30.5: Una colisión reactiva se puede describir en un sistema de coordenadas de centro de masa

Aplicaremos un sistema de coordenadas de centro de masa a la reacción bimolecular de gases ideales

\[\ce{B(g) + Q(g) -> F(g) + G(g)} \nonumber \]

desarrollar un modelo mejorado de cinética de reacción que produzca valores teóricos que representen de manera más cercana los resultados experimentales. En este modelo, las moléculas reaccionantes viajarán a velocidades\(\vec{v}_B\) y\(\vec{v}_Q\) antes de la colisión. Las moléculas del producto viajarán a velocidades\(\vec{v}_F\) y\(\vec{v}_G\) después de la colisión.

La velocidad y la energía cinética del centro de masa

El centro de masa de dos objetos debe estar a lo largo de una línea recta dibujada entre los centros de los dos objetos. Debido a que las dos moléculas se dirigen una hacia la otra, la línea entre ellas cambiará de tamaño y se puede representar mejor con el vector,\(\vec{r}\), dónde\(\vec{r} = \vec{r}_B - \vec{r}_Q\). El centro de masa previa a la reacción,\(\textbf{R}\) se define como

\[\textbf{R} = \dfrac{m_B \textbf{r}_B + m_Q \textbf{r}_Q}{M} \nonumber \]

donde\(m_B\) y\(m_Q\) son las masas de los reactivos individuales, y\(M\) es la masa total,\(m_B + m_Q\).

La velocidad es\(\dfrac{d\vec{r}}{dt}\), y así la velocidad del centro de masa,\(\vec{v}_{cm}\) es

\[\vec{v}_{cm} = \dfrac{m_B \vec{v}_B + m_Q \vec{v}_Q}{M} \nonumber \]

La energía cinética del sistema de reacción es

\[\text{KE}_{react} = \dfrac{1}{2}m_Bv_B^2 \, + \, \dfrac{1}{2}m_Qv_Q^2 \nonumber \]

Esta ecuación se puede reescribir como

\[\text{KE}_{react} = \dfrac{1}{2}Mv_{cm}^2 \, + \, \dfrac{1}{2}\mu v_r^2 \label{30.5.1} \]

Aquí,\(\mu\) es la masa reducida y la velocidad real de las partículas colisionantes es\(v_r = |\vec{v}_r| = | \vec{v}_B | - | \vec{v}_Q | \). Debido a que estamos asumiendo que tenemos gases ideales, KE _react es una constante para el centro de masa.

La Reacción

Como se muestra en la ecuación\(\ref{30.5.1}\), la energía cinética de los reactivos móviles consta de dos partes, una por el movimiento relativo de las dos partículas reaccionantes y otra por el movimiento del centro de masa. La energía debida al movimiento del centro de masa no contribuirá a la reacción, como pronto se mostrará. Solo la energía debida al movimiento relativo de las moléculas reaccionantes\(\frac{1}{2}\mu v_r^2\) contribuirá a superar la barrera energética de la energía de la reacción. Y sólo una fracción de esa energía contribuirá porque las moléculas no están colisionando de frente. La figura\(\PageIndex{1}\) da una vista del progreso de la reacción en varios momentos.

Figura\(\PageIndex{1}\): Diagrama que muestra el progreso de una colisión de reacción que ocurre a lo largo de la trayectoria del centro de masa a medida que pasa el tiempo. La velocidad del centro de masa permanece constante en todo momento. La energía que puede ser aportada hacia la reacción por cada partícula reaccionante es el componente de su propia velocidad que es colineal con la dirección de colisión. Como muestra la Ecuación\(\ref{30.5.1}\), esta contribución de energía de las partículas reaccionantes se combina en el término\(\frac{1}{2}\mu v_r^2\). (CC BY-NC; Ümit Kaya vía LibreTexts)

Eliminación del Término del Centro de Masa

Una vez\(\ce{F}\) y se\(\ce{G}\) han formado, el centro de masa posterior a la reacción,\(\textbf{R}\) se define como

\[\textbf{R} = \dfrac{m_F \vec{r}_F + m_G \vec{r}_G}{M}\nonumber \]

donde\(m_F\) y\(m_G\) son las masas de los reactivos individuales, y\(M\) es la masa total,\(m_F + m_G\). Eso significa que la velocidad del centro de masa,\(\vec{v}_{cm}\) es

\[\vec{v}_{cm} = \dfrac{m_F \vec{v}_F + m_G \vec{v}_G}{M} \nonumber \]

La energía cinética del sistema de reacción es

\[\text{KE}_{react} = \dfrac{1}{2}m_Fv_F^2 \, + \, \dfrac{1}{2}m_Gv_G^2 \nonumber \]

Esta ecuación se puede reescribir como

\[\text{KE}_{react} = \dfrac{1}{2}Mv_{cm}^2 \, + \, \dfrac{1}{2}\mu_P v_{P_r}^2 \nonumber \]

Debido a que los productos tienen diferentes masas individuales que los reactivos, la masa reducida\(\mu_P \) y la velocidad relativa\(v_{P_r} \nonumber\) de los productos deben indicarse como que tienen valores diferentes a los de los reactivos. La masa total se conserva, sin embargo, como es\(\vec{v}_{cm}\), la velocidad del centro de masa. Debido a que el impulso lineal debe conservarse,

\[m_B\vec{v}_B + m_Q\vec{v}_Q = m_F\vec{v}_F + m_G\vec{v}_G = M\vec{v}_{cm}\nonumber \]

Debido a que la masa se conserva y la velocidad del centro de masa es constante, la contribución de energía del movimiento del centro de masa también es constante, y por lo tanto no contribuye a la energía cinética utilizada para lograr una colisión de reacción exitosa.

Estimación de la Energía Interna Total

Usando el modelo de centro de masa para una reacción, hemos encontrado los términos de energía cinética para los reactivos,\(\frac{1}{2}\mu v_r^2 \), y productos,\(\frac{1}{2}\mu_Pv_{P_r}^2 \). Así nos dice la ley de conservación de la energía

\[E_{Reactant_{(internal)}} + \dfrac{1}{2}\mu v_r^2 = E_{Product_{(internal)}} + \dfrac{1}{2}\mu_Pv_{P_r}^2 \nonumber \]

Esta relación puede ser reescrita como

\[E_{Reactant_{(internal)}} + E_{Reactant_{(translational)}} = E_{Product_{(internal)}} + E_{Product_{(translational)}} \nonumber \]

o

\[E_{R_{(int)}} + E_{R_{(trans)}} = E_{P_{(int)}} + E_{P_{(trans)}} \nonumber \]

La velocidad de los productos se puede definir en base a las leyes de conservación de la energía y el impulso. Desafortunadamente,\(\vec v_{P_r}\) no se puede determinar el ángulo entre el vector de velocidad de los reactivos\(\vec v_r\) y el vector de velocidad de los productos porque las moléculas de los productos pueden dispersarse teóricamente desde la colisión en cualquier dirección.