3.1: Introducción

El estudio del átomo de hidrógeno es más complicado que nuestro ejemplo anterior de un electrón confinado para moverse en una línea. No sólo el movimiento del electrón ocurre en tres dimensiones sino que también hay una fuerza que actúa sobre el electrón. Esta fuerza, la fuerza electrostática de atracción, es la encargada de mantener unido al átomo. La magnitud de esta fuerza viene dada por el producto de las cargas nucleares y electrónicas divididas por el cuadrado de la distancia entre ellas. En el ejemplo anterior de un electrón confinado para moverse sobre una línea, la energía total era de origen completamente cinético ya que no había fuerzas que actuaran sobre el electrón. En el átomo de hidrógeno sin embargo, la energía del electrón, debido a la fuerza ejercida sobre él por el núcleo, consistirá en una energía potencial (una que depende de la posición del electrón con respecto al núcleo) así como una energía cinética. La energía potencial\(V(r)\) que surge de la fuerza de atracción entre el núcleo y el electrón es:

\[V(r) = \dfrac{-e^2}{r}\]

Imaginemos por el momento que el protón y el electrón se comportan clásicamente. Entonces, si el núcleo se mantiene fijo en el origen y se permite que el electrón se mueva con relación al mismo, la energía potencial variaría de la manera indicada en la Fig. 3-1. La energía potencial es independiente de la dirección en el espacio y depende únicamente de la distancia r entre el electrón y el núcleo. Así, la Fig. 3-1 se refiere a cualquier línea dirigida desde el núcleo hasta el electrón. El eje r en la figura puede tomarse literalmente como una línea a través del núcleo. Ya sea que el electrón se mueva hacia la derecha o hacia la izquierda, la energía potencial varía de la misma manera.

Fig. 3-1. La energía potencial de interacción entre un núcleo (en el origen) y un electrón en función de la distancia r entre ellos.

La energía potencial es cero cuando las dos partículas están muy separadas (r = ¥), y es igual a menos infinito cuando r es igual a cero. Tomaremos la energía para r = ¥ como nuestro cero de energía. Cada energía se medirá en relación con este valor. Cuando se forma un átomo estable, el electrón es atraído hacia el núcleo, r es menor que el infinito, y la energía será negativa. Un valor negativo para la energía implica que la energía debe ser suministrada al sistema si el electrón va a superar la fuerza atractiva del núcleo y escapar del átomo. El electrón ha vuelto a “caer en un pozo potencial”. Sin embargo, la forma del pozo ya no es una simple cuadrada como se consideraba anteriormente para un electrón confinado para moverse sobre una línea, sino que tiene la forma mostrada en la Fig. 3-1. Esta forma es consecuencia de que existe una fuerza que actúa sobre el electrón y por lo tanto una contribución de energía potencial que depende de la distancia entre las dos partículas. Esta es la naturaleza del problema. Ahora veamos qué predice la mecánica cuántica para el movimiento del electrón en tal situación.