6.2: Ejemplos

1. Calcular el perímetro (o circunferencia si procede) y el área de las siguientes formas:
   1. Calcula el perímetro y el área del rectángulo usando la siguiente figura.

\(\begin{aligned} \text{Perimeter} &= \text{sum of the lengths of the sides}\\ &= \text{14 in+5 in+14 in+5 in=2(14 in)+2(5 in)} \\ &= \text{ 28 in+10 in=38 in}\end{aligned}\)

Área = (largo) * (ancho) =\(\left(14\,\, in\right)\left(5\,\, in\right)=70\,\, in^2\)

2. Calcula la circunferencia y el área del círculo usando la siguiente figura.

Circunferencia =\(\pi \left(diameter\right)=\pi \left(6\,\, cm\right)=\left(3.14\right)\left(6\,\, cm\right)=18.84\,\, cm\)

Área =\(\left(0.785\right){\left(diameter\right)}^2=\left(0.785\right){\left(6\,\, cm\right)}^2=\left(0.785\right)\left(36\,\, cm^2\right)=28.26\ cm^2\)

3. Calcular el área de las figuras a continuación.
   1. Un triángulo con altura de 7 metros y una base de 15 metros.

Área =\(\frac{1}{2}\left(base\right)\left(height\right)=\frac{1}{2}\left(15\,\, m\right)\left(7\,\, m\right)=\frac{1}{2}\left(105\,\, m^2\right)=52.5\,\, m^2\)

2. Un trapecio con una altura de 5 pies y bases de 3 pies y 10 pies.

\(\begin{aligned}\text{Area} &= \frac{1}{2}(base\,\, 1+base\,\, 2)(height) \\ &= \frac{1}{2} (3\,\, ft+10\,\, ft)(5\,\, ft) \\ &= \frac{1}{2}(13\,\, ft)(5\,\, ft) \\ &= \frac{1}{2} \left(65\,\, ft^2\right)=32.5\,\, ft^2 \end{aligned} \)

2. Calcular el perímetro y el área de la siguiente figura

1. Calcular el perímetro.

Dado que el perímetro es la distancia alrededor de los bordes exteriores, podemos calcular la distancia a través del borde superior para ser la suma de los bordes horizontales inferiores, a saber\(2\,\, m\,\, +\,\, 4\,\, m\,\, +\,\, 2\,\, m\,\, =\,\, 8\,\, m\)

A continuación, agregue las longitudes de los bordes exteriores para obtener

\(\begin{aligned} \text{Perimeter} &=8\,\, m+6\,\, m+2\,\, m+5\,\, m+4\,\, m+5\,\, m+2\,\, m+6\,\, m \\ &= 8\,\, m+2\left(6\,\, m\right)+2\left(2\,\, m\right)+2 \left(5\,\, m\right)+4\,\, m \\ &=8\,\, m+12\,\, m+4\,\, m+10\,\, m+4\,\, m\\ &=38\,\, m\end{aligned}\)

2. Calcular el área.

Usando una línea discontinua, divida la figura en dos rectángulos dibujando una línea horizontal a través de la figura en las marcas de 2 m

A continuación, encuentra el área de cada figura y agrega los resultados para obtener el área de la figura original.

El área del rectángulo superior = A\({}_{1}\) =\(\left(6\,\, m\right)\left(8\,\, m\right)=48\,\, m^2\)

El área del rectángulo inferior = A\({}_{2}\) =\(\left(5\,\, m\right)\left(4\,\, m\right)=20\,\, m^2\)

Área Total = A\({}_{1}\) + A\({}_{2}\) =\(48\,\, m^2+20\,\, m^2=68\,\, m^2\)

3. Calcular el perímetro y el área de la figura a continuación.

1. Calcular el perímetro.

Dado que el perímetro es la distancia alrededor de los bordes exteriores, agregamos las longitudes de los bordes para obtener

\(\begin{aligned}\text{Perimeter} &= 4\,\, cm+2\,\, cm+3\,\, cm+2\,\, cm+4\,\, cm+5\,\, cm+11\,\, cm+5\,\, cm \\ &= 2\left(4\,\, cm\right)+2\left(2\,\, cm\right)+3\,\, cm+2\left(5\,\, cm\right)+11\,\, cm \\ &= 8\,\, cm+4\,\, cm+3\,\, cm+10\,\, cm+11\,\, cm\\ &=36\,\, cm\end{aligned} \)

2. Calcular el área.

Podemos calcular el área de esta figura de una de dos maneras, ya sea usando suma o usando resta. Investiguemos ambos métodos.

1. Uso de la adición

Divida la figura en tres rectángulos dibujando una línea discontinua desde el lado izquierdo de la figura hasta el lado derecho de la figura, conectando en la línea de 3 cm.

Calcula el área de cada rectángulo y agrega los resultados; notemos que los dos rectángulos superiores son del mismo tamaño

Área de rectángulo pequeño\(=\left(4\,\, cm\right)\left(2\,\, cm\right)=8\,\, cm^2\)

Área de rectángulo grande\(=\left(3\,\, cm\right)\left(11\,\, cm\right)=33\,\, cm^2\)

Área total\(=8\,\, cm^2+8\,\, cm^2+33\,\, cm^2=49\,\, cm^2\)

2. Uso de la resta

Encuentra el área del rectángulo exterior y resta el área del agujero rectangular, así que ahora dibujemos una línea discontinua horizontal a través de la abertura superior de la figura

A continuación, vamos a encontrar el área del rectángulo de borde exterior más grande

Área de rectángulo grande\(=\left(5\,\, cm\right)\left(11\,\, cm\right)=55\,\, cm^2\)

Área del agujero rectangular\(=\left(2\,\, cm\right)\left(3\,\, cm\right)=6\,\, cm^2\)

\(\begin{aligned} \text{Total Area} &= \text{Area of large outer rectangle – Area of the rectangular hole} \\ &=55\,\, cm^2-6\,\, cm^2=49\,\, cm^2\end{aligned} \)

3. Una alberca rectangular mide 28 pies por 52 pies. Rodeando (y bordeando) la cuenca hay un camino de 3 pies de ancho. Encuentra el área del camino.

Primero, dibujemos una figura para representar el escenario. Empecemos dibujando un rectángulo para representar la piscina.

A continuación, dibujemos el borde de 3 pies de ancho alrededor de la piscina para representar el camino. El camino está representado por la región sombreada.

El borde exterior del camino crea un rectángulo más grande cuya longitud es la longitud de la piscina más el doble del ancho del camino o 52 pies + 2 (3 pies) = 58 pies. El ancho del borde exterior del camino es el ancho de la piscina más el doble del ancho del camino o 28 pies + 2 (3 pies) = 34 pies.

Para obtener el área del camino, encuentra

el área del borde exterior - el área encerrada por la piscina = área del camino

\(\begin{aligned} \text{Area of the path} &= \left(58\,\, ft\right)\left(34\,\, ft\right)-(28\,\, ft)(52\,\, ft) \\ &=1972\,\, ft^2-1456\,\, ft^2\\ &=516\,\, ft^2 \end{aligned} \)

4. Calcular el área lateral (área de superficie) de un prisma triangular como se muestra a continuación

Hay cinco lados o superficies a este prisma triangular. Dos de los lados son triángulos del mismo tamaño, es decir, con una altura de 6 pulgadas y una base de 8 pulgadas y los otros tres lados son rectángulos, la cara izquierda es un rectángulo de 6 pulgadas por 7 pulgadas, la cara inferior es un rectángulo de 8 pulgadas por 7 pulgadas y la cara del lado derecho es de 10 pulgadas por 7 pulgadas de rectángulo.

Para calcular el área lateral o superficie, encontramos el área de todas las superficies y agregamos los resultados

Área de los dos triángulos\(=2\left[\frac{1}{2}\left(8\,\, in\right)\left(6\,\, in\right)\right]=48\,\, in^2\)

\(\begin{aligned}\text{Area of the three rectangles} &=\left(6\,\, in\right)\left(7\,\, in\right)+\left(8\,\, in\right)\left(7\,\, in\right)+\left(10\,\, in\right)\left(7\,\, in\right) \\ &=42\,\, in^2+56\,\, in^2+70\,\, in^2\\ &=168\,\, in^2\end{aligned} \)

Área lateral\(=48\,\, in^2+168\,\, in^2=216\,\, in^2\)

Más ejemplos usando el volumen de objetos tridimensionales

1. Calcular el volumen del prisma rectangular con dimensiones 2 yardas X 6 yardas X 7 yardas.

\[Volume=\left(length\right)\left(width\right)\left(height\right)=\left(2\,\, yds\right)\left(6\,\, yds\right)\left(7\,\, yds\right)=84\,\, yds^3\nonumber \]

2. Calcular el volumen de un prisma triangular como se muestra a continuación.

\[V=\frac{1}{2}\left(base\right)\left(height\right)\left(depth\,\, or\,\, width\right) \nonumber \]

\[V=\frac{1}{2}\left(8\,\, in\right)\left(6\,\, in\right)\left(7\,\, in\right)=168\,\, in^3 \nonumber \]

3. Calcular el volumen de una esfera con un diámetro de 15.6 mm.

\[V=\frac{2}{3}\left(0.785\right){\left(diameter\right)}^3=\frac{2}{3}\left(0.785\right){\left(15.6\,\, mm\right)}^3=\frac{2}{3}\left(0.785\right)\left(3796.416\,\, mm^3\right)=1986.8\,\, mm^3 \nonumber \]

4. Calcular el volumen del objeto a continuación (no dibujado a escala)

\[\begin{aligned} \text{Total Volume} &=\text{Volume of the cylinder + Volume of the cone} \\ \text{Volume of cylinder} &=\left(0.785\right){\left(diameter\right)}^2\left(height\right) \\ &=\left(0.785\right){\left(2\,\, m\right)}^2\left(16\,\, m\right) \\ &= \left(0.785\right)\left(4\,\, m^2\right)\left(16\,\, m\right) \\ &=\left(0.785\right)\left(64\,\, m^3\right)\\ &=50.24\,\, m^3\end{aligned}\]

\[\begin{aligned} \text{Volume of cone} &=\frac{1}{3}(0.785)\left(diameter\right)^2\left(height\right) \\ &= \frac{1}{3}\left(0.785\right)\left(2\,\, m\right)^2\left(3\,\, m\right)\\ &= \frac{1}{3} \left(0.785\right)\left(4\,\, m^2\right)\left(3\,\, m\right)\\ &=\frac{1}{3} \left(0.785\right)\left(12\,\, m^3\right)\\ &=3.14\,\, m^3\end{aligned} \]

\[\begin{aligned} \text{Total Volume} &= \text{Volume of the cylinder + Volume of the cone}\\ &=50.24\,\, m^3+3.14\,\, m^3 \\ &=53.38\,\, m^3 \end{aligned} \]