1.10: Factores de conversión y funciones

Anteriormente mostramos cómo los factores de unidad pueden ser utilizados para expresar cantidades en diferentes unidades del mismo parámetro. Por ejemplo, una densidad se puede expresar en g/cm ³ o lb/ft ³. Ahora veremos cómo los factores de conversión que representan funciones matemáticas, como D = m/v, se pueden utilizar para transformar cantidades en diferentes parámetros. Por ejemplo, ¿cuál es el volumen de una masa dada de oro? Los factores de unidad y los factores de conversión son conceptualmente diferentes, y veremos que el “análisis dimensional” que desarrollamos para los problemas de conversión de unidades debe ser utilizado con cuidado en el caso de las funciones.

Cuando nos estamos refiriendo al mismo objeto o muestra de material, a menudo es útil poder convertir un parámetro en otro. Por ejemplo, en nuestra discusión sobre las reservas de combustibles fósiles encontramos que 318 Pg (3.18 × 10 ¹⁷ g) de carbón, 28.6 km ³ (2.68 × 10 ¹⁰ m ³) de petróleo, y 2.83 × 10 ³ km ³ (2.83 × 10 ¹³ m ³) de gas natural (medido a presión atmosférica normal y 15°C) están disponibles. Pero ninguna de estas cantidades nos dice lo que realmente queremos saber ― ¿cuánta energía térmica podría liberarse quemando cada una de estas reservas? Sólo convirtiendo la masa de carbón y los volúmenes de petróleo y gas natural en sus energías equivalentes podemos hacer una comparación válida. Cuando esto se hace, encontramos que el carbón podría liberar 7.2 × 10 ²¹ J,, el petróleo 1.1 × 10 ²¹ J, y el gas 1.1 × 10 ²¹ J de energía térmica. Así, las reservas de carbón son más de tres veces las de los otros dos combustibles combinados. Es por ello que se está prestando más atención al desarrollo de nuevas formas de utilizar los recursos carboníferos que al petróleo o al gas. La conversión de un tipo de cantidad a otra generalmente se realiza con lo que se puede llamar un factor de conversión, pero el factor de conversión se basa en una función matemática (D = m/V) o ecuación matemática que relaciona parámetros. Dado que aún no hemos discutido la energía o las unidades (julios) en las que se mide, se utilizará un ejemplo que involucra las cantidades más familiares masa y volumen para ilustrar la forma en que se emplean los factores de conversión. Los mismos principios se aplican para encontrar cuánta energía se liberaría al quemar un combustible, y ese problema se encontrará más adelante.

Para un contexto útil sobre la discusión anterior, consulte el siguiente video de Química del Curso Intensivo:

Conversión de unidades y cifras significativas: Curso intensivo de Química #2 (opens in new window) [youtu.be]

Supongamos que tenemos una muestra sólida rectangular de oro que mide 3.04 cm × 8.14 cm × 17.3 cm. Podemos calcular fácilmente que su volumen es de 428 cm ³ pero ¿cuánto vale? El precio del oro es de unos 5 dólares por gramo, por lo que necesitamos saber la masa más que el volumen. Es poco probable que tengamos disponible una báscula o balanza que pudiera pesar con precisión una muestra tan grande y pesada, por lo que tendríamos que determinar la masa de oro equivalente a un volumen de 428 cm ³. Esto se puede hacer manipulando la ecuación que define densidad, ρ = m/V. Si multiplicamos ambos lados por V, obtenemos

\[V \times \rho =\dfrac{m}{V}\times V = m\label{1} \]

\[m = V \times \rho \nonumber \]

o

\[mass = \text{volume} \times \text{ density } \nonumber \]

Tomando la densidad del oro de una tabla de referencia (opens in new window), ahora podemos calcular

\[\text{Mass}= m =V \rho =\text{428 cm}^{3}\times \dfrac{\text{10}\text{0.32 g}}{\text{1 cm}^{3}}=8.27\times \text{10}^{3}\text{g}=\text{8}\text{.27 kg} \nonumber \]

Esto es más de 18 lb de oro. Al precio citado anteriormente, ¡valdría más de 40 000 dólares!

La fórmula que define la densidad también se puede utilizar para convertir la masa de una muestra al volumen correspondiente. Si ambos lados de la Ec. \(\ref{1}\)se multiplican por 1/ρ, tenemos

\[\dfrac{\text{1}}{\rho }\times m=V \rho \times \dfrac{\text{1}}{\rho }=V \nonumber \]

\[V=m \times \dfrac{\text{1}}{\rho }\label{2} \]

Observe que utilizamos la función matemática D = M/V para convertir parámetros de masa a volumen o viceversa en estos ejemplos. ¿En qué se diferencia esto del uso de factores de unidad para cambiar unidades de un parámetro?

Una advertencia importante

Un error que a veces cometen los alumnos principiantes es confundir densidad con concentración, que también puede tener unidades de g/cm ³. Por análisis dimensional, esto se ve perfectamente bien. Para ver el error, debemos entender el significado de la función

\[ C = \dfrac{m}{V} \nonumber \]

En este caso,\(V\) se refiere al volumen de una solución, que contiene tanto un soluto como un disolvente.

Dada una concentración de una aleación es de 10 g de oro en 100 cm ³ de aleación, vemos que es incorrecto (aunque dimensionalmente correcto en lo que respecta a los factores de conversión) calcular incorrectamente el volumen de oro en 20 g de la aleación de la siguiente manera:

\[20 \text{g} \times \dfrac{\text{100 cm^3}}{\text{10 g}} = 200 \text{ cm}^{3} \nonumber \]

Sólo es posible calcular el volumen de oro si se conoce la densidad de la aleación, de manera que se pueda calcular el volumen de aleación representado por los 20 g. Este volumen multiplicado por la concentración da la masa de oro, que luego se puede convertir en un volumen con la función de densidad.

La conclusión es que el uso de un método simple de cancelación de unidades no siempre conduce a los resultados esperados, a menos que se comprenda completamente la función matemática en la que se basa el factor de conversión.

Ejemplo\(\PageIndex{1}\): Volume of Ethanol

Una solución de etanol con una concentración de 0.1754 g/cm ³ tiene una densidad de 0.96923 g/cm ³ y un punto de congelación de -9° F ^[1]. ¿Cuál es el volumen de etanol (D = 0.78522 g/cm ³ a 25 °C) en 100 g de la solución?

Solución

El volumen de 100 g de solución es

\[ V = m \div D = 100 \text{ g} \div 0.96923 \text{ g} \text{ cm}^{3} = 103.17 \text{ cm}^{3} \nonumber \]

La masa de etanol en este volumen es

\[ m = V \times C = 103.17 \text{ cm}^{3} \times 0.1754 \text{ g /} \text{ cm}^{3} = 18.097 \text{ g} \nonumber \]

\[ \text{The volume of ethanol } = m \div D = 18.097 \text{ g} \div 0.78522 \text{ g / } \text{cm}^{3} = 23.05 \text{cm}^{3} \nonumber \]

Tenga en cuenta que no podemos calcular el volumen de etanol por

\[\dfrac {\dfrac{0.96923 g}{cm^3} \times 100 cm^3}{\dfrac {0.78522 g}{cm^3}} \normalsize = 123.4 \text{cm}^{3} \nonumber \]

aunque esta ecuación es dimensionalmente correcta.

Nota: Tenga en cuenta que este resultado requería cuándo usar la función C = M/V, y cuándo usar la función D=m/V como factores de conversión. El análisis dimensional puro no pudo dar la respuesta de manera confiable, ya que ambas funciones tienen las mismas dimensiones.

Ejemplo\(\PageIndex{2}\): Volume of Benzene

Encuentra el volumen ocupado por una muestra de 4.73-g de benceno.

Solución

La densidad del benceno es de 0.880 g cm ^—3. Usando la ecuación (2),

\[\text{Volume = }V\text{ = }m\text{ }\times \text{ }\dfrac{\text{1}}{\rho }\text{ = 4}\text{.73 g }\times \text{ }\dfrac{\text{1 cm}^{\text{3}}}{\text{0}\text{.880 g}}\text{ = 5}\text{.38 cm}^{\text{3}} \nonumber \]

Nota: Tenga en cuenta que tomar el recíproco de\(\Large\tfrac{\text{0}\text{.880 g}}{\text{1 cm}^{3}}\) simplemente invierte la fracción ― 1 cm ³ va en la parte superior, y 0.880 g va en la parte inferior.

Los dos cálculos recién hechos muestran que la densidad es un factor de conversión que cambia de volumen a masa, y el recíproco de densidad es un factor de conversión que cambia masa en volumen. Esto se puede hacer porque la fórmula matemática que define la densidad la relaciona con la masa y el volumen. La manipulación algebraica de esta fórmula nos dio expresiones para masa y para volumen [Eq. \(\ref{1}\)y\(\ref{2}\)], y los usamos para resolver nuestros problemas. Si entendemos la función D = M/V y prestamos atención a la advertencia anterior, podemos idear factores de conversación apropiados por cancelación de unidades, como muestra el siguiente ejemplo:

Ejemplo\(\PageIndex{3}\): Volume of Mercury

Un estudiante pesa 98.0 g de mercurio. Si la densidad del mercurio es de 13.6 g/cm ³, ¿qué volumen ocupa la muestra?

Solución

Sabemos que el volumen está relacionado con la masa a través de la densidad.

Por lo tanto

\[ V = m \times \text{ conversion factor} \nonumber \]

Dado que la masa está en gramos, necesitamos deshacernos de estas unidades y reemplazarlas por unidades de volumen. Esto se puede hacer si se usa el recíproco de la densidad como factor de conversión. Esto pone gramos en el denominador para que estas unidades cancelen:

\[V=m\times \dfrac{\text{1}}{\rho }=\text{98}\text{.0 g}\times \dfrac{\text{1 cm}^{3}}{\text{13}\text{.6 g}}=\text{7}\text{.21 cm}^{3} \nonumber \]

Si hubiéramos multiplicado por la densidad en lugar de su recíproco, las unidades del resultado mostrarían inmediatamente nuestro error:

\(V=\text{98}\text{.0 g}\times \dfrac{\text{13.6 }g}{\text{1 cm}^{3}}=\text{1}\text{.333}{\text{g}^{2}}/{\text{cm}^{3}}\;\)(¡sin cancelación!)

Está claro que los gramos cuadrados por centímetro cúbico no son las unidades que queremos.

Usar un factor de conversión es muy similar a usar un factor de unidad; sabemos que el factor de conversión es correcto cuando las unidades se cancelan adecuadamente. Un factor de conversión no es la unidad, sin embargo. Más bien es una cantidad física (o la recíproca de una cantidad física) que se relaciona con las otras dos cantidades que estamos interconvirtiendo. El factor de conversión funciona debido a la relación [es decir, la definición de densidad definida por las Eqs. \(\ref{1}\)e\(\ref{2}\) incluye las relaciones entre densidad, masa y volumen], no porque sea tenga un valor de uno. Una vez que hemos establecido que existe una relación, ya no es necesario memorizar una fórmula matemática. Las unidades nos dicen si usar el factor de conversión o su recíproco. Sin esa relación, sin embargo, la mera cancelación de unidades no garantiza que estemos haciendo lo correcto.

Una forma sencilla de recordar las relaciones entre cantidades y factores de conversión es una “hoja de ruta “del tipo que se muestra a continuación:

\[\text{Mass }\overset{density}{\longleftrightarrow}\text{ volume or }m\overset{\rho }{\longleftrightarrow}V\text{ } \nonumber \]

Esto indica que la masa de una muestra particular de materia está relacionada con su volumen (y el volumen a su masa) a través del factor de conversión, densidad. La flecha doble indica que se puede realizar una conversión en cualquier dirección, siempre que las unidades del factor de conversión cancelen las de la cantidad que se conoció inicialmente. En general se puede escribir la hoja de ruta

\[\text{First quantity }\overset{\text{conversion factor}}{\longleftrightarrow}\text{ second quantity} \nonumber \]

A medida que lleguemos a problemas más complicados, donde se requieren varios pasos para obtener un resultado final, dichos mapas de ruta serán más útiles para trazar un camino hacia la solución.

Ejemplo\(\PageIndex{1}\): Volume to Mass Conversion

La madera de hierro negro tiene una densidad de 67.24 lb/ft ³. Si tuvieras una muestra cuyo volumen fuera 47.3 ml, ¿cuántos gramos pesaría? (1 lb = 454 g; 1 ft = 30.5 cm).

Solución

La hoja de ruta

\[V\xrightarrow{\rho }m\text{ } \nonumber \]

nos dice que la masa de la muestra puede obtenerse de su volumen utilizando el factor de conversión, densidad. Dado que los mililitros y centímetros cúbicos son los mismos, utilizamos las unidades SI para nuestro cálculo:

\[ \text{Mass} = m = 47.3 \text{cm}^{3} \times \dfrac{\text{67}\text{.24 lb}}{\text{1 ft}^{3}} \nonumber \]

Dado que las unidades de volumen son diferentes, necesitamos un factor de unidad para que se cancelen:

\[m\text{ = 47}\text{.3 cm}^{\text{3}}\text{ }\times \text{ }\left( \dfrac{\text{1 ft}}{\text{30}\text{.5 cm}} \right)^{\text{3}}\text{ }\times \text{ }\dfrac{\text{67}\text{.24 lb}}{\text{1 ft}^{\text{3}}}\text{ = 47}\text{.3 cm}^{\text{3}}\text{ }\times \text{ }\dfrac{\text{1 ft}^{\text{3}}}{\text{30}\text{.5}^{\text{3}}\text{ cm}^{\text{3}}}\text{ }\times \text{ }\dfrac{\text{67}\text{.24 lb}}{\text{1 ft}^{\text{3}}} \nonumber \]

Ahora tenemos la masa en libras, pero la queremos en gramos, así que se necesita otro factor de unidad:

\[m\text{ = 47}\text{.3 cm}^{\text{3}}\text{ }\times \text{ }\dfrac{\text{1 ft}^{\text{3}}}{\text{30}\text{.5}^{\text{3}}\text{ cm}^{\text{3}}}\text{ }\times \text{ }\dfrac{\text{67}\text{.24 lb}}{\text{1 ft}^{\text{3}}}\text{ }\times \text{ }\dfrac{\text{454 g}}{\text{ 1 lb}}\text{ = 50}\text{0.9 g} \nonumber \]

En capítulos posteriores estableceremos una serie de relaciones entre las cantidades físicas. Se darán fórmulas que definan estas relaciones, pero no abogamos por la memorización servil y la manipulación de esas fórmulas. En cambio te recomendamos que recuerdes que existe una relación, quizás en términos de una hoja de ruta, para luego ajustar las cantidades involucradas para que las unidades cancelen adecuadamente. Tal enfoque tiene la ventaja de que se puede resolver una amplia variedad de problemas mediante el uso de la misma técnica.