7.9: Similitud SAS

Los triángulos son similares si dos pares de lados son proporcionales y los ángulos incluidos son congruentes.

Teorema de similitud SAS

Por definición, dos triángulos son similares si todos sus ángulos correspondientes son congruentes y sus lados correspondientes son proporcionales. No es necesario revisar todos los ángulos y lados para saber si dos triángulos son similares. De hecho, si solo sabes que dos pares de lados son proporcionales y sus ángulos incluidos son congruentes, esa es información suficiente para saber que los triángulos son similares. Esto se llama Teorema de Similaridad SAS.

Teorema de similitud SAS: Si dos lados en un triángulo son proporcionales a dos lados en otro triángulo y el ángulo incluido en ambos son congruentes, entonces los dos triángulos son similares.

Figura\(\PageIndex{1}\)

Si\(\dfrac{AB}{XY}=\dfrac{AC}{XZ}\) y\(\angle A\cong \angle X\), entonces\(\Delta ABC\sim \Delta XYZ\).

¿Y si te dieran un par de triángulos, las longitudes de dos de sus lados y la medida del ángulo entre esos dos lados? ¿Cómo podría usar esta información para determinar si los dos triángulos son similares?

Ejemplo\(\PageIndex{1}\)

Determinar si los siguientes triángulos son similares. Si es así, escriba el teorema de similitud y la declaración.

Figura\(\PageIndex{2}\)

Solución

Podemos ver eso\(\angle B\cong \angle F\) y estos son ambos ángulos incluidos. Sólo tenemos que comprobar que los lados alrededor de los ángulos son proporcionales.

\(\begin{aligned} \dfrac{AB}{DF} &=\dfrac{12}{8}=\dfrac{3}{2} \\ \dfrac{BC}{FE}&=\dfrac{24}{16}=\dfrac{3}{2} \end{aligned}\)

Dado que las proporciones son las mismas\(\Delta ABC\sim \Delta DFE\) según el Teorema de Similitud SAS.

Ejemplo\(\PageIndex{2}\)

Determinar si los siguientes triángulos son similares. Si es así, escriba el teorema de similitud y la declaración.

Figura\(\PageIndex{3}\)

Solución

Los triángulos no son similares porque el ángulo no es el ángulo incluido para ambos triángulos.

Ejemplo\(\PageIndex{3}\)

¿Los dos triángulos son similares? ¿Cómo lo sabes?

Figura\(\PageIndex{4}\)

Solución

Eso lo sabemos\(\angle B\cong \angle Z\) porque ambos son ángulos rectos y\(\dfrac{10}{15}=\dfrac{24}{36}\). Entonces,\(\dfrac{AB}{XZ}=\dfrac{BC}{ZY}\) y\(\Delta ABC\sim \Delta XZY\) por SAS.

Ejemplo\(\PageIndex{4}\)

¿Hay algún triángulo similar en la figura? ¿Cómo lo sabes?

Figura\(\PageIndex{5}\)

Solución

\(\angle A\)es compartido por\(\Delta EAB\) y\(\Delta DAC\), por lo que es congruente consigo mismo. Veamos si\(\dfrac{AE}{AD}=\dfrac{AB}{AC}\).

\(\begin{aligned} \dfrac{9}{9+3}&=\dfrac{12}{12+5} \\ \dfrac{9}{12}&=\dfrac{3}{4}\neq \dfrac{12}{17}\qquad \text{ The two triangles are not similar. }\end{aligned}\)

Ejemplo\(\PageIndex{5}\)

Del Ejemplo 4, ¿qué debe ser\(BC\) igual\(\Delta EAB\sim \Delta DAC\)?

Solución

La proporción con la que terminamos fue\(\dfrac{9}{12}=\dfrac{3}{4}\neq \dfrac{12}{17}\). AC necesita igualar 16, para que\(\dfrac{12}{16}=dfrac{3}{4}\). \(AC=AB+BC\)y\(16=12+BC\). \(BC\)debe ser igual a 4.

Revisar

Rellene los espacios en blanco.

1. Si dos lados en un triángulo son _________________ a dos lados en otro y los ángulos ________________ son _________________, entonces los triángulos son ______________.

Determinar si los siguientes triángulos son similares. Si es así, escriba el teorema de similitud y la declaración.

2. 

   Figura\(\PageIndex{6}\)

Encuentra el valor de las variables faltantes que hacen que los dos triángulos sean similares.

3. 

   Figura\(\PageIndex{7}\)

4. 

   Figura\(\PageIndex{8}\)

5. 

   Figura\(\PageIndex{9}\)

Determinar si los triángulos son similares. Si es así, escriba el teorema de similitud y la declaración.

6. \(\Delta ABC\)es un triángulo rectángulo con patas que miden 3 y 4. \(\Delta DEF\)es un triángulo rectángulo con patas que miden 6 y 8.
7. \(\Delta GHI\)es un triángulo rectángulo con una pierna que mide 12 y una hipotenusa que mide 13. \(\Delta JKL\)es un triángulo rectángulo con patas que miden 1 y 2.

8. 

   Figura\(\PageIndex{10}\)

9. 

   Figura\(\PageIndex{11}\)

10. 

    Figura\(\PageIndex{12}\)

11. 

    Figura\(\PageIndex{13}\)

12. \(\overline{AC}=3\)

\(\overline{DF}=6\)

Figura\(\PageIndex{14}\)

13. 

    Figura\(\PageIndex{15}\)

14. 

    Figura\(\PageIndex{16}\)

15. 

    Figura\ (\ pageIndex {17}\

Reseña (Respuestas)

Para ver las respuestas de Revisar, abra este archivo PDF y busque la sección 7.7.

Recursos

El vocabulario

Término	Definición
Postulado de similitud AA	Si dos ángulos en un triángulo son congruentes con dos ángulos en otro triángulo, entonces los dos triángulos son similares.
Congruente	Las figuras congruentes son idénticas en tamaño, forma y medida.
Dilatación	Reducir o agrandar una figura según un factor de escala es una dilatación.
SAS	SAS significa lado, ángulo, lado, y se refiere al hecho de que se conocen dos lados y el ángulo incluido de un triángulo.
Teorema de similitud SAS	El Teorema de Similitud SAS establece que si dos lados en un triángulo son proporcionales a dos lados en otro triángulo y el ángulo incluido en ambos son congruentes, entonces los dos triángulos son similares.
Transformación de similitud	Una transformación de similitud es una o más transformaciones rígidas seguidas de una dilatación.

Recursos adicionales

Elemento interactivo

Video: Triángulos Congruentes y Similares

Actividades: SAS Similaridad Discusión Preguntas

Ayudas de estudio: Guía de estudio de similitud poligonal

Práctica: Similitud SAS

Mundo Real: Similitud de Triángulos