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1.14.42: Regla de L'Hospital

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    En varios casos importantes, el análisis de las propiedades termodinámicas de las soluciones (y mezclas líquidas) requiere la consideración de un término que tenga la forma general\(x \, \ln (x)\) donde\(x\) es una variable de composición intensiva; por ejemplo, molalidad, concentración o fracción molar. El análisis que acompaña requiere una respuesta a la pregunta — qué valor\(x \, \ln (x)\) toma el producto en el límite que\(x\) tiende a cero. Pero\(\operatorname{limit}(x \rightarrow 0) \ln (x)=-\infty\). El análisis termodinámico tiene que tener en cuenta la respuesta a esta pregunta. De hecho, la mayoría de las cuentas asumen que la respuesta a la pregunta anterior es 'cero'. La confirmación de que esta última afirmación es correcta surge de la aplicación de la Regla de L'Hospital (G. F. A. de l'Hospital, 1661-1704, marqués de Saint-Mesme). Esta regla permite la evaluación de términos que tienen formas indeterminadas. La mayoría de las aplicaciones de este método generalmente implican la relación de dos términos cada uno siendo una función de\(x\).

    Si\(\mathrm{f}(\mathrm{x}) / \mathrm{F}(\mathrm{x})\) se acerca ya sea [0/0] o\([\infty / \infty]\) cuando se\(x\) acerca a, y\(\mathrm{f}^{\prime}(\mathrm{x}) / \mathrm{F}^{\prime}(\mathrm{x})\) [donde\(\mathrm{f}^{\prime}(\mathrm{x})\) y\(\mathrm{F}^{\prime}(\mathrm{x})\) son las primeras derivadas de\(\mathrm{f}(\mathrm{x})\) y\(\mathrm{F}(\mathrm{x})\)] se acerca a un límite a medida que\(x\) se acerca a, entonces\(\mathrm{f}(\mathrm{x}) / \mathrm{F}(\mathrm{x})\) se acerca al mismo límite.

    Ejemplo\(\PageIndex{1}\)

    Si\(f(x)=x^{2}-1\) y\(F(x)=x-1\)

    entonces\(\frac{f(x)}{F(x)}=\frac{x^{2}-1}{x-1}\) y\(\frac{f^{\prime}(x)}{F^{\prime}(x)}=\frac{2 \, x^{2}}{1}\)

    entonces

    \[\operatorname{limit}(x \rightarrow 1) \frac{f^{\prime}(x)}{F^{\prime}(x)}=2\]

    Por lo tanto,

    \[\operatorname{limit}(x \rightarrow 1) \frac{f(x)}{F(x)}=2\]

    Esta regla se puede probar utilizando tres supuestos.

    1. En el barrio de\(x = a\),\(F(x) \neq 0 \text { if } x \neq \mathrm{a}\).
    2. \(f(x)\)y\(F(x)\) son continuos en el barrio de\(x = \mathrm{a}\) excepto quizás en\(\mathrm{a}\).
    3. \(\mathrm{f}^{\prime}(x)\)y\(\mathrm{F}^{\prime}(x)\) existir es algún barrio de\(x = \mathrm{a}\) (excepto quizás en\(x = \mathrm{a}\)) y no desaparecen simultáneamente para\(x \neq \mathrm{a}\).

    En el presente contexto los términos considerados tienen una forma diferente. Con referencia al término\(x \, \ln (x)\),

    \[f(x)=\ln (x) \text { and } F(x)=1 / x\]

    Entonces\(\mathrm{f}^{\prime}(\mathrm{x})=1 / \mathrm{x}\) y\(\mathrm{F}^{\prime}(\mathrm{x})=-1 / \mathrm{x}^{2}\).

    De ahí,\(\mathrm{f}^{\prime}(\mathrm{x}) / \mathrm{F}^{\prime}(\mathrm{x}) = -\mathrm{x}\).

    Así

    \[\operatorname{limit}(x \rightarrow 0) \mathrm{f}^{\prime}(x) / \mathrm{F}^{\prime}(\mathrm{x})=0\]

    Por lo tanto,

    \[\operatorname{limit}(x \rightarrow 0) x \, \ln (x)=0\]

    This page titled 1.14.42: Regla de L'Hospital is shared under a Public Domain license and was authored, remixed, and/or curated by Michael J Blandamer & Joao Carlos R Reis.