A1: Derivando la Ley de Distribución de Planck

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Albert Einstein desarrolló un análisis simple pero efectivo de la emisión inducida y absorción de radiación junto con la emisión espontánea que puede ser utilizada para derivar la fórmula de Planck para la radiación térmica.

Considera dos niveles de energía para las moléculas en un material. El menor de los dos se denota como\(E_1\) y el más alto como\(E_2\). Se supone que la probabilidad de una transición del nivel 1 al nivel 2 a través de la absorción inducida es proporcional a la densidad de energía por unidad de intervalo de frecuencia, (\(du/d \nu\)). Asimismo, se supone que la probabilidad de una transición inducida desde el nivel 2 hasta el nivel 1 también es proporcional a (\(du/d\nu\)). Estas dos probabilidades se toman para ser\(B_{12}(du/d\nu)\) y\(B_{21}(du/d\nu)\), respectivamente, dónde\(B_{12}\) y\(B_{21}\) son constantes. Se supone que la probabilidad de una emisión espontánea es una constante\(A_{21}\).

Dejar\(N_1\) y\(N_2\) ser el número de moléculas en los estados energéticos 1 y 2, respectivamente. Para el equilibrio, el número de transiciones de 1 a 2 tiene que ser igual al número de 2 a 1; es decir,

\[\underbrace{N_1\left[B_{12}\left(\dfrac{du}{d\nu}\right)\right]}_{\text{flow up}} = \underbrace{N_2\left[B_{21}\left(\dfrac{du}{d\nu} \right)+ A_{21} \right]}_{\text{flow down}} \nonumber \]

Esto significa que la proporción de las ocupaciones de los niveles de energía debe ser

\[\dfrac{N_2}{N_1} = \dfrac{B_{12}\left(\dfrac{du}{d\nu}\right)}{ B_{21}\left(\dfrac{du}{d\nu}\right) + A_{21}} \label{einstein2} \]

Pero las ocupaciones vienen dadas por la distribución de Boltzmann como

\[N_1 = N_0 \exp \left(− \dfrac{E_1}{kT} \right) \nonumber \]

\[N_2 = N_0 \exp \left(−\dfrac{E_2}{kT} \right) \nonumber \]

donde\(k\) es la constante de Boltzmann y\(T\) es la temperatura absoluta. \(N_0\)es solo una constante que es irrelevante para el resto del análisis.

Así, según la distribución de Boltzmann

\[\dfrac{N_2}{N_1} = \exp \left(−\dfrac{E_2−E_1}{kT} \right) \label{boltz2} \]

Por lo tanto, para el equilibrio radiativo, las ecuaciones\ ref {boltz2} y\ ref {einstein2} se pueden establecer entre sí y

\[\exp\left(−\dfrac{E_2−E_1}{kT} \right) = \dfrac{B_{12}\left(\dfrac{du}{d\nu}\right)}{ B_{21}\left(\dfrac{du}{d\nu}\right) + A_{21}} \nonumber \]

Esta condición se puede resolver para\((du/dν)\); es decir,

\[\dfrac{du}{d\nu} = \dfrac{A_{21}}{B_{12}\exp \left( \dfrac{E_2−E_1}{kT} \right)−B_{21}} \nonumber \]

Considera lo que le sucede a la expresión anterior para as\(T \rightarrow \infty\). Va a

\[\lim _ {T \rightarrow \infty} \dfrac{du}{d\nu} = \dfrac{A_{21}}{B_{12}−B_{21}} \nonumber \]

Einstein sostuvo que\((du/dν)\) debe ir al infinito como\(T\) va al infinito. Esto requiere que\(B_{12}\) sea igual a\(B_{21}\).

Así

\[\dfrac{du}{d\nu} = \dfrac{A_{21}/B_{21}}{\exp \left(\dfrac{E_2−E_1}{kT}\right)−1} \label{eq10} \]

Ahora se introduce la suposición de Planck:

\[E_2−E_1 = hν \nonumber \]

Así la Ecuación\ ref {eq10} se convierte en

\[\dfrac{du}{d\nu} = \dfrac{A_{21}/B_{21}}{\exp \left(\dfrac{hv}{kT}\right)−1} \label{eq11} \]

Dice la Ley de Radiación Rayleigh-Jeans

\[\dfrac{du}{d\nu}= \dfrac{8πkTν^2}{c^3} \label{RJ} \]

La fórmula de Planck debe coincidir con la Ley Rayleigh-Jeans para suficientemente pequeños\(ν\). Tenga en cuenta que el exponente en el denominador de la Ecuación\ ref {eq11} se puede expandir (a través de una expansión Taylor):

\[\exp\left(\dfrac{hν}{kT}\right) \approx 1 + \dfrac{hν}{kT} \nonumber \]

para suficientemente pequeños\(ν\).

Esto significa que la ecuación\ ref {eq11} simplifica a

\[\dfrac{du}{d\nu} = \dfrac{A_{21}/B_{21}}{1 + (hν/kT) −1} = \dfrac{A_{21}/B_{21}}{hν/kT} \nonumber \]

y por lo tanto

\[\dfrac{du}{d\nu}= \left(\dfrac{A_{21}}{B_{21}} \right) \left( \dfrac{kT}{hν}\right) \label{eq20} \]

Ecuación de ecuaciones\ ref {RJ} y\ ref {eq20} para\((du/dν)\) da

\[ \left(\dfrac{A_{21}}{B_{21}}\right) \left(\dfrac{kT}{hν}\right) = \dfrac{8πkTν^2}{c^3} \nonumber \]

lo que reduce a

\[\dfrac{A_{21}}{B_{21}} = \dfrac{8πhν^3}{c^3} \nonumber \]

Así

\[\dfrac{du}{d\nu} = \dfrac{8πhν^³}{c^³} \dfrac{1}{\exp(hν/kT)−1} \nonumber \]

Esta es la fórmula de Planck en términos de frecuencia.

Referencia

K.D. Möller, Óptica, Libros de Ciencias Universitarias, Mill Valley, California, 1988.