1.2: Operaciones matemáticas

La suma de números enteros y decimales

Sumando números con los mismos signos

• Sumar los valores absolutos de los números y asignar el signo común al resultado
• NOTA: Cuando los signos son ambos positivos, agregue los valores

Ejemplo:\(23+18\)

El signo común es +, por lo que la respuesta será positiva, ahora sumamos los números para obtener

\[23+18=41\]

Ejemplo:\(-17+(-31)\)

El signo común es -, entonces la respuesta será negativa, ahora sumamos los valores absolutos de los números para obtener:

\[-17+\left( -31\right) =\]

Primero, calcule la suma de los valores absolutos:

\[\left|-17\right|+\left|-31\right|=\ 17+31=48\]

A continuación, asigne al resultado el signo común, por lo que la respuesta final es: -48.

\[-17+\left(-31\right)=-48\]

Sumando números con los signos opuestos

• Tomar el valor absoluto de cada número
• Restar el número menor del número mayor
• Asignar el signo del resultado basado en el signo del número con el valor absoluto mayor
• NOTA: El signo del valor absoluto mayor gana. Con la práctica, estos pasos comenzarán a sentirse sin fisuras.

Ejemplo:\(21+(-13)\)

Primero, calcule el valor absoluto de cada número:

\[\left|21\right|=21 \text{ and } \left|-13\right|=13\]

A continuación, reste el número menor del número mayor:

\[21-13=8\]

A continuación, asignar el signo del número cuyo valor absoluto fue mayor, en este caso, el signo de 21 es el signo de la respuesta final (positiva), de ahí

\[21+\left(-13\right)=8\]

Teclas de calculadora científica:

Ejemplo:\(28+(-54)\)

Primero, calcule el valor absoluto de cada número:

\(\left|28\right|=28\)y\(\left|-54\right|=54\)

A continuación, reste el número menor del número mayor:

\[54-28=26\]

A continuación, asignar el signo del número cuyo valor absoluto fue mayor, en este caso, el signo de -54 es el signo de la respuesta final (negativo), de ahí

\[28+\left(-54\right)=-26\]

Atajo: Ahora que hemos pasado por el proceso formal para sumar enteros, hagamos la idea general del proceso:

• Si los signos son los mismos, combine los números y conserve el letrero
• Si los signos son diferentes, sin tener en cuenta los signos, restar el número menor del número mayor, luego mantener el signo del número mayor

Ejemplo:\(13+(-29)\)

Dado que 29 es mayor que 13, restamos 13 de 29 para obtener 16, y usamos el signo de 29 que es negativo: -16

Ejemplo:\(-28+(-54)\)

Dado que los signos son los mismos, la respuesta tendrá el mismo signo (negativo), ahora combine los números 28 + 54 = 82, por lo que la respuesta final es -82

Del mismo modo con números decimales:

Ejemplo:\(-2.34+\left(-5.4\right)=\)

Como los signos son los mismos, sumamos los números: 2.34 + 5.4 = 7.74 y mantenemos el signo común (negativo) para obtener — 7.74

Resta de números enteros y decimales

Al restar un entero o decimal, sumamos lo contrario del número que sigue a la resta.

Ejemplo:\(15-7=\)

En este caso, podemos realizar restas regulares, sin embargo, también podemos aplicar la regla de resta de sumar lo contrario para obtener:

\[15+\left(-7\right)=8\]

ya que 15 es mayor que 7, restamos y mantenemos el signo del número mayor que es positivo

Ejemplo:\(3-12=\)

Recordando agregar lo contrario de 12, obtenemos

\[3+\left(-12\right)=-9\]

Dado que los signos son diferentes y 12 es mayor que 3, restamos\(12 -3\) para obtener 9, pero usamos el signo de 12 que es negativo para obtener -9

Del mismo modo con valores decimales:

Ejemplo:\(8.23-(-1.2)=\)

Primero agregamos lo contrario de -1.2:\(8.23+1.2=\)

A continuación, combinamos los números ya que tienen los mismos signos para obtener:

\[8.23-\left(-1.2\right)=8.23+1.2=9.43\]

Multiplicación y División de Enteros y Decimales

Para multiplicar o dividir enteros y decimales, usamos multiplicar los números y usar las siguientes reglas para el signo:

• Si dos números tienen los mismos signos, el resultado es positivo
• Si dos números tienen signos diferentes (opuestos), el resultado es negativo

Ejemplos:

1. \(\left(3\right)\left(-7\right)=\ -21\)
2. \(\left(-15\right)\left(-10\right)=150\)
3. \(\left(-5.2\right)\left(2\right)=-10.4\)
4. \(\left(2\right)\left(7\right)=14\)
5. \(\left(-25\right)\div \left(-5\right)=5\)
6. \(\left(-12.8\right)\div \left(4\right)=-3.2\)
7. \(\left(250\right)\div \left(-10\right)=-25\)
8. \(\left(48\right)\div \left(6\right)=8\)

Suma, resta, multiplicación y división de números enteros y decimales usando una calculadora científica

Hay muchos tipos de calculadoras científicas disponibles en el mercado minorista, en nuestras computadoras personales, e incluso en nuestros dispositivos personales como teléfonos celulares y tabletas. Como resultado, primero distinguamos entre dos tipos de calculadoras científicas: Una calculadora Display y una calculadora sin pantalla. Algunos ejemplos de calculadoras de pantalla son: TI30XIIS, TI-36X Pro, TI-30XS Multiview y la Casio FX-350es PLUS. Algunos ejemplos de calculadoras sin pantalla son Ti-30xA, la mayoría de las calculadoras de teléfonos celulares y la mayoría de las calculadoras en computadoras personales.

Para nuestros propósitos, determinaremos si una calculadora es una calculadora “Display” o una calculadora “no display” haciendo lo siguiente:

Escriba 2 + 3 en su calculadora.

• Si tu pantalla muestra toda la expresión 2 + 3, entonces tienes una calculadora “Display”.
• Si tu pantalla muestra solo los 3 después de escribir 2 + 3, entonces tienes una calculadora “sin pantalla”.

En las calculadoras Display, normalmente podemos ingresar el problema tal y como está escrito. En una calculadora sin pantalla, generalmente debemos ingresar el problema en orden inverso de las operaciones (ver Unidad 2 para más información).

Revisemos algunos de nuestros ejemplos anteriores y calculémoslos en la calculadora científica. Para números negativos, asegúrese de usar el símbolo negativo, (-), que generalmente se encuentra en la parte inferior del teclado en una calculadora TI y no el símbolo de resta, -, que generalmente está en el lado derecho del teclado. Cada calculadora es diferente, por lo que es posible que tengas que experimentar con tu calculadora para determinar el proceso.

Para calcular -17+ (-31) use la siguiente secuencia de pulsaciones de teclas para obtener -48:

Calculadora de pantalla:	Calculadora sin pantalla:
(-) 17 + (-) 31 ENTRAR	17 (-) + 31 (-) =
Escriba el signo negativo antes del número	Escriba el número negativo después del signo

Para calcular 8.23- (-1.2) = usa la siguiente secuencia de pulsaciones de teclas para obtener 9.43:

Calculadora de pantalla	Calculadora sin pantalla:
8.23 - (-) 1.2 ENTRAR	8.23 - 1.2 (-) =
Usa la clave de resta, luego escribe el signo negativo antes del número	Use la clave de resta y luego escriba el signo negativo después del número

Para calcular (-15) (-10) = usa la siguiente secuencia de pulsaciones de teclas para obtener 150:

Calculadora de pantalla	Calculadora sin pantalla:
(-) 15 X (-) 10 ENTRAR	15 (-) X 10 (-) =
Escriba el signo negativo antes del número	Escriba el signo negativo después del número

Para calcular (250)\(\div\) (-10) = usa la siguiente secuencia de pulsaciones de teclas para obtener -25:

Calculadora de pantalla	Calculadora sin pantalla:
250\(\div\) (-) 10 ENTRAR	250\(\div\) 10 (-) =
Escriba el signo negativo antes del número	Escriba el signo negativo después del número

Fracciones

Las fracciones son números reales que indican una porción de un todo. Una fracción consiste en un numerador y denominador. El denominador representa el número de partes iguales de un objeto y el numerador representa una porción de esas partes iguales. Por ejemplo, si la tubería se separa en 4 partes iguales, ¼ representaría 1 de 4 de las partes, 2/4 representaría 2 de las 4 partes, ¾ representaría 3 de las 4 partes, y 4/4 = 1 representaría las 4 partes o toda la tubería. De igual manera, 0/4 representaría 0 de las 4 partes o nada, de ahí 0/4 = 0.

El rectángulo de abajo se divide en dos partes iguales. De ahí que 1 de las piezas de las 2 piezas representaría 1/2.

El círculo que se muestra a continuación se divide en 8 partes iguales. 1 parte representaría 1/8. 2 partes representarían 2/8 lo que se reduciría a ¼ por un par de razones:

1. si tuviéramos que sombrear 2 de las 8 piezas, eso representaría también 1 de 4 piezas iguales y
2. 2/8 se puede reducir dividiendo tanto el numerador (2) como el denominador (8) por el mismo número, que en este caso sería 2, de ahí:\(\frac{2}{8}=\frac{2\div 2}{8\div 2}=\frac{1}{4}\)

La “barra” en una fracción también representa división, por lo que ¼ también significaría\(1\div 4\). Esto puede interpretarse como un todo dividido en 4 partes iguales o 1 de 4 partes iguales.

Las fracciones tienen muchas aplicaciones. Las fracciones también se pueden usar para representar unidades como millas por hora o\(\frac{miles}{hour}\). Las fracciones también pueden ser utilizadas para denotar proporciones y proporciones; veremos el uso de fracciones en estas aplicaciones en una unidad posterior.

Multiplicar y dividir fracciones

Para multiplicar fracciones:

Multiplicar los numeradores y multiplicar los denominadores.

Para simplificar, reducir dividiendo factores similares (números que dividen en otros números).

Ejemplos:

1. \(\frac{2}{3}\cdot \frac{5}{7}\)

a. Multiplicar los numeradores y multiplicar los denominadores.

\[\frac{2}{3}\cdot \frac{5}{7}=\frac{10}{21}\nonumber \]

Dado que 10 y 21 no tienen ningún factor común, esta es la respuesta simplificada o reducida.

2. \(\frac{22}{63}\cdot \frac{9}{24}\)

a. Multiplicar los numeradores y multiplicar los denominadores.

\[\frac{22}{63}\cdot \frac{9}{24}=\frac{108}{1512}\nonumber \]

b. Simplifica reduciendo la fracción (divide el numerador y el denominador por el mismo número (s))

\[\frac{108}{1512}=\frac{108\div 12}{1512\div 12}=\frac{9}{126}=\frac{9\div 9}{126\div 9}=\frac{1}{14}\nonumber \]

Otra opción para este problema es reducir antes de multiplicar:

\[\frac{12}{63}\cdot \frac{9}{24}\nonumber \]

a. Reducir los numeradores y denominadores dividiendo cada uno por el mismo número

\[\frac{12\div 12}{63\div 9}\cdot \frac{9\div 9}{24\div 12}=\frac{1}{7}\cdot \frac{1}{2}\nonumber \]

b. Multiplicar los numeradores y denominadores (multiplicar en línea recta)

\[\frac{1}{7}\cdot \frac{1}{2}=\frac{1}{14}\nonumber \]

3. \(\frac{24}{72}\cdot \frac{18}{30}\)

Dado que los números en las fracciones son grandes, reduzcamos primero, luego multipliquemos.

Determine los números que se dividen tanto en el numerador como en el denominador:

9 se divide en 18 y 72; 6 divide en 24 y 30 O 6 se divide en 18 y 30; 24 divide en 24 y 72

\[\frac{24}{72}\cdot \frac{18}{31}=\frac{24\div 6}{72\div 9}\cdot \frac{18\div 9}{30\div 6}=\frac{4}{8}\cdot \frac{2}{5}=\frac{4\div 4}{8\div 4}\cdot \frac{2}{5}=\frac{1}{2}\cdot \frac{2}{5}=\frac{1}{2\div 2}\cdot \frac{2\div 2}{5}=\frac{1}{5} \nonumber \]

O

\[\frac{24}{72}\cdot \frac{18}{31}=\frac{24\div 24}{72\div 24}\cdot \frac{18\div 6}{30\div 6}=\frac{1}{3}\cdot \frac{3}{5}=\frac{1}{3\div 3}\cdot \frac{3\div 3}{5}=\frac{1}{5} \nonumber \]

Dividir fracciones: Invertir la segunda fracción y cambiar la operación a multiplicación y continuar como se describió anteriormente.

Ejemplo:\(\frac{3}{5}\div \frac{9}{10}\)

\[\frac{3}{5}\div \frac{9}{10}= \frac{3}{5}\cdot \frac{10}{9}=\frac{30}{45}=\frac{2}{3}\nonumber \]

Ejemplo:\(\frac{15}{7}\div \frac{25}{21}\)

\[\frac{15}{7}\div \frac{25}{21}=\frac{15}{7}\cdot \frac{21}{25}=\frac{3}{1}\cdot \frac{3}{5}=\frac{9}{5}\nonumber \]

Sumando y restando fracciones

Con denominadores similares

Para sumar o restar fracciones, las fracciones deben tener el mismo denominador:

Paso 1: Verificar que las fracciones sean como fracciones (fracciones con el mismo denominador).

Paso 2: Suma o resta los numeradores y mantén el mismo denominador.

Ejemplos:

1. \(\frac{2}{7}+\frac{3}{7}=\frac{2+3}{7}=\frac{5}{7}\)
2. \(\frac{14}{17}-\frac{5}{17}=\frac{14-5}{17}=\frac{9}{17}\)

Con Denominadores Distintivos

Paso 1: Reescribe las fracciones distintas (fracciones con diferentes denominadores) como fracciones similares (fracciones con el mismo denominador) con el mínimo común múltiplo como su nuevo denominador. Este nuevo denominador se llama el mínimo común denominador (LCD).

Para determinar el mínimo denominador común (LCD), encuentra el múltiplo común más pequeño de los denominadores, es decir, encontrar el número más pequeño en el que ambos denominadores dividen

Reescribe las fracciones diferentes como fracciones similares multiplicando el numerador y denominador de cada fracción por el número que hace que el denominador de cada una sea el denominador mínimo común.

Paso 2: Suma o resta los numeradores y mantén el denominador común.

Ejemplos:

1. \(\frac{2}{3}+\frac{1}{9}=\)

Primero encuentra el número más pequeño en el que se dividirán tanto 3 como 9, en este caso será 9, por lo que 9 es la LCD.

Entonces, necesitamos multiplicar la primera fracción por 3/3 para crear un 9 en el denominador:

\[\frac{3}{3}\cdot \frac{2}{3}+\frac{1}{9}=\frac{6}{9}+\frac{1}{9}=\frac{7}{9}\nonumber \]

2. \(\frac{3}{7}+\frac{1}{4}=\)

El mínimo denominador común = 28 (ya que 28 es el número más pequeño que se puede dividir entre 7 y 4)

A continuación, multiplica el numerador y denominador de 3/7 por 4/4 para crear un denominador de 28 y multiplicar el numerador y denominador de ¼ por 7/7 para crear un denominador de 28, finalmente sumar los numeradores y mantener el denominador común.

\[\frac{4}{4}\cdot \frac{3}{7}+\frac{1}{4}\cdot \frac{7}{7}=\frac{12}{28}+\frac{7}{28}=\frac{19}{28}\nonumber \]

NOTA: Sumamos, restamos, multiplicamos y dividimos fracciones negativas de manera similar a como sumamos, restamos, multiplicamos y dividimos los números negativos en la Sección ___.

Percentes

Un porcentaje se define como una cantidad basada en 100. Si dividimos la palabra en dos palabras, tenemos “por” y “ciento”. Por medias dividen por y por ciento significa 100, de ahí dividir por 100 o de cada 100.

Ejemplo: 54% significa 54 de 100

Utilizaremos porcentajes para calcular valores en Unidad ____.

Convertir entre diferentes tipos de números (fracciones, decimales y porcentajes)

Para convertir de una fracción a un decimal, divida el numerador por el denominador.

Para convertir de un decimal a una fracción, determine el lugar del último dígito después del decimal, escriba la fracción como todos los dígitos después del decimal sobre el último lugar del decimal.

Ejemplo: 0.547 representa 547 milésimas ya que el último dígito después del decimal está en el lugar de las milésimas, tenemos 547/1000.

Para convertir de una fracción a un porcentaje

Opción 1: Convertir la fracción a decimal y luego convertir el decimal a un porcentaje

Opción 2: Usar una proporción para escribir la fracción con un denominador de 100, luego usando la definición de un porcentaje, el porcentaje se basará en el numerador de la fracción con un denominador de 100. Exploraremos esta opción más en la Unidad ___ cuando aprendamos sobre proporciones.

Para convertir de un decimal a un porcentaje, multiplique el decimal por 100 o mueva el decimal dos unidades a la derecha.

Para convertir de un porcentaje a un decimal, divida el número de porcentaje por 100 o mueva el decimal dos unidades a la izquierda.