componente electrónico produce 3 componentes malos por cada 1000 componentes producidos. Los componentes malos aparecen aleatoriamente. ¿Cuál es la probabilidad de que

(a) un componente seleccionado aleatoriamente es malo?

(b) un componente seleccionado al azar es bueno?

c) ¿Se producen dos componentes malos en sucesión?

d) ¿Se producen 100 buenos componentes en sucesión?

5. Un producto incorpora dos de los componentes en el problema anterior. ¿Cuál es la probabilidad de que

(a) ¿ambos componentes son buenos?

(b) ¿ambos componentes son malos?

(c) un componente es bueno y un componente es malo?

(d) al menos un componente es bueno?

6. Una carta se selecciona al azar de una baraja bien barajada. Luego se selecciona una segunda carta al azar de entre las 51 cartas restantes. ¿Cuál es la probabilidad de que

(a) ¿la primera tarjeta es un corazón?

(b) ¿la segunda tarjeta es un corazón?

(c) ¿ni la tarjeta es un corazón?

(d) ¿ambas cartas son corazones?

(e) al menos una tarjeta es un corazón?

7. Una clase graduada cuenta con 70 hombres y 77 mujeres. ¿Cuántas combinaciones de rey y reina del regreso a casa son posibles?

8. Después de seleccionar a la reina de la clase graduada del problema 7, se selecciona a una mujer para “primera asistente” de la reina del regreso a casa. A partir de entonces, otra mujer es seleccionada para ser “segunda asistente”. Después de seleccionar a la reina, ¿de cuántas formas se pueden seleccionar dos asistentes?

9. Se enrollan un dado rojo y un dado verde. ¿Cuál es la probabilidad de que

(a) ambos suben 3?

(b) ambos salen igual?

(c) ¿vienen diferentes?

d) ¿el dado rojo sube menos que el verde?

e) ¿el dado rojo sube exactamente dos menos que el verde?

(f) juntos muestran 5?

10. Un programa de juegos de televisión ofrece a un concursante un auto nuevo como premio por adivinar correctamente cuál de las tres puertas está detrás el auto. Después de que el concursante seleccione una puerta, el presentador del programa de juegos abre una puerta incorrecta. El anfitrión le da entonces al concursante la opción de cambiar de la puerta que originalmente eligió a la otra puerta que permanece sin abrir. ¿Debería el concursante cambiar su selección?

[Pista: Considere el conjunto final de resultados que resultan de una secuencia de tres elecciones. Primero, el productor del programa de juegos selecciona una puerta y coloca el auto detrás de esta puerta. Diagrama de las posibilidades. ¿Cuál es la probabilidad de cada uno? Segundo, el concursante selecciona una puerta. Ahora hay nueve posibles resultados. Diagrémalos. ¿Cuál es la probabilidad de cada uno? Tercero, el anfitrión abre una puerta. Ahora hay doce posibles resultados. Diagrémalos. ¿Cuál es la probabilidad de cada uno? Obsérvese que estas doce posibilidades no son todas igualmente probables.]

11. Para una distribución particular, los valores posibles de la variable aleatoria,\(x\), van de cero a uno. La función de densidad de probabilidad para esta distribución es\({df}/{dx}=1\).

(a) Demostrar que la probabilidad de encontrar\(x\) en el rango\(0\le x\le 1\) es de uno.

b) ¿Cuál es el medio de esta distribución?

c) ¿Cuál es la varianza de esta distribución? ¿La desviación estándar?

(d) Una cantidad,\(g\), es una función de x:\(g\left(x\right)=x^2\). ¿Cuál es el valor esperado de\(g\)?

12. Para una distribución particular, los valores posibles de la variable aleatoria,\(\ x\), van de uno a tres. La función de densidad de probabilidad para esta distribución es\({df}/{dx}=cx\), donde c es una constante.

a) ¿Cuál es el valor de la constante, c?

b) ¿Cuál es el medio de esta distribución?

c) ¿Cuál es la varianza de esta distribución? ¿La desviación estándar?

d) Si\(g\left(x\right)=x^2\), ¿cuál es el valor esperado\(g\)?

13. Para una distribución particular, los valores posibles de la variable aleatoria,\(x\), van de dos a cuatro. La función de densidad de probabilidad para esta distribución es\({df}/{dx=cx^3}\), donde c es una constante.

a) ¿Cuál es el valor de la constante, c?

b) ¿Cuál es el medio de esta distribución?

c) ¿Cuál es la varianza de esta distribución? ¿La desviación estándar?

d) Si\(g\left(x\right)=x^2\), ¿cuál es el valor esperado\(g\)?

14. Para una distribución particular, los valores posibles de la variable aleatoria,\(x\), van de cero a cuatro. Para\(0\le x\le \le 1\), la función de densidad de probabilidad es\({df}/{dx}={x}/{2}\). Para\(1, the probability density function is \({df}/{dx}={\left(4-x\right)}/{6}\).

(a) Demostrar que el área bajo esta función de distribución de probabilidad es una.

b) ¿Cuál es el medio de esta distribución?

c) ¿Cuál es la varianza de esta distribución? ¿La desviación estándar?

d) Si\(g\left(x\right)=x^2\), ¿cuál es el valor esperado\(g\)?

15. Los siguientes valores,\(x_i\), de la variable aleatoria,\(x\), se extraen de una distribución:\(9.63\),\(9.00\),\(11.87\),\(10.13\),\(10.83,\ 9.50\),\(10.40\),\(9.83\), y\(10.09\).

(a) Organizar estos valores en orden creciente y calcular la “probabilidad de rango”\({i}/{\left(N+1\right)}\), asociada a cada uno de los\(x_i\) valores.

(b) Trazar la probabilidad de rango (en la ordenada) versus el valor de la variable aleatoria (en la abscisa). Dibuja una curva suave a través de los puntos de esta gráfica.

(c) ¿Qué función se aproxima por la curva esbozada en la parte b?

d) Trazar los puntos de datos a lo largo de un eje horizontal. Luego crea un gráfico de barras (histograma) levantando barras de igual área entre cada par de puntos de datos.

e) ¿Qué función se aproximan por las partes superiores de las barras erigidas en la parte d?

16. Para una distribución particular, los valores posibles de la variable aleatoria oscilan entre cero y cuatro. De esta distribución se extraen los siguientes valores de la variable aleatoria:\(0.1\),\(1.0\),\(1.1\),\(1.5\),\(2.1\). Dibuje una función de densidad de probabilidad aproximada para esta distribución.

17. Los valores posibles para la variable aleatoria de una distribución particular se encuentran en el rango\(0\le x\le 10\). En seis ensayos se obtienen los siguientes valores:\(1.0\),\(1.9\),\(2.3\),\(2.7\),\(3.0\),\(3.8\).

(a) Esbozar una función de densidad de probabilidad aproximada para esta distribución.

b) ¿Cuál es la mejor estimación que podamos hacer de la media de esta distribución?

c) ¿Cuál es la mejor estimación que podemos hacer de la varianza de esta distribución?

d) ¿Cuál es la mejor estimación que podemos hacer de la varianza de los promedios de seis extraídos de esta distribución?

e) ¿Cuál es la mejor estimación que podemos hacer de la varianza de los promedios de dieciséis extraídos de esta distribución?

18. Un programa de computadora genera números a partir de una distribución normal con una media de cero y una desviación estándar de\(10\). También, para cualquier entero\(N\), el programa generará y promediará\(N\) valores a partir de esta distribución. Repetirá esta operación hasta que haya producido 100 de tales promedios. Posteriormente calculará la desviación estándar estimada de estos valores\(100\) promedio. La siguiente tabla da diversos valores de\(N\) y la desviación estándar estimada,\(s\), que se encontró para\(100\) promedios de esa\(N\). Trazar estos datos de manera que pruebe la validez del teorema del límite central.

\(N\)	\(s\)
4	5.182
9	2.794
16	2.206
25	2.152
36	1.689
49	1.092
64	1.001
81	1.004
100	1.074
144	0.601
196	0.546
256	0.690
324	0.545

19. Si\(f\left(u\right)\) es la función de distribución de probabilidad acumulativa para una distribución, ¿cuál es el valor esperado de\(f\left(u\right)\)? ¿Qué interpretación le puede dar a este resultado?

20. Cinco repeticiones de un análisis volumétrico arrojan estimaciones de concentración de\(0.3000\)\(0.3008\),,\(0.3012\),\(0.3014\), y\(\ 0.3020\) mol\({\mathrm{L}}^{-1}\). Calcular la probabilidad de rango de cada uno de estos resultados. Dibuje, sobre el rango de concentración\(0.3000<0.3020\) > mol\({\mathrm{L}}^{-1}\), una aproximación de la función de distribución de probabilidad acumulativa para la distribución que arrojó estos datos.

21. Los Louisville Mudhens juegan en un campo de béisbol cuadrado que mide\(100\) metros en un costado. Los golpes de Casey siempre caen en el campo. (Nunca golpea una bola faltante o golpea a una fuera del parque.) La función de densidad de probabilidad para la distancia que un golpe de Casey va paralela a la línea de primera base es\({df_x\left(x\right)}/{dx=\left(2\times {10}^{-4}\right)x}\). (Es decir, tomamos la línea de primera base como nuestro\(x\) eje; la línea de tercera base como nuestro\(y\) eje; y la placa base está en el origen. \({df_x\left(x\right)}/{dx}\)es independiente de la distancia que recorra el golpe paralelo a la línea de tercera base, nuestro\(y\) eje.) La función de densidad de probabilidad para la distancia que un golpe de Casey va paralela a la línea de tercera base es\({df_y\left(y\right)}/{dy}=\left(3\times {10}^{-6}\right)y^2\). (\({df_y\left(y\right)}/{dy}\)es independiente de la distancia que el golpe vaya paralelo a la línea de primera base, nuestro\(x\) eje.)

(a) ¿Cuál es la probabilidad de que un Casey golpee aterrice en un punto\(\left(x,y\right)\) tal que\(x^*<x^*+dx\) > y\(y^*<y^*+dy\) >?

b) ¿Cuál es la función bidimensional de densidad de probabilidad que describe los aciertos de Casey, expresada en este sistema de coordenadas cartesianas?

(c) Recordemos que las coordenadas polares se transforman en coordenadas cartesianas de acuerdo con\(x=r{\mathrm{cos} \theta \ }\) y\(y=r{\mathrm{sin} \theta \ }\). ¿Cuál es la función de densidad de probabilidad para los golpes de Casey expresada usando coordenadas polares?

d) Recordemos que el elemento diferencial de área en coordenadas polares es\(rdrd\theta\). Encuentra la probabilidad de que un Casey golpee aterrice dentro del área en forma de pastel delimitada por\(0<50\) > m y\(0<\theta <{\pi }/{4}\).

22. En el Capítulo 2, derivamos la Fórmula Barométrica,\(\eta \left(h\right)=\eta \left(0\right)\mathrm{exp}\left({-mgh}/{kT}\right)\) para moléculas de masa\(m\) en una atmósfera isotérmica a una altura\(h\) por encima de la superficie de la tierra. \(\eta \left(h\right)\)es el número de moléculas por unidad de volumen a la altura\(h\);\(\eta \left(0\right)\) es el número de moléculas por unidad de volumen en la superficie terrestre, donde\(h=0\). Considere un cilindro vertical de área de sección transversal unitaria, que se extiende desde la superficie terrestre hasta una altura infinita. Dejar\(f\left(h\right)\) ser la fracción de las moléculas en este cilindro que se encuentra a una altura menor que\(h\). Demostrar que la función de densidad de probabilidad es\({df}/{dh=\left({mg}/{kT}\right)\mathrm{exp}\left({-mgh}/{kT}\right)}\).

23. Una distribución particular tiene seis resultados. Estos resultados y sus probabilidades son\(a\) [GrindeQ__0_1_];\(b\) [GrindeQ__0_2_];\(c\) [GrindeQ__0_3_];\(d\) [GrindeQ__0_2_];\(\ e\) [GrindeQ__0_1_]; y\(f\) [GrindeQ__0_1_].

(a) Partición I asigna estos resultados a un conjunto de tres eventos: Evento\(A\)\(=\ a\) o\(b\) o\(c\); Evento\(B\) =\(d\); y Evento\(C\ =\ e\) o\(f.\) ¿Cuáles son las probabilidades de Eventos\(A\),\(B\), y\(C\)?

(b) La partición II asigna los resultados a dos eventos: Evento\(D\ =\ a\) o\(b\) o\(c\); y Evento\(E\ =\ d\) o\(e\) o\(f\). ¿Cuáles son las probabilidades de Eventos\(D\) y\(E\)? Expresar las probabilidades de Eventos\(D\) y\(E\) en términos de las probabilidades de Eventos\(A\),\(B\), y\(C\).

(c) La partición III asigna los resultados a tres eventos: Evento\(F\ =\ a\) o\(b\); Evento\(G\ =\ c\) o\(d\); y Evento\(H\ =\ e\) o\(f\). ¿Cuáles son las probabilidades de los Eventos\(F\),\(G\), y\(H\)? ¿Pueden las probabilidades de los Eventos\(F\)\(G\),, y\(H\) ser expresadas en términos de las probabilidades de los Eventos\(A\),\(B\), y\(C\)?

24. Considere una partición de los resultados en eventos que no sea exhaustiva; es decir, no todos los resultados se asignan a un evento. ¿Qué problema surge cuando queremos describir las probabilidades de estos eventos?

25. Considere una partición de los resultados en eventos que no sean mutuamente excluyentes; es decir, uno (o más) resultados se asignan a dos (o más) eventos. ¿Qué problema surge cuando queremos describir las probabilidades de estos eventos?

26. Para valores enteros de p\(\left(p\neq 1\right)\), encontramos

\[\int{x^p{ \ln \left(x\right)\ }dx}=\left(\frac{x^{p+1}}{p+1}\right){ \ln \left(x\right)\ }-\frac{x^{p+1}}{{\left(p+1\right)}^2}\]

(a) Esbozar la función,\(h\left(x\right)={df\left(x\right)}/{dx}=-4x{ \ln \left(x\right)\ }\), a lo largo del intervalo\(0\le x\le 1\).

(b) Demostrar que podemos considerar como una función de densidad de probabilidad\(h\left(x\right)={df\left(x\right)}/{dx}=-4x{ \ln \left(x\right)\ }\) a lo largo de este intervalo; es decir, mostrar\(f\left(1\right)-f\left(0\right)=1\). Nombremos a la distribución correspondiente “Sam”.

(c) ¿Cuál es la media,\(\mu\), de Sam?

d) ¿Cuál es la varianza,\({\sigma }^2\), de Sam?

e) ¿Cuál es la desviación estándar,\(\sigma\), de Sam?

f) ¿Cuál es la varianza de los promedios de cuatro muestras tomadas de Sam?

g) Los siguientes cuatro valores se obtienen en muestreo aleatorio de distribución desconocida: 0.050; 0.010; 0.020; y 0.040. Estimar la media\(\mu\), varianza (\({\sigma }^2\)o\(s^2\)), y la desviación estándar (\(\sigma\)o s) para esta distribución desconocida.

(h) ¿Cuál es la probabilidad de que una sola muestra extraída de Sam se encuentre en el intervalo\(0\le x\le 0.10\)? Nota: El límite superior de este intervalo es 0.10, no 1.0 como en la parte (a).

(i) ¿Es probable que la distribución desconocida muestreada en la parte g sea de hecho la distribución que llamamos Sam? ¿Por qué, o por qué no?

27. Definimos la media,\(\mu\), como el valor esperado de la variable aleatoria:\(\mu =\int^{\infty }_{-\infty }{u\left({df}/{du}\right)}du\). Definir\(\overline{u}=\sum^N_{i=1}{\left({u_i}/{N}\right)}\), donde los\(u_i\) son N valores independientes de la variable aleatoria. Demostrar que el valor esperado de\(\overline{u}\) es\(\mu\).

28. Una caja contiene una gran cantidad de bolas de plástico. Un entero,\(W,\) en el rango\(1\le W\le 20\) se imprime en cada bola. Hay muchas bolas impresas con cada entero. El entero especifica la masa de la bola en gramos. De la caja se extraen seis muestras aleatorias de tres bolas cada una. Las bolas son reemplazadas y la caja se agita entre dibujos. Los números en las bolas en los dibujos I a VI son:

I: 3, 4, 9

II: 1, 6, 17

III: 2, 5, 8

IV: 2, 6, 7

V: 3, 5, 6

VI: 2, 3, 10

a) ¿Cuáles son los conjuntos poblacionales representados por las muestras I a VI?

b) Esbozar la función de densidad de probabilidad estimada a partir de la muestra I.

c) Esbozar la función de densidad de probabilidad estimada a partir de la muestra II

d) Utilizando los datos de las muestras I a VI, estimar la probabilidad de sacar una bola de cada masa en un solo ensayo.

e) Esbozar la función de densidad de probabilidad estimada a partir de los valores de probabilidad en la parte (d).

(f) A partir de los datos de la muestra I, estimar la masa promedio de una pelota en el cuadro.

(g) A partir de los datos de la muestra II, estimar la masa promedio de una bola en el cuadro.

(h) A partir de los valores de probabilidad calculados en la parte (d), estimar la masa promedio de una pelota en el cuadro.