1.1: Resumiendo, Mirando hacia el futuro

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Lo que hemos intentado hacer en este primer capítulo es introducir los conceptos de lenguajes formales y estructuras formales. Esperamos que esté de acuerdo en que ha visto muchas estructuras matemáticas en el pasado, aunque quizás no las haya llamado estructuras en su momento. Al formalizar lo que queremos decir cuando decimos que una fórmula es cierta en una estructura, podremos unir verdad y demostrabilidad en los próximos capítulos.

Podrías estar en un punto en el que estás a punto de levantar las manos con asco y decir: “¿Por qué importa algo de esto? Llevo más de diez años haciendo matemáticas sin preocuparme por estructuras o funciones de asignación, y hasta ahora he podido resolver problemas y tener éxito como matemático”. Permítanos asegurarle que el esfuerzo y la precisión casi irrazonable que estamos imponiendo a nuestra exposición tendrá una recompensa en capítulos posteriores. Los teoremas mayores que deseamos probar son teoremas sobre la existencia o inexistencia de ciertos objetos. Para demostrar que no se puede expresar cierta idea en un idioma determinado, tenemos que saber, con una cantidad asombrosa de exactitud, qué es un lenguaje y qué estructuras son. Nuestros objetivos son algunos teoremas que son fáciles de afirmar incorrectamente, así que al ser precisos sobre lo que estamos diciendo, podremos hacer (y probar) afirmaciones que son verdaderamente revolucionarias.

Ya que vamos a estar hablando de la existencia e inexistencia de pruebas, ahora debemos centrar nuestra atención en definir (sí, precisamente) qué tipo de cosas califican como pruebas. Ese es el tema del siguiente capítulo.