2.6: PSS.6- Números Exponenciales
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- Expresar un número grande o un número pequeño en notación científica.
- Realizar operaciones aritméticas y expresar la respuesta final en notación científica
Los químicos suelen trabajar con números que son extremadamente grandes o pequeños. Por ejemplo, ingresar la masa en gramos de un átomo de hidrógeno en una calculadora requeriría una visualización con al menos 24 decimales. Un sistema llamado notación científica evita gran parte del tedio y la torpeza de manipular números con magnitudes grandes o pequeñas. En notación científica, estos números se expresan en la forma
\[ N \times 10^n \nonumber \]
donde N es mayor o igual a 1 y menor que 10 (1 ≤ N < 10), y n es un entero positivo o negativo (10 0 = 1). Al número 10 se le llama base porque es este número el que se eleva a la potencia\(n\). Aunque un número base puede tener valores distintos a 10, el número base en notación científica es siempre 10.
Una forma sencilla de convertir números a notación científica es mover el punto decimal tantos lugares a la izquierda o a la derecha como sea necesario para dar un número del 1 al 10 (N). La magnitud de n se determina entonces de la siguiente manera:
- Si el punto decimal se mueve a la izquierda n lugares, n es positivo.
- Si el punto decimal se mueve a la derecha n lugares, n es negativo.
Otra forma de recordar esto es reconocer que a medida que el número N disminuye en magnitud, el exponente aumenta y viceversa. La aplicación de esta regla se ilustra en Ejemplo\(\PageIndex{1}\).
Convertir cada número a notación científica.
- 637.8
- 0.0479
- 7.86
- 12,378
- 0.00032
- 61.06700
- 2002.080
- 0.01020
Solución
| Explicación | Contestar | |
|---|---|---|
| a |
Para convertir 637.8 a un número del 1 al 10, movemos el punto decimal dos lugares a la izquierda: 637.8 Debido a que el punto decimal se movió dos lugares a la izquierda, n = 2. |
\(6.378 \times 10^2\) |
| b |
Para convertir 0.0479 a un número del 1 al 10, movemos el punto decimal dos lugares a la derecha: 0.0479 Debido a que el punto decimal se movió dos lugares a la derecha, n = −2. |
\(4.79 \times 10^{−2}\) |
| c | Esto suele expresarse simplemente como 7.86. (Recordemos que 10 0 = 1.) | \(7.86 \times 10^0\) |
| d | Debido a que el punto decimal se movió cuatro lugares a la izquierda, n = 4. | \(1.2378 \times 10^4\) |
| e | Debido a que el punto decimal se movió cuatro lugares a la derecha, n = −4. | \(3.2 \times 10^{−4}\) |
| f | Debido a que el punto decimal se movió un lugar a la izquierda, n = 1. | \(6.106700 \times 10^1\) |
| g | Debido a que el punto decimal se movió tres lugares a la izquierda, n = 3. | \(2.002080 \times 10^3\) |
| h | Debido a que el punto decimal se movió dos lugares a la derecha, n = -2. | \(1.020 \times 10^{−2}\) |
Sumas y restas
Antes de que los números expresados en notación científica puedan sumarse o restarse, deben convertirse a una forma en la que todos los exponentes tengan el mismo valor. Luego se realiza la operación apropiada sobre los valores de N. Ejemplo\(\PageIndex{2}\) ilustra cómo hacer esto.
Realizar la operación apropiada y luego expresar la respuesta en notación científica.
- \( (1.36 \times 10^2) + (4.73 \times 10^3) \nonumber\)
- \((6.923 \times 10^{−3}) − (8.756 \times 10^{−4}) \nonumber\)
Solución
| Explicación | Contestar | |
|---|---|---|
| a |
Ambos exponentes deben tener el mismo valor, por lo que estos números se convierten a \((1.36 \times 10^2) + (47.3 \times 10^2) = (1.36 + 47.3) \times 10^2 = 48.66 × 10^2\) o \((0.136 \times 10^3) + (4.73 \times 10^3) = (0.136 + 4.73) \times 10^3) = 4.87 \times 10^3\). Elegir cualquiera de las alternativas da la misma respuesta, reportada a dos decimales. Al convertir 48.66 × 10 2 a notación científica, se\(n\) ha vuelto más positivo en 1 debido a que el valor de\(N\) ha disminuido. |
\(4.87 \times 10^3\) |
| b |
La conversión de los exponentes al mismo valor da \((6.923 \times 10^{-3}) − (0.8756 \times 10^{-3}) = (6.923 − 0.8756) \times 10^{−3}\) o \((69.23 \times 10^{-4}) − (8.756 \times 10^{-4}) = (69.23 − 8.756) \times 10^{−4} = 60.474 \times 10^{−4}\). Al convertir 60.474 × 10 -4 a notación científica, se\(n\) ha vuelto más positivo en 1 debido a que el valor de\(N\) ha disminuido. |
\(6.047 \times 10^{−3}\) |
Multiplicación y división
Al multiplicar números expresados en notación científica, multiplicamos los valores de\(N\) y sumamos los valores de\(n\). Por el contrario, al dividir, dividimos\(N\) en el dividendo (el número que se divide) por\(N\) en el divisor (el número por el que estamos dividiendo) y luego restamos n en el divisor de n en el dividendo. En contraste con la suma y resta, los exponentes no tienen que ser los mismos en multiplicación y división. Ejemplos de problemas que involucran multiplicación y división se muestran en Ejemplo\(\PageIndex{3}\).
Realizar la operación apropiada y expresar su respuesta en notación científica.
- \( (6.022 \times 10^{23})(6.42 \times 10^{−2}) \nonumber\)
- \( \dfrac{ 1.67 \times 10^{-24} }{ 9.12 \times 10 ^{-28} } \nonumber \)
- \( \dfrac{ (6.63 \times 10^{−34})(6.0 \times 10) }{ 8.52 \times 10^{−2}} \nonumber \)
Solución
| Explicación | Contestar | |
|---|---|---|
| a |
En multiplicación, sumamos los exponentes: \[(6.022 \times 10^{23})(6.42 \times 10^{−2})= (6.022)(6.42) \times 10^{[23 + (−2)]} = 38.7 \times 10^{21} \nonumber \] Al convertir\(38.7 \times 10^{21}\) a notación científica, se\(n\) ha vuelto más positivo en 1 debido a que el valor de\(N\) ha disminuido. |
\(3.87 \times 10^{22}\)b
En división, restamos los exponentes:
\[{1.67 \times 10^{−24} \over 9.12 \times 10^{−28}} = {1.67 \over 9.12} \times 10^{[−24 − (−28)]} = 0.183 \times 10^4 \nonumber \]
Al convertir\(0.183 \times 10^4\) a notación científica, se\(n\) ha vuelto más negativo en 1 debido a que el valor de\(N\) ha aumentado.
\( 1.83 \times 10^3\)c
Este problema tiene tanto multiplicación como división:
\[ {(6.63 \times 10^{−34})(6.0 \times 10) \over (8.52 \times 10^{−2})} = {39.78 \over 8.52} \times 10^{[−34 + 1 − (−2)]} \nonumber \]
\( 4.7\times 10^{-31}\)