8.2: Señales de onda cuadrada

Se ha encontrado que cualquier forma de onda repetitiva no sinusoidal puede equipararse a una combinación de voltaje de CC, ondas sinusoidales y/o ondas coseno (ondas sinusoidales con un desplazamiento de fase de 90 grados) a diversas amplitudes y frecuencias. Esto es cierto sin importar cuán extraña o enrevesada pueda ser la forma de onda en cuestión. Siempre y cuando se repita regularmente a lo largo del tiempo, es reducible a esta serie de ondas sinusoidales. En particular, se ha encontrado que las ondas cuadradas son matemáticamente equivalentes a la suma de una onda sinusoidal a esa misma frecuencia, más una serie infinita de ondas sinusoidales de frecuencia impar múltiple a una amplitud decreciente:

Esta verdad sobre las formas de onda al principio puede parecer demasiado extraña para creer. Sin embargo, si una onda cuadrada es en realidad una serie infinita de armónicos de onda sinusoidal sumados, es lógico pensar que deberíamos poder probarlo sumando varios armónicos de onda sinusoidal para producir una aproximación cercana de una onda cuadrada. Este razonamiento no sólo es sólido, sino que se demuestra fácilmente con SPICE.

El circuito que vamos a simular no es más que varias fuentes de voltaje de CA de onda sinusoidal de las amplitudes y frecuencias adecuadas conectadas entre sí en serie. Usaremos SPICE para trazar las formas de onda de voltaje a través de adiciones sucesivas de fuentes de voltaje, así: (Figura a continuación)

Una onda cuadrada es aproximada por la suma de armónicos.

En esta simulación SPICE en particular, he resumido las fuentes de voltaje armónico 1º, 3º, 5º, 7º y 9º en serie para un total de cinco fuentes de voltaje de CA. La frecuencia fundamental es de 50 Hz y cada armónico es, por supuesto, un múltiplo entero de esa frecuencia. Las cifras de amplitud (voltaje) no son números aleatorios; más bien, se han llegado a través de las ecuaciones mostradas en la serie de frecuencias (la fracción 4/π multiplicada por 1, 1/3, 1/5, 1/7, etc. para cada uno de los armónicos impares crecientes).

Voy a narrar el análisis paso a paso a partir de aquí, explicando qué es lo que estamos viendo. En esta primera trama, vemos la onda sinusoidal de frecuencia fundamental de 50 Hz por sí misma. No es más que una forma sinusoidal pura, sin contenido armónico adicional. Este es el tipo de forma de onda producida por una fuente de alimentación de CA ideal: (Figura a continuación)

Onda sinusoidal pura de 50 Hz.

A continuación, vemos lo que sucede cuando esta forma de onda limpia y simple se combina con el tercer armónico (tres veces 50 Hz, o 150 Hz). De repente, ya no parece una onda sinusoidal limpia: (Figura abajo)

La suma de los armónicos 1st (50 Hz) y 3rd (150 Hz) se aproxima a una onda cuadrada de 50 Hz.

Los tiempos de subida y caída entre ciclos positivos y negativos son mucho más pronunciados ahora, y las crestas de la ola están más cerca de volverse planas como una onda cuadrada. Mira lo que sucede a medida que agregamos la siguiente frecuencia armónica impar: (Figura abajo)

La suma de armónicos 1º, 3º y 5º se aproxima a la onda cuadrada.

El cambio más notable aquí es cómo las crestas de la ola se han aplanado aún más. Hay más caídas y crestas varias en cada extremo de la ola, pero esas caídas y crestas son más pequeñas en amplitud que antes. Observe de nuevo mientras agregamos la siguiente forma de onda armónica impar a la mezcla: (Figura a continuación)

La suma de los armónicos 1º, 3º, 5º y 7º se aproxima a la onda cuadrada.

Aquí podemos ver la ola volviéndose más plana en cada pico. Finalmente, sumando el 9º armónico, la quinta fuente de voltaje de onda sinusoidal en nuestro circuito, obtenemos este resultado: (Figura a continuación)

La suma de los armónicos 1º, 3º, 5º, 7º y 9º aproxima la onda cuadrada.

El resultado final de sumar las primeras cinco formas de onda armónicas impares juntas (todas a las amplitudes adecuadas, por supuesto) es una aproximación cercana de una onda cuadrada. El punto de hacerlo es ilustrar cómo podemos construir una onda cuadrada a partir de múltiples ondas sinusoidales a diferentes frecuencias, para demostrar que una onda cuadrada pura es en realidad equivalente a una serie de ondas sinusoidales. Cuando se aplica una tensión CA de onda cuadrada a un circuito con componentes reactivos (condensadores e inductores), esos componentes reaccionan como si estuvieran expuestos a varios voltajes de onda sinusoidal de diferentes frecuencias, que de hecho son.

El hecho de que las ondas repetitivas no sinusoidales sean equivalentes a una serie definida de voltaje de CC aditivo, ondas sinusoidales y/o ondas coseno es una consecuencia de cómo funcionan las ondas: una propiedad fundamental de todos los fenómenos relacionados con las ondas, eléctricos o de otro tipo. El proceso matemático de reducir una onda no sinusoidal a estas frecuencias constituyentes se denomina análisis de Fourier, cuyos detalles están mucho más allá del alcance de este texto. Sin embargo, se han creado algoritmos informáticos para realizar este análisis a altas velocidades en formas de onda reales, y su aplicación en la calidad de la energía de CA y el análisis de señales está muy extendida.

SPICE tiene la capacidad de muestrear una forma de onda y reducirla a sus armónicos constitutivos de onda sinusoidal mediante un algoritmo de Transformada de Fourier, emitiendo el análisis de frecuencia como una tabla de números. Probemos esto en una onda cuadrada, que ya sabemos está compuesta por ondas sinusoidales de armónicos impares:

La opción de pulso en la línea netlist que describe la fuente de voltaje v1 instruye a SPICE para simular una forma de onda de “pulso” de forma cuadrada, en este caso una que sea simétrica (igual tiempo para cada medio ciclo) y tenga una amplitud pico de 1 voltio. Primero trazaremos la onda cuadrada a analizar: (Figura abajo)

Onda cuadrada para análisis SPICE de Fourier

A continuación, imprimiremos el análisis de Fourier generado por SPICE para esta onda cuadrada:

Gráfica de resultados del análisis de Fourier.

Aquí, (Figura anterior) SPICE ha dividido la forma de onda en un espectro de frecuencias sinusoidales hasta el noveno armónico, más un pequeño voltaje de CC etiquetado como componente de CC. Tuve que informar a SPICE de la frecuencia fundamental (para una onda cuadrada con un periodo de 20 milisegundos, esta frecuencia es de 50 Hz), por lo que supo clasificar los armónicos. Observe cuán pequeñas son las cifras para todos los armónicos pares (2º, 4º, 6º, 8º), y cómo disminuyen las amplitudes de los armónicos impares (el primero es el más grande, el noveno es el más pequeño).

Esta misma técnica de “Transformación de Fourier” se utiliza a menudo en la instrumentación de potencia computarizada, muestreando la (s) forma (s) de onda (s) de CA y Un algoritmo informático común (secuencia de pasos del programa para realizar una tarea) para esto es la función de Transformada Rápida de Fourier o FFT. No es necesario preocuparse por cómo funcionan exactamente estas rutinas informáticas, sino estar al tanto de su existencia y aplicación.

Esta misma técnica matemática utilizada en SPICE para analizar el contenido armónico de las ondas se puede aplicar al análisis técnico de la música: descomponer cualquier sonido en particular en sus frecuencias constitutivas de onda sinusoidal. De hecho, es posible que ya hayas visto un dispositivo diseñado para hacer precisamente eso sin darte cuenta de lo que era! Un ecualizador gráfico es una pieza de equipo estéreo de alta fidelidad que controla (y a veces muestra) la naturaleza del contenido armónico de la música. Equipado con varias perillas o palancas deslizantes, el ecualizador es capaz de atenuar (reducir) selectivamente la amplitud de ciertas frecuencias presentes en la música, para “personalizar” el sonido para beneficio del oyente. Normalmente, habrá una pantalla de “gráfico de barras” junto a cada palanca de control, mostrando la amplitud de cada frecuencia en particular. (Figura abajo)

Ecualizador gráfico de audio Hi-Fi.

Un dispositivo construido estrictamente para mostrar, no controlar, las amplitudes de cada rango de frecuencia para una señal de frecuencia mixta se denomina típicamente analizador de espectro. El diseño de los analizadores de espectro puede ser tan simple como un conjunto de circuitos de “filtro” (consulte el siguiente capítulo para más detalles) diseñados para separar las diferentes frecuencias entre sí, o tan complejo como una computadora digital de propósito especial que ejecuta un algoritmo FFT para dividir matemáticamente la señal en su armónico componentes. Los analizadores de espectro a menudo están diseñados para analizar señales de frecuencia extremadamente alta, como las producidas por transmisores de radio y hardware de red de computadoras. En esa forma, suelen tener una apariencia como la de un osciloscopio: (Figura abajo)

El analizador de espectro muestra la amplitud en función de la frecuencia.

Al igual que un osciloscopio, el analizador de espectro utiliza un CRT (o una pantalla de computadora que imita a un CRT) para mostrar una gráfica de la señal. A diferencia de un osciloscopio, esta gráfica es amplitud sobre frecuencia en lugar de amplitud a lo largo del tiempo. En esencia, un analizador de frecuencia le da al operador una gráfica Bode de de la señal: algo que un ingeniero podría llamar un análisis de dominio de frecuencia en lugar de un análisis de dominio de tiempo.

El término “dominio” es matemático: una palabra sofisticada para describir el eje horizontal de una gráfica. Así, la gráfica de amplitud (vertical) a lo largo del tiempo (horizontal) de un osciloscopio es un análisis de “dominio de tiempo”, mientras que la gráfica de amplitud (vertical) sobre frecuencia (horizontal) de un analizador de espectro es un análisis de “dominio de frecuencia”. Cuando usamos SPICE para trazar la amplitud de la señal (ya sea voltaje o amplitud de corriente) en un rango de frecuencias, estamos realizando análisis en el dominio de la frecuencia.

Por favor, tome nota de cómo el análisis de Fourier de la última simulación SPICE no es “perfecto”. Idealmente, las amplitudes de todos los armónicos pares deberían ser absolutamente cero, y también lo debería hacer el componente DC. Nuevamente, esto no es tanto una peculiaridad de SPICE ya que es una propiedad de las formas de onda en general. Una forma de onda de duración infinita (número infinito de ciclos) se puede analizar con absoluta precisión, pero cuantos menos ciclos disponga la computadora para su análisis, menos preciso será el análisis. Es sólo cuando tenemos una ecuación que describe una forma de onda en su totalidad que el análisis de Fourier puede reducirla a una serie definida de formas de onda sinusoidales. Cuantas menos veces cicle una onda, menos segura es su frecuencia. Llevando este concepto a su extremo lógico, un pulso corto, una forma de onda que ni siquiera completa un ciclo, en realidad no tiene frecuencia, sino que actúa como un rango infinito de frecuencias. Este principio es común a todos los fenómenos basados en ondas, no solo a las tensiones y corrientes de CA.

Baste decir que el número de ciclos y la certeza de los componentes de frecuencia de una forma de onda están directamente relacionados. Podríamos mejorar la precisión de nuestro análisis aquí dejando que la onda oscile una y otra vez durante muchos ciclos, y el resultado sería un análisis de espectro más consistente con el ideal. En el siguiente análisis, he omitido la gráfica de forma de onda por brevedad, es solo una onda cuadrada muy larga:

Análisis de Fourier mejorado.

Observe cómo este análisis (Figura anterior) muestra menos voltaje de componente de CC y amplitudes más bajas para cada una de las ondas sinusoidales de frecuencia armónica par, todo porque dejamos que la computadora muestree más ciclos de la onda. Nuevamente, la imprecisión del primer análisis no es tanto un defecto en SPICE como es una propiedad fundamental de las ondas y del análisis de señales.

Revisar

• Las ondas cuadradas son equivalentes a una onda sinusoidal a la misma frecuencia (fundamental) añadida a una serie infinita de armónicos de onda sinusoidal impar múltiple a amplitudes decrecientes.
• Existen algoritmos informáticos que son capaces de muestrear formas de onda y determinar sus componentes sinusoidales constituyentes. El algoritmo de Transformada de Fourier (particularmente la Transformada Rápida de Fourier, o FFT) se usa comúnmente en programas de simulación de circuitos informáticos como SPICE y en equipos de medición electrónica para determinar la calidad de la energía.