1.E: Ejercicios
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Q1.1
Los átomos o iones en un cristal están dispuestos en matrices regulares según lo tipificado por la estructura reticular simple que se muestra en las Fig. 1-2.
Fig. 1-2. Una pantalla bidimensional de una simple celosía cristalina que muestra un haz entrante y un haz reflejado de rayos X.
Esta estructura se repite en la tercera dimensión. Los rayos X son una forma de luz con una longitud de onda muy corta. Dado que los espaciamientos entre los planos de átomos en un cristal, denotados por d, son del mismo orden de magnitud de la longitud de onda de los rayos X (~10-8 cm), un haz de rayos X reflejado desde el cristal exhibirá efectos de interferencia. Es decir, las capas de átomos en el cristal actúan como una rejilla de difracción. El haz reflejado de rayos X estará en fase si la diferencia en la longitud de la trayectoria seguida de ondas que golpean capas sucesivas en el cristal es un número integral de longitudes de onda. Cuando esto ocurre los rayos X reflejados se refuerzan entre sí y producen un haz de alta intensidad para ese ángulo de mirada particular q. Para algunos otros valores del ángulo q, la diferencia en las longitudes de trayectoria no será igual a un número integral de longitudes de onda. Las ondas reflejadas estarán entonces desfasadas y la interferencia resultante disminuirá en gran medida la intensidad del haz reflejado. La diferencia en la longitud de trayectoria atravesada por las ondas reflejadas por capas adyacentes es de 2 d sin q como se indica en el diagrama. Por lo tanto,
| (6) | \[ n\lambda = 2d\sin \theta\] |
con\(n= 1,2,3...\)
que establece que el haz reflejado será intenso en aquellos ángulos para los cuales la diferencia en la longitud de la trayectoria es igual a un número entero de longitudes de onda. Así se produce un patrón de difracción, variando la intensidad del haz de rayos X reflejado con el ángulo q de mirada.
a)
Mediante el uso de rayos X con una longitud de onda conocida y observando los ángulos de máxima intensidad para el haz reflejado, se pueden determinar las distancias entre los átomos en un cristal, la cantidad d en la ecuación (1.E.1) también (6). Por ejemplo, los rayos X con una longitud de onda de 1.5420 C producen una intensa reflexión de primer orden (n = 1 en la ecuación (1.E.1) también (6)) en un ángulo de 21.01° cuando se dispersa desde un cristal de níquel. Determinar los espaciamientos entre los planos de los átomos de níquel.
b)
Notablemente, los electrones exhiben el mismo tipo de patrón de difracción que los rayos X cuando se reflejan desde un cristal; esto proporciona una verificación de la predicción de Broglie. El experimento realizado por Davisson y Germer empleó electrones de baja energía que no penetran en el cristal. (Los electrones de alta energía sí.) En su experimento la difracción de los electrones fue causada por los átomos de níquel en la superficie del cristal. Un haz de electrones con una energía de 54 ev se dirigió en ángulo recto a una superficie de un cristal de níquel con d = 2.15 C. Muchos electrones se reflejan hacia atrás, pero se observó un haz reflejado intenso y agudo en un ángulo de 50° con respecto al haz incidente.
Fig. 1-3. El experimento clásico de Davisson y Germer: la dispersión de electrones de baja energía desde la superficie de un cristal de níquel.
Como se indica en las Fig. 1-3, la condición para el refuerzo usando una rejilla de reflexión plana es
| (7) |
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usando la ecuación (1.E.2) también (7) con\(n=1\) para el pico intenso de primer orden. Observado a 50°, calcular la longitud de onda de los electrones. Compare este valor experimental para l con el calculado usando la relación de Broglie.
| (8) |
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El impulso m u puede calcularse a partir de la energía cinética de los electrones usando la ecuación (5) en el sitio web.
c)
Incluso los neutrones y los átomos exhibirán efectos de difracción cuando se dispersen de un cristal. En 1994 el profesor Brockhouse de la Universidad McMaster compartió el premio Nobel de Física con el profesor Shull del MIT por su trabajo sobre la dispersión de neutrones por sólidos y líquidos. El profesor Brockhouse demostró cómo se puede utilizar la dispersión inelástica de neutrones para obtener información sobre los movimientos de los átomos en sólidos y líquidos. Calcular la velocidad de los neutrones lo que producirá una reflexión de primer orden para q = 30° para un cristal con d = 1.5 '10 -8 cm. Los neutrones penetran en un cristal y por lo tanto la ecuación (6) también (1.E.1) debe usarse para determinar l. La masa del neutrón es de 1.66 '10 -24 g.
d)
Los neutrones obtenidos de un reactor atómico tienen altas velocidades. Se pueden ralentizar al permitirles entrar en equilibrio térmico con un material frío. Esto generalmente se hace pasándolos a través de un bloque de carbono. La relación de la teoría cinética entre la energía cinética promedio y la temperatura absoluta,
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se puede aplicar a los neutrones. Calcular la temperatura del bloque de carbono que producirá un suministro abundante de neutrones con velocidades en el rango requerido para el experimento descrito en (c).