3.1.3: Identidades recíprocas

Relación entre seno/coseno/tangente y cosecante/secante/cotangente.

Ya estás familiarizado con las identidades trigonométricas de seno, coseno y tangente. Como saben, cualquier fracción también tiene una inversa, que se encuentra invirtiendo las posiciones del numerador y denominador.

¿Puedes enumerar cuáles serían las proporciones para las tres funciones trigonométricas (seno, coseno y tangente) con los numeradores y denominadores invertidos?

Identidades recíprocas

Un recíproco de una fracción ab es la fracción ba. Es decir, encontramos el recíproco de una fracción intercambiando el numerador y el denominador, o volteando la fracción. Las seis funciones trig se pueden agrupar en pares como recíprocas.

Primero, considere la definición de la función sinusoidal para los ángulos de rotación:\(\sin \theta =\dfrac{y}{r}\). Consideremos ahora la función cosecante:\(\csc \theta=\dfrac{r}{y}\). En el círculo unitario, estos valores son\(\sin \theta =\dfrac{y}{1}=y\) y\(\csc \theta=\dfrac{1}{y}\). Estas dos funciones, por definición, son recíprocas. Por lo tanto, el valor sinusoidal de un ángulo es siempre el recíproco del valor cosecante, y viceversa. Por ejemplo, si\(\sin \theta =\dfrac{1}{2}\), entonces\(\csc \theta=\dfrac{2}{1}=2\).

Análogamente, la función coseno y la función secante son recíprocas, y la función tangente y cotangente son recíprocas:

\ (\ begin {alineado}
\ sec\ theta &=\ frac {1} {\ cos\ theta} &\ text {o} &\ cos\ theta=\ frac {1} {\ sec\ theta}\
\\ cot\ theta &=\ frac {1} {\ tan\ theta} &\ text {o} & tan\ theta=\ frac {1} {\ cot\ theta}
\ final {alineado}\)

Uso de identidades recíprocas

Encuentra el valor de las siguientes expresiones usando una identidad recíproca.

1. \(\cos \theta=.3\),\(\sec \theta=?\)

\(\sec \theta=\dfrac{10}{3}\)

Estas funciones son recíprocas, así que si\(\cos \theta=.3\), entonces\(\sec \theta=1.3\). Es más fácil encontrar el recíproco si expresamos los valores como fracciones:\(\cos \theta=.3=\dfrac{3}{10} \Rightarrow \sec \theta=103\).

2. \(\cot \theta=\dfrac{4}{3}\),\(\tan \theta=?\)

Estas funciones son recíprocas, y la recíproca de\(\dfrac{4}{3}\) es\(\dfrac{3}{4}\).

También podemos usar las relaciones recíprocas para determinar el dominio y el rango de funciones.

3. \(\sin \theta =\dfrac{1}{2}\),\(\csc \theta=?\)

Estas funciones son recíprocas, y la recíproca de\(\dfrac{1}{2}\) es 2.

Ejemplo\(\PageIndex{1}\)

Anteriormente, se le pidió que enumerara las proporciones para las tres funciones trigonométricas con los numeradores y denominadores invertidos.

Solución

Dado que las tres funciones trig regulares se definen como:

\(\begin{aligned} \sin&=\dfrac{\text{opposite}}{\text{hypotenuse}} \\ \cos&=\dfrac{\text{adjacent}}{\text{hypotenuse}} \\ \tan&=\dfrac{\text{opposite}}{\text{adjacent}} \end{aligned}\)

entonces las tres funciones - llamadas “funciones recíprocas” son:

\(\begin{aligned}\csc&=\dfrac{\text{hypotenuse}}{\text{opposite}} \\ \sec&=\dfrac{\text{hypotenuse}}{\text{adjacent}}\\ \cot&=\dfrac{\text{adjacent}}{\text{opposite}}\end{aligned}\)

Ejemplo\(\PageIndex{2}\)

Declarar la función recíproca de cosecante.

Solución

La función recíproca de cosecante es seno.

Ejemplo\(\PageIndex{3}\)

Encuentra el valor de la expresión usando una identidad recíproca.

\(\sec \theta=\dfrac{2}{\pi}\),\(\cos \theta=?\)

Solución

Estas funciones son recíprocas, y la recíproca de\(\dfrac{2}{\pi}\) es\(\dfrac{\pi}{2}\).

Ejemplo\(\PageIndex{4}\)

Encuentra el valor de la expresión usando una identidad recíproca.

\(\csc \theta=4\),\(\cos \theta=?\)

Solución

Estas funciones son recíprocas, y la recíproca de 4 es\(\dfrac{1}{4}\).

Revisar

1. Declarar la función recíproca de secante.
2. Declarar la función recíproca de la cotangente.
3. Declarar la función recíproca del seno.

Encuentra el valor de la expresión usando una identidad recíproca.

4. \(\sin \theta =\dfrac{1}{2}\),\(\csc \theta=?\)
5. \(\cos \theta=\dfrac{−\sqrt{3}}{2}\),\(\sec \theta=?\)
6. \(\tan \theta=1\),\(\cot \theta=?\)
7. \(\sec \theta=\sqrt{2}\),\(\cos \theta=?\)
8. \(\csc \theta=2\),\(\sin \theta =?\)
9. \(\cot \theta=−1\),\(\tan \theta=?\)
10. \(\sin \theta =\dfrac{\sqrt{3}}{2}\),\(\csc \theta=?\)
11. \(\cos \theta=0\),\(\sec \theta=?\)
12. \(\tan \theta=\text{undefined}\),\(\cot \theta=?\)
13. \(\csc \theta=\dfrac{2\sqrt{3}}{3}\),\(\sin \theta =?\)
14. \(\sin \theta =\dfrac{−1}{2}\)y\(\tan \theta=\dfrac{\sqrt{3}}{3}\),\(\cos \theta=?\)
15. \(\cos \theta=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\)y\(\tan \theta=1\),\(\sin \theta =?\)

Reseña (Respuestas)

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El vocabulario

Término	Definición
dominio	El dominio de una función es el conjunto de valores x para los que se define la función.
Rango	El rango de una función es el conjunto de valores y para los que se define la función.
Función Trig Recíproca	Una función trigonométrica recíproca es una función que es la recíproca de una función trigonométrica típica. Por ejemplo, ya que\(\sin x=\dfrac{\text{opposite}}{\text{hypotenuse}}\), la función recíproca es\(\csc x=\dfrac{\text{hypotenuse}}{\text{opposite}}\)

Recursos adicionales

Elemento interactivo

Video: Las identidades recíprocas, cocientes y pitagóricas