6.15: Cuadriláteros Inscritos en Círculos

Cuadriláteros con cada vértice en círculo y ángulos opuestos que son complementarios.

Un polígono inscrito es un polígono donde cada vértice está en el círculo, como se muestra a continuación.

Figura\(\PageIndex{1}\)

Para cuadriláteros inscritos en particular, los ángulos opuestos siempre serán complementarios.

Teorema Cuadrilátero Inscrito: Un cuadrilátero se puede inscribir en círculo si y sólo si los ángulos opuestos son suplementarios.

Figura\(\PageIndex{2}\)

Si\(ABCD\) está inscrito en\(\bigodot E\), entonces\(m\angle A+m\angle C=180^{\circ}\) y\(m\angle B+m\angle D=180^{\circ}\). Por el contrario, Si\(m\angle A+m\angle C=180^{\circ}\) y\(m\angle B+m\angle D=180^{\circ}\), entonces\(ABCD\) se inscribe en\(\bigodot E\).

¿Y si te dieran un círculo con un cuadrilátero inscrito en él? ¿Cómo podría usar la información sobre los arcos formados por las medidas de ángulo cuadrilátero y/o cuadrilátero para encontrar la medida de los ángulos cuadriláteros desconocidos?

Ejemplo\(\PageIndex{1}\)

1. 

   Figura\(\PageIndex{3}\)

2. 

   Figura\(\PageIndex{4}\)

Solución

1. \ (\ begin {alineado}
   x+80^ {\ circ} &=180^ {\ circ}\ qquad& y+71^ {\ circ} &=180^ {\ circ}\\
   x&=100^ {\ circ} & y&=109^ {\ circ}
   \ end {alineado}\)

2. \ (\ begin {alineado}
   z+93^ {\ circ} &=180^ {\ circ} & x&=\ frac {1} {2}\ left (58^ {\ circ} +106^ {\ circ}\ derecha) & y+82^ {\ circ} &=180^ {\ circ}\\
   z &=87^ {\ circ} & x &=82^ {\ circ} & y&=98^ {\ circ}
   \ final {alineado}\)

Ejemplo\(\PageIndex{2}\)

Encuentra\(x\) y\(y\) en la imagen de abajo.

Figura\(\PageIndex{5}\)

Solución

\ (\ begin {array} {rlrl}
(7 x+1) ^ {\ circ} +105^ {\ circ} & =180^ {\ circ} & (4 y+14) ^ {\ circ} + (7 y+1) ^ {\ circ} & =180^ {\ circ}\\
7 x+106^ {\ circ} & =180^ {\ circ} & 11 y+15^ {\ circ} & =180^ {\ circ}\\
7 x & =74 & 11 y & =165\\
x & ; =10.57 & y&=15
\ end {array}\)

Ejemplo\(\PageIndex{3}\)

Encuentra los valores de x e y en\(\bigodot A\).

Figura\(\PageIndex{6}\)

Solución

Utilice el Teorema Cuadrilátero Inscrito. \(x^{\circ}+108^{\circ}=180^{\circ}\)así\(x=72^{\circ}\). Del mismo modo,\(y^{\circ}+88^{\circ}=180^{\circ}\) así\(y=92^{\circ}\).

Ejemplo\(\PageIndex{4}\)

Cuadrilátero\(ABCD\) está inscrito en\(\bigodot E\). Encontrar\(m\angle A\),\(m\angle B\),\(m\angle C\), y\(m\angle D\).

Figura\(\PageIndex{7}\)

Solución

Primero, tenga en cuenta que\(m\widehat{AD}=105^{\circ}\) debido a que el círculo completo debe sumar hasta\(360^{\circ}\).

\(\begin{aligned}m\angle A&=\dfrac{1}{2}m\widehat{BD}=12(115+86)=100.5^{\circ} \\ m\angle B&=\dfrac{1}{2}m\widehat{AC}=12(86+105)=95.5^{\circ} \\ m\angle C&=180^{\circ}−m\angle A=180^{\circ}−100.5^{\circ}=79.5^{\circ} \\ m\angle D&=180^{\circ}−m\angle B=180^{\circ}−95.5^{\circ}=84.5^{\circ}\end{aligned}\)

Revisar

Rellene los espacios en blanco.

1. Un polígono (n) _______________ tiene todos sus vértices en un círculo.
2. Los ángulos _____________ de un cuadrilátero inscrito son ________________.

Cuadrilátero\(ABCD\) está inscrito en\(\bigodot E\). Encuentra:

Figura\(\PageIndex{8}\)

3. \(m\angle DBC\)
4. \(m\widehat{BC}\)
5. \(m\widehat{AB}\)
6. \(m\angle ACD\)
7. \(m\angle ADC\)
8. \(m\angle ACB\)

Encuentra el valor de\(x\) y/o\(y\) en\(\bigodot A\).

9. 

   Figura\(\PageIndex{9}\)

10. 

    Figura\(\PageIndex{10}\)

11. 

    Figura\(\PageIndex{11}\)

Resolver para\(x\).

12. 

    Figura\(\PageIndex{12}\)

13. 

    Figura\(\PageIndex{13}\)

vocabulario

Término	Definición
ángulo central	Un ángulo formado por dos radios y cuyo vértice se encuentra en el centro del círculo.
acorde	Un segmento de línea cuyos extremos están en un círculo.
círculo	El conjunto de todos los puntos que están a la misma distancia de un punto específico, llamado el centro.
diámetro	Un acorde que pasa por el centro del círculo. La longitud de un diámetro es dos veces la longitud de un radio.
ángulo inscrito	Un ángulo con su vértice en el círculo y cuyos lados son acordes.
arco interceptado	El arco que se encuentra dentro de un ángulo inscrito y cuyos extremos están en el ángulo.
radio	La distancia desde el centro hasta el borde exterior de un círculo.
Polígono con Inscritos	Un polígono inscrito es un polígono con cada vértice en un círculo dado.
Teorema Cuadrilátero con Inscritos	El Teorema Cuadrilátero Inscrito establece que un cuadrilátero puede ser inscrito en un círculo si y sólo si los ángulos opuestos del cuadrilátero son suplementarios.
Cuadriláteros Cíclicos	Un cuadrilátero cíclico es un cuadrilátero que se puede inscribir en un círculo.

Recursos adicionales

Elemento Interactivo

Video: Cuadriláteros Inscritos en Círculos Principios - Básico

Actividades: Cuadriláteros Inscritos en Círculos Preguntas de Discusión

Ayudas de estudio: Guía de estudio Inscritos en Círculos

Práctica: Cuadriláteros Inscritos en Círculos

Mundo real: Amanecer en Stonehenge