1.2: Naïvely

Comencemos hablando informalmente sobre estructuras matemáticas y lenguajes matemáticos.

No cabe duda de que has trabajado con modelos matemáticos en varios cursos previos de matemáticas, aunque con toda probabilidad no te fue señalado en ese momento. Por ejemplo, si has tomado un curso de álgebra lineal, tienes alguna experiencia con\(\mathbb{R}^2\)\(\mathbb{R}^3\), y\(\mathbb{R}^n\) como ejemplos de espacios vectoriales. En la geometría de secundaria aprendiste que el plano es un “modelo” de los axiomas de geometría de Euclides. Quizás hayas tomado una clase en álgebra abstracta, donde viste varios ejemplos de grupos: Los enteros en suma, los grupos de permutación, y el grupo de\(n \times n\) matrices invertibles con la operación de multiplicación matricial son todos ejemplos de grupos - son “modelos” de los axiomas grupales. Todos estos son modelos matemáticos, o estructuras. Diferentes estructuras se utilizan para diferentes propósitos.

Supongamos que pensamos en una estructura matemática particular, por ejemplo\(\mathbb{R}^3\), la colección de triples ordenados de números reales. Si tratamos de hacer geometría euclidiana plana en\(\mathbb{R}^3\), fallamos miserablemente, ya que (por ejemplo) el postulado paralelo es falso en esta estructura. Por otro lado, si queremos hacer álgebra lineal en\(\mathbb{R}^3\), todo está bien, ya que podemos pensar en los puntos de\(\mathbb{R}^3\) como vectores y dejar que los escalares sean números reales. Entonces los axiomas para un espacio vectorial real son todos ciertos cuando se interpretan en\(\mathbb{R}^3\). Diremos que\(\mathbb{R}^3\) es un modelo de los axiomas para un espacio vectorial, mientras que no es un modelo para los axiomas de Euclides para geometría.

Como sin duda ha notado, nuestra discusión ha introducido dos tipos separados de cosas de las que preocuparse. Primero, están los modelos matemáticos, que se pueden pensar como los mundos matemáticos, o construcciones. Ejemplos de estos incluyen\(\mathbb{R}^3\), la colección de polinomios de grado 17, el conjunto de matrices 3x2 y la línea real. También hemos estado hablando de los axiomas de la geometría y los espacios vectoriales, y estos son algo diferente. Hablemos de esos axiomas por un momento.

Solo con fines de ilustración, veamos algunos de los axiomas que afirman que\(V\) es un verdadero espacio vectorial. Se enumeran aquí tanto informalmente como en un lenguaje más formal:

La adición de vectores es conmutativa:\(\left( \forall u \in V \right) \left( \forall v \in V \right) u + v = v + u\).

Hay un vector cero:\(\left( \exists 0 \in V \right) \left( \forall v \in V \right) v + 0 = v\).

Una vez cualquier cosa es en sí misma:\(\left( \forall v \in V \right) 1v = v\).

No te preocupes si el lenguaje formal no te resulta familiar en este momento; basta con notar que hay un lenguaje formal. Pero déjanos señalar algunas cosas que probablemente aceptaste sin cuestionar. El signo de adición que está en los dos primeros axiomas no es el mismo signo más que estabas usando cuando aprendiste a agregar en primer grado. O mejor dicho, es el mismo signo, pero interpretas ese signo de manera diferente. Si el espacio vectorial en consideración es\(\mathbb{R}^3\), sabes que en lo que respecta a los dos primeros axiomas que hay arriba, la suma es la adición de vectores. De igual manera, el 0 en el segundo axioma no es el número real 0; más bien, es el vector cero. También, la multiplicación en el tercer axioma que se indica por la yuxtaposición del 1 y el\(v\) es la multiplicación escalar del espacio vectorial, no la multiplicación de tercer grado.

Entonces parece que tenemos que poder mirar algunos símbolos en un lenguaje formal particular y luego tomar esos símbolos y relacionarlos de alguna manera con una estructura matemática. Diferentes interpretaciones de los símbolos conducirán a diferentes conclusiones en cuanto a la verdad de la declaración formal. Por ejemplo, si tomamos el axioma de la commutividad arriba y trabajamos con el\(V\) ser espacial\(\mathbb{R}^3\) pero interpretamos el signo\(+\) como que representa producto cruzado en lugar de adición vectorial, vemos que el axioma ya no es cierto, ya que el producto cruzado no es conmutativo.

Estos, entonces, son nuestros siguientes objetivos: introducir lenguajes formales, dar una definición oficial de una estructura matemática, y discutir la verdad en esas estructuras. La belleza vendrá más tarde.