Matemáticas Esenciales

Aritmética exponencial

La notación exponencial se utiliza para expresar números muy grandes y muy pequeños como producto de dos números. El primer número del producto, el término dígito, suele ser un número no menor que 1 y no mayor que 10. El segundo número del producto, el término exponencial, se escribe como 10 con un exponente. Algunos ejemplos de notación exponencial son:

\[\begin{align}
1000&=1×10^3\\
100&=1×10^2\\
10&=1×10^1\\
1&=1×10^0\\
0.1&=1×10^{−1}\\
0.001&=1×10^{−3}\\
2386&=2.386×1000=2.386×10^3\\
0.123&=1.23×0.1=1.23×10^{−1}
\end{align}\]

La potencia (exponente) de 10 es igual al número de lugares en los que se desplaza el decimal para dar el número de dígitos. El método exponencial es una notación particularmente útil para cada número grande y muy pequeño. Por ejemplo, 1,230,000,000 = 1.23 × 10 ⁹, y 0.00000000036 × 10 ⁻¹⁰.

Adición de exponenciales

Convierte todos los números a la misma potencia de 10, suma los términos de dígitos de los números y, si procede, vuelve a convertir el término dígito a un número entre 1 y 10 ajustando el término exponencial.

Sumando Exponenciales Agrega 5.00 × 10 ⁻⁵ y 3.00 × 10 ⁻³.

Solución n

\[\begin{align}
3.00×10^{−3}&=300×10^{−5}\\
(5.00×10^{−5})+(300×10^{−5})&=305×10^{−5}=3.05×10^{−3}
\end{align}\]

Resta de exponenciales

Convierte todos los números a la misma potencia de 10, toma la diferencia de los términos de dígitos y, si es apropiado, vuelve a convertir el término dígito a un número entre 1 y 10 ajustando el término exponencial.

Restar exponenciales Resta 4.0 × 10 ⁻⁷ de 5.0 × 10 ⁻⁶.

Solución n

\[4.0×10^{−7}=0.40×10^{−6}\\
(5.0×10^{−6})−(0.40×10^{−6})=4.6×10^{−6}\]

Multiplicación de exponenciales

Multiplicar los términos de dígitos de la manera habitual y sumar los exponentes de los términos exponenciales.

Multiplicando Exponenciales Multiplicar 4.2 × 10 ⁻⁸ por 2.0 × 10 ³.

Solución n

\[(4.2×10^{−8})×(2.0×10^3)=(4.2×2.0)×10^{(−8)+(+3)}=8.4×10^{−5}\]

División de Exponenciales

Divide el término dígito del numerador por el término dígito del denominador y resta los exponentes de los términos exponenciales.

Dividiendo Exponenciales Divide 3.6 × 10 ⁵ por 6.0 × 10 ⁻⁴.

Solución n

\[\dfrac{3.6×10^{−5}}{6.0×10^{−4}}=\left(\dfrac{3.6}{6.0}\right)×10^{(−5)−(−4)}=0.60×10^{−1}=6.0×10^{−2}\]

Cuadrado de exponenciales

Cuadrando el término dígito de la manera habitual y multiplique el exponente del término exponencial por 2.

Cuadramiento Exponenciales Cuadrando el número 4.0 × 10 ⁻⁶.

Solución n

\[(4.0×10^{−6})^2=4×4×10^{2×(−6)}=16×10^{−12}=1.6×10^{−11}\]

Cubicación de exponenciales

Cube el término dígito de la manera habitual y multiplica el exponente del término exponencial por 3.

Cubing Exponenciales Cube el número 2 × 10 ⁴.

Solución n

\[(2×10^4)^3=2×2×2×10^{3×4}=8×10^{12}\]

Tomando raíces cuadradas de exponenciales

Si es necesario, disminuir o aumentar el término exponencial para que la potencia de 10 sea uniformemente divisible por 2. Extraiga la raíz cuadrada del término dígito y divida el término exponencial por 2.

Encontrar la raíz cuadrada de exponenciales Encuentra la raíz cuadrada de 1.6 × 10 ⁻⁷.

Solución n

\[\begin{align}
1.6×10^{−7}&=16×10^{−8}\\
\sqrt{16×10^{−8}}=\sqrt{16}×\sqrt{10^{−8}}&=\sqrt{16}×10^{−\large{\frac{8}{2}}}=4.0×10^{−4}
\end{align}\]

Cifras significativas

Un apicultor informa que tiene 525 mil 341 abejas. Las tres últimas cifras del número son obviamente inexactas, pues durante el tiempo que el guardián estuvo contando las abejas, algunas de ellas murieron y otras eclosionaron; esto hace bastante difícil determinar el número exacto de abejas. Hubiera sido más exacto si el apicultor hubiera reportado el número 525,000. Es decir, las tres últimas cifras no son significativas, salvo para establecer la posición del punto decimal. Sus valores exactos no tienen sentido útil en esta situación. Al informar cualquier información como números, use solo tantas cifras significativas como la precisión de la medición lo justifique.

La importancia de las cifras significativas radica en su aplicación a la computación fundamental. Además y resta, la suma o diferencia debe contener tantos dígitos a la derecha del decimal como aquellos en el menos cierto de los números utilizados en el cálculo (indicado subrayando en el siguiente ejemplo).

Suma y Resta con Cifras Significativas Suma 4.383 g y 0.0023 g.

Solución n

\[\begin{align}
&\mathrm{4.38\underline{3}\:g}\\
&\mathrm{\underline{0.002\underline{3}\:g}}\\
&\mathrm{4.38\underline{5}\:g}
\end{align}\]

En multiplicación y división, el producto o cociente no debe contener más dígitos que el del factor que contenga el menor número de cifras significativas.

Multiplicación y División con Figuras Significativas Multiplicar 0.6238 por 6.6.

Solución n

\[0.623\underline{8}×6.\underline{6}=4.\underline{1}\]

Al redondear números, aumente el dígito retenido en 1 si va seguido de un número mayor que 5 (“redondear”). No cambie el dígito retenido si los dígitos que siguen son menores a 5 (“redondear hacia abajo”). Si el dígito retenido es seguido por 5, redondea hacia arriba si el dígito retenido es impar, o redondear hacia abajo si es par (después del redondeo, el dígito retenido siempre será par).

El uso de logaritmos y números exponenciales

El logaritmo común de un número (log) es la potencia a la que se debe elevar 10 para igualar ese número. Por ejemplo, el logaritmo común de 100 es 2, porque 10 debe elevarse a la segunda potencia para igualar 100. A continuación se ofrecen ejemplos adicionales.

Logaritmos y Números Exponenciales
Número	Número expresado exponencialmente	Logaritmo Común
1000	10 ^3	3
10	10 ^1	1
1	10 ^0	0
0.1	10 ^−1	−1
0.001	10 ^−3	−3

¿Cuál es el logaritmo común de 60? Debido a que 60 se encuentra entre 10 y 100, que tienen logaritmos de 1 y 2, respectivamente, el logaritmo de 60 es de 1.7782; es decir,

\[60=10^{1.7782}\]

El logaritmo común de un número menor a 1 tiene un valor negativo. El logaritmo de 0.03918 es −1.4069, o

\[0.03918=10^{-1.4069}=\dfrac{1}{10^{1.4069}}\]

Para obtener el logaritmo común de un número, use el botón de registro en su calculadora. Para calcular un número a partir de su logaritmo, tomar el logaritmo inverso del logaritmo, o calcular 10 ^x (donde x es el logaritmo del número).

El logaritmo natural de un número (ln) es la potencia a la que se debe elevar e para igualar el número; e es la constante 2.7182818. Por ejemplo, el logaritmo natural de 10 es 2.303; es decir,

\[10=e^{2.303}=2.7182818^{2.303}\]

Para obtener el logaritmo natural de un número, use el botón ln de su calculadora. Para calcular un número a partir de su logaritmo natural, ingrese el logaritmo natural y tome el inverso ln del logaritmo natural, o calcule e ^x (donde x es el logaritmo natural del número).

Los logaritmos son exponentes; así, las operaciones que involucran logaritmos siguen las mismas reglas que las operaciones que involucran exponentes.

1. El logaritmo de un producto de dos números es la suma de los logaritmos de los dos números.
   \[\log xy= \log x + \log y, \textrm{ and }\ln xy=\ln x + \ln y\]
2. El logaritmo del número resultante de la división de dos números es la diferencia entre los logaritmos de los dos números.
   \[\log\dfrac{x}{y}=\log x-\log y,\textrm{ and } \ln\dfrac{x}{y}=\ln x-\ln y\]
3. El logaritmo de un número elevado a un exponente es el producto del exponente y el logaritmo del número.
   \[\log x^n=n\log x \textrm{ and }\ln x^n=n\ln x\]

La Solución de Ecuaciones Cuadráticas

Las funciones matemáticas de esta forma se conocen como polinomios de segundo orden o, más comúnmente, funciones cuadráticas.

\[ax^2+bx+c=0\]

La solución o raíces para cualquier ecuación cuadrática se pueden calcular usando la siguiente fórmula:

\[x=\dfrac{-b±\sqrt{b^2−4ac}}{2a}\]

Solvi ng Ecuaciones Cuadráticas Resuelve la ecuación cuadrática 3 x ² + 13 x − 10 = 0.

Solución Sustituyendo los valores a = 3, b = 13, c = −10 en la fórmula, obtenemos

\[x=\dfrac{−13±\sqrt{(13)^2−4×3×(−10)}}{2×3}\]

\[x=\dfrac{−13±\sqrt{169+120}}{6}=\dfrac{−13±\sqrt{289}}{6}=\dfrac{−13±17}{6}\]

Las dos raíces son por lo tanto

\[x=\dfrac{−13+17}{6}=\dfrac{2}{3}\textrm{ and }x=\dfrac{−13−17}{6}=−5\]

Las ecuaciones cuadráticas construidas sobre datos físicos siempre tienen raíces reales, y de estas raíces reales, a menudo solo las que tienen valores positivos son de alguna importancia.

Gráfica bidimensional (x - y)

La relación entre dos propiedades cualesquiera de un sistema puede ser representada gráficamente por una gráfica de datos bidimensional. Dicha gráfica tiene dos ejes: uno horizontal correspondiente a la variable independiente, o la variable cuyo valor se está controlando (x), y un eje vertical correspondiente a la variable dependiente, o la variable cuyo valor se esté observando o midiendo (y).

Cuando el valor de y está cambiando en función de x (es decir, diferentes valores de x corresponden a diferentes valores de y), se puede trazar o esbozar una gráfica de este cambio. La gráfica se puede producir usando valores específicos para pares de datos (x, y).

Graficando la dependencia de y sobre x

x	y
1	5
2	10
3	7
4	14

Esta tabla contiene los siguientes puntos: (1,5), (2,10), (3,7), y (4,14). Cada uno de estos puntos se puede trazar en una gráfica y conectarse para producir una representación gráfica de la dependencia de y sobre x.

Si se conoce la función que describe la dependencia de y sobre x, se puede utilizar para calcular x, y pares de datos que posteriormente se pueden trazar.

Trazando Pares de Datos Si sabemos que y = x ² + 2, podemos producir una tabla de unos pocos valores (x, y) y luego trazar la línea en base a los datos aquí mostrados.

x	y = x ^2 + 2
1	3
2	6
3	11
4	18