Apéndice A

Las ecuaciones de Bloch

El siguiente tratamiento simplificado de la derivación de ecuaciones de Bloch que definen formas de líneas de resonancia nuclear está destinado principalmente a mostrar la diferencia entre los modos de absorción de resonancia nuclear y dispersión. Como tal, se deben aclarar las razones de ciertos ajustes internos en la sonda de RMN que influyen en la forma de las curvas de señal.

Consideramos primero el vector magnético M que es la suma resultante de los vectores magnéticos de los núcleos individuales por unidad de volumen. Para los presentes propósitos, no tendremos M colineal con ninguno de los ejes sino que asumiremos que tiene componentes a lo largo de los ejes de M,, M, y M, como se muestra en la Fig. A-1. El eje Z (aquí la dirección vertical) se tomará a lo largo del eje del campo magnético, mientras que el eje X coincidirá con el eje de la bobina del oscilador, y el eje Y coincidirá con el eje de la bobina receptora. El vector M se somete al campo oscilador, que como antes (página 15) se resolverá en dos vectores de longitud HI que giran a velocidades angulares o y en direcciones opuestas en el plano X, Y con relaciones de fase tales como para no dar ningún campo neto a lo largo de Y. Estos campos contrarrotantes tienen componentes en las direcciones X e Y que están dadas por las ecuaciones

La suma de estos campos da Hz = 2H1 cos ot y H, = 0. Asumiremos en lo sucesivo que sólo uno de estos campos giratorios, aquí tomados arbitrariamente para tener rotación en sentido horario, influirá en los núcleos para cambiar sus valores m (cf. Sec. 1-4).

Consideremos posibles cambios de M,. En primer lugar, M, tenderá a aumentar y acercarse a su valor de equilibrio Mo por relajación con la constante de tiempo T1 para que, de no pasar nada más, escribiéramos

látex más tarde

Al mismo tiempo, M, cambiará por la acción de H, y H, sobre los vectores M, y M, respectivamente. Considerar primero la acción de H5 sobre M,.

Usando una “regla de la izquierda”, podemos decir que H, hará que el vector de magnetización a lo largo de Y se mueva hacia abajo y así aumente M, en la dirección negativa. Esta contribución a M, será dada por

Mediante la elección adecuada de las unidades, la constante de proporcionalidad y puede tener el mismo valor numérico que la relación giromagnética nuclear porque, en efecto, H, hace que los componentes de los vectores nucleares individuales (que se suman para dar la magnetización Y) tiendan a preceder alrededor del eje X con una velocidad angular de Yh,.

H, produce una contribución similar con signo opuesto a M, al hacer la punta del vector Ma. Entonces podemos escribir

con signo opuesto a M, haciendo la punta del vector Ma. Entonces podemos escribir

Operando de la misma manera en Ma, tenemos

donde los términos primero y segundo a la derecha corresponden a la propina de M, por Ho y M, por H, respectivamente. El último término representa la decadencia de primer orden de M, con la constante de tiempo Tz. El tratamiento similar de M, y la sustitución de los valores por H, y H, en función del tiempo, proporcionan las siguientes ecuaciones, que en combinación con la expresión anterior para dM, ldt se denominan ecuaciones de Bloch:

Consideremos ahora la proyección de M sobre el plano X, Y M,,. El movimiento de M,, a fin de producir un cambio en My provocará que se induzca una corriente en la bobina receptora montada con su eje a lo largo de Y. Es particularmente útil considerar M,, estar conformado por dos componentes magnéticos u y v que están en fase con HI y 90" fuera de fase con HI, respectivamente, de manera que M,, = u f iv. Los componentes u y v pueden ser definidos por las ecuaciones

u = M, cos ot - M, sin ot

v = - (M, sin ot + Mis cos en)

y de ahí, en combinación con las ecuaciones de Bloch (y recordando que YHo = coo),

La última ecuación es particularmente significativa, ya que muestra que la energía absorbida por los núcleos a través de cambios en sus números cuánticos magnéticos con respecto a Ho (cf. Sec. 1-4) es una función de -v y no de u. Esto significa que uno debe medir -v si se desea una medida de la energía absorbida por el núcleos en función de Ho a HI constante. No obstante, el receptor responde a M, que se compone tanto de u como de v, y nuestro problema será mostrar cómo se puede obtener una medida de v independientemente de u.

Nos interesará particularmente el caso en el que Ho se mantiene constante y se capta una señal constante en el receptor como si el barrido del campo magnético se detuviera en el lado o pico de una señal de resonancia. En estas circunstancias, M, tiene una longitud constante y gira alrededor del eje Z a la frecuencia w. La condición de estado estacionario requiere que

Con estas condiciones, es fácil demostrar que

(coo - o es una medida de lo lejos que estamos fuera del pico de resonancia.)

1 F. Bloch, Phys. Rev., 70, 460 (1946).