8.9: Notación de traducción

Introducción gráfica a las traducciones de imágenes. Aprende a usar la notación para describir reglas de mapeo, y graficar imágenes dadas preimagen y traducción

Reglas para traducciones

Jack describe una traducción como un punto que se mueve de\(J(−2, 6)\) a\(J′(4,9)\). Escribe la regla de mapeo para describir esta traducción para Jack.

En geometría, una transformación es una operación que mueve, voltea o cambia una forma (llamada preimagen) para crear una nueva forma (llamada imagen). Una traslación es un tipo de transformación que mueve cada punto de una figura a la misma distancia en la misma dirección. Las traducciones a menudo se denominan diapositivas. Se puede describir una traducción usando palabras como “movido hacia arriba 3 y más de 5 a la izquierda” o con notación. Hay dos tipos de notación que hay que conocer.

1. Parece una notación\(T_{(3, 5)}\). Esta notación le indica que agregue 3 a los\(x\) valores y agregue 5 a los\(y\) valores.
2. La segunda notación es una regla de mapeo de la forma\((x,y) \rightarrow (x−7, y+5)\). Esta notación le dice que las\(y\) coordenadas\(x\) y se traducen a\(x−7\) y\(y+5\).

La notación de reglas de mapeo es la más común.

Elemento Interactivo

Escribamos una regla de mapeo para cada una de las siguientes traducciones:

1. Sarah describe una traducción como un punto que\(P\) se mueve de\(P(−2,2)\) a\(P′(1,−1)\).

En general,\(P(x, y) \rightarrow P′(x+a, y+b)\).

En este caso,\(P(−2, 2) \rightarrow P′(−2+a, 2+b)\) o\(P(−2, 2) \rightarrow P′(1, −1)\)

Por lo tanto:

\ (\ begin {array} {rr}
-2+a=1 &\ text {y}\ quad 2+b=-1\
a=3 &\ quad b=-3
\ end {array}\)

La regla es:\((x,y) \rightarrow (x+3, y−3)\)

2. Mikah describe una traducción como punto D en un diagrama que se mueve de\(D(1, −5)\) a\(D′(−3,1)\).

En general,\(P(x,y) \rightarrow P′(x+a, y+b)\).

En este caso,\(D(1,−5) \rightarrow D′(1+a,−5+b)\) o\(D(1,−5) \rightarrow D′(−3,1)\)

Por lo tanto:

\ (\ begin {array} {rrr}
1+a=-3 &\ text {y} & -5+b=1\\
a=-4 & & b=6
\ end {array}\)

La regla es:\((x,y) \rightarrow (x−4, y+6)\)

3. La traducción de la preimagen\(A\) a la imagen traducida\(J\) en el siguiente diagrama:

Figura\(\PageIndex{1}\)

Primero, elige un punto en el diagrama para usar para ver cómo se traduce.

Figura\(\PageIndex{2}\)

\(D:(−1,4) D′:(6,1)\)

\(D(x,y) \rightarrow D′(x+a,y+b)\)

Entonces:\(D(−1,4) \rightarrow D′(−1+a,4+b)\) o\(D(−1,4) \rightarrow D′(6,1)\)

Por lo tanto:

\ (\ begin {array} {rrr}
-1+a=6 &\ text {y} & 4+b=1\\
a=7 & & b=-3
\ end {array}\)

La regla es:\((x,y) \rightarrow (x+7,y−3)\)

Ejemplo\(\PageIndex{1}\)

Anteriormente, le dijeron que Jack describió una traducción como un punto que\(J\) se mueve de\(J(−2,6)\) a\(J′(4,9)\). ¿Cuál es la regla de mapeo que describe esta traducción?

Solución

\((x,y) \rightarrow (x+6, y+3)\)

Ejemplo\(\PageIndex{2}\)

Escribe la regla de mapeo que representa la traducción del triángulo rojo al triángulo verde traducido en el diagrama de abajo.

Figura\(\PageIndex{3}\)

Solución

\((x, y) \rightarrow (x−3, y−5)\)

Ejemplo\(\PageIndex{3}\)

El siguiente patrón es parte del papel pintado que se encuentra en el lobby de un hotel. Escriba la regla de mapeo que representa la traducción de un trapecio azul a un trapecio azul traducido que se muestra en el diagrama a continuación.

Figura\(\PageIndex{4}\)

Solución

Si miras de cerca el diagrama a continuación, hay dos pares de trapecios que son traducciones entre sí. Por lo tanto puedes elegir un trapecio azul que sea una traslación del otro y escoger un punto para averiguar cuánto se ha movido la forma para llegar a la posición traducida.

Figura\(\PageIndex{5}\)

Para esos dos trapecios:\((x,y) \rightarrow (x+4, y−5)\)

Revisar

Escribe la regla de mapeo para describir el movimiento de los puntos en cada una de las traducciones a continuación.

1. \(S(1,5) \rightarrow S′(2,7)\)
2. \(W(−5,−1) \rightarrow W′(−3,1)\)
3. \(Q(2,−5) \rightarrow Q′(−6,3)\)
4. \(M(4,3) \rightarrow M′(−2,9)\)
5. \(B(−4,−2) \rightarrow B′(2,−2)\)
6. \(A(2,4) \rightarrow A′(2,6)\)
7. \(C(−5,−3) \rightarrow C′(−3,4)\)
8. \(D(4,−1) \rightarrow D′(−4,2)\)
9. \(Z(7,2) \rightarrow Z′(−3,6)\)
10. \(L(−3,−2) \rightarrow L′(4,−1)\)

Escribe la regla de mapeo que representa la traducción de la preimagen a la imagen para cada diagrama a continuación.

11. 

    Figura\(\PageIndex{6}\)

12. 

    Figura\(\PageIndex{7}\)

13. 

    Figura\(\PageIndex{8}\)

14. 

    Figura\(\PageIndex{9}\)

15. 

    Figura\(\PageIndex{10}\)

Reseña (Respuestas)

Para ver las respuestas de Revisar, abra este archivo PDF y busque la sección 10.3.

Recursos adicionales

Elemento Interactivo

Video: Cuadrantes de plano de coordenadas

Práctica: Notación de traducción