B17: Campo Magnético: Causas

Este capítulo trata sobre magnetismo pero pensemos en nuestra introducción para cobrar por un momento. Hablamos del campo eléctrico antes de decir mucho sobre lo que lo causó. Dijimos que el campo eléctrico ejerce una fuerza sobre una partícula que tiene carga. Posteriormente descubrimos que las partículas cargadas desempeñan no sólo el papel de “víctima” del campo eléctrico sino, que las partículas cargadas hacen que existan campos eléctricos.

Ahora hemos estado hablando del campo magnético. Nosotros hemos dicho que el campo magnético ejerce un par sobre una partícula que tiene momento dipolo magnético. Se podría adivinar que una partícula que tiene momento dipolo magnético causaría un campo magnético. ¡Tendrías razón! Una partícula que tiene la propiedad física conocida como momento dipolo magnético provoca que exista un campo magnético en la región del espacio que la rodea. Un campo magnético puede ser causado por una partícula que tiene un momento dipolar magnético o una distribución de partículas que tienen un momento dipolar magnético.

El campo magnético en el punto\(P\), un punto vacío en el espacio cerca de una partícula que tiene un momento dipolar magnético, debido a ese momento de partícula con dipolo magnético, viene dado por

\[\vec{B}=\frac{\mu_o}{4\pi} \frac{3(\vec{\mu}\cdot \hat{r})\hat{r}-\vec{\mu}}{r^3} \label{17-1}\]

donde

• \(\mu_o=4\pi \times 10^{-7} \frac{T\cdot m}{A}\)es una constante universal que se conoce con el nombre de “la permeabilidad magnética del espacio libre”. Este valor se debe tomar como exacto. (No trate el “\(4\)” como un valor conocido por un solo dígito significativo.)
• \(\vec{B}\)es el vector de campo magnético en el punto\(P\), donde\(P\) está un punto vacío en el espacio a una\(r\) distancia del momento de partícula con dipolo magnético que está causando\(\vec{B}\).
• \(\vec{\mu}\)es el momento dipolar magnético de la partícula que está causando el campo magnético.
• \(\hat{r}\)es un vector unitario en la dirección “de la partícula, hacia el punto\(P\)”. \(\vec{r}\)Definir ser el vector de posición del punto\(P\) relativo a la ubicación de la partícula-con-dipolo-magnético-momento,\(\vec{r}=r \hat{r}\) así\(\hat{r}=\frac{\vec{r}}{r}\).
• \(r\)es la distancia que\(P\) se encuentra ese punto desde el momento de partícula con dipolo magnético.

Un momento de partícula con dipolo magnético se llama dipolo magnético. Tenga en cuenta que el campo magnético debido a un dipolo magnético muere como\(\frac{1}{r^3}\).

Una partícula está en el origen de un sistema de coordenadas cartesianas. El momento dipolar magnético de la partícula es\(1.0 \, A\cdot m^2 \hat{j}\). Find the magnetic field vector, due to the particle, at \((3.0cm, 4.0cm)\).

Solution

I’m going to start with a diagram of the configuration.

Note that I do not know the direction of B in advance, so, I have drawn \(\vec{B}\) on the diagram in a fairly arbitrary direction. I did want to put \(\vec{B}\) on there to make it more evident that we are dealing with the magnetic field at point \(P\), caused by the particle at the origin. Also, intentionally drew \(\vec{B}\) in a direction other than that of \(\vec{r}\), to avoid conveying the false impression that \(\vec{B}\) is necessarily in the direction of \(\vec{r}\). (At some points, it is, but those points are the exception. In general, \(\vec{B}\) is not in the same direction as \(\vec{r}\). As we shall soon see, for the case at hand, it turns out that \(\vec{B}\) is not in the same direction as \(\vec{r}\).)

Given \(x=0.030 m\) and \(y=0.040 m\), the position vector, for point \(P\) is \(\vec{r}=0.030 m\hat{i}+0.040 m\hat{j}\). The magnitude of \(\vec{r}\) is given by:

\[r=\sqrt{x^2+y^2}\]

\[r=\sqrt{(.030m)^2+(.040m)^2}\]

\[r=.050 m\]

The unit vector \(\hat{r}\) is thus given by:

\[\hat{r}=\frac{\vec{r}}{r}\]

\[\hat{r}=\frac{0.030m \hat{i}+0.040 m\hat{j}}{0.050 m}\]

\[\hat{r}=0.60\hat{i}+0.80\hat{j}\]

Substituting what we have into our expression for \(\vec{B}\) we find:

\[\vec{B}=\frac{\mu_o}{4\pi}\frac{3 (\mu\cdot \hat{r})\hat{r}-\vec{\mu}}{r^3}\]

\[\vec{B}=\frac{4\pi\times 10^{-7} T\cdot m/A}{4\pi} \frac{3 [(1.0A\cdot m^2 \hat{j})\cdot (0.60\hat{i}+0.80\hat{j})] (0.60\hat{i}+0.80\hat{j})-1.0A\cdot m^2 \hat{j}}{(.050m)^3}\]

\[\vec{B}=1\times 10^{-7} \frac{T\cdot m}{A} \frac{3[0.80 A\cdot m^2](0.60\hat{i}+0.80\hat{j})-1.0A\cdot m^2 \hat{j}}{(.050m)^3}\]

\[\vec{B}=1\times 10^{-7} \frac{T\cdot m}{A} \frac{1.44A\cdot m^2 \hat{i}+1.92 A\cdot m^2 \hat{j}-1.0A\cdot m^2 \hat{j}}{(.050m)^3}\]

\[\vec{B}=1\times 10^{-7} \frac{T\cdot m}{A} \frac{1.44A\cdot m^2 \hat{i}+0.92 A\cdot m^2 \hat{j}}{(.050m)^3}\]

\[\vec{B}=1\times 10^{-7} \frac{T\cdot m}{A} (11520 \frac{A}{m} \hat{i}+7360 \frac{A}{m} \hat{j})\]

\[\vec{B}=1.152 mT\hat{i}+.736mT \hat{j}\]

So ends our solution to the sample problem. Here’s a magnetic field diagram of the magnetic field due to a particle that has a magnetic dipole moment.

El campo magnético debido a un bucle o bobina

Descubrimos en el último capítulo que, como víctima de un campo magnético, un bucle de corriente o una bobina portadora de corriente se comporta como si se tratara de una partícula con un momento dipolo magnético

\[\vec{\mu}=NI\vec{A}\]

donde:

• \(\vec{\mu}\)es el momento magnético de la bobina de alambre.
• \(N\)es el número de devanados, también conocido como el número de vueltas. (\(N=1\)en el caso de un bucle.)
• \(I\)es la corriente en la bobina.
• \(\vec{A}\)es el vector de área del bucle o bobina. Su magnitud es el área de la forma plana cuyo perímetro es el bucle o bobina. Su dirección es la dirección que señalaría tu pulgar derecho extendido si rizas los dedos de tu mano derecha alrededor del bucle en la dirección de la corriente.

Se podría adivinar que si una bobina de alambre responde a un campo magnético como si se tratara de una partícula con un momento dipolo magnético, entonces quizás también pueda comportarse como fuente de líneas de campo magnético y crear el mismo tipo de campo magnético que produce una partícula con un momento dipolo magnético. Efectivamente lo hace. En comparación con una partícula como el electrón que tiene un momento dipolar magnético pero en sí misma no tiene extensión en el espacio, un bucle o bobina de alambre sí tiene extensión en el espacio. El campo magnético muy cerca del bucle o bobina es más complicado que un campo dipolar, pero, en puntos cuya distancia del bucle o bobina es grande en comparación con el diámetro de la bobina, el campo magnético del bucle o bobina es el campo magnético del dipolo

\[\vec{B}=\frac{\mu_o}{4\pi} \frac{3(\vec{\mu}\cdot \hat{r})\hat{r}-\vec{\mu}}{r^3} \]

En el caso de un bucle o bobina, el\(\vec{\mu}\) que aparece en esta ecuación es\(\vec{\mu}=NI\vec{A}\).

Un imán de barra

Un átomo está formado por un núcleo que contiene neutrones y protones; y; electrones en órbita alrededor del núcleo. Cada una de estas partículas elementales tiene un momento magnético. El momento magnético del electrón es\(9.28\times 10^{-24} A\cdot m^2\), el momento magnético del protón es\(1.41\times 10^{-26} A\cdot m^2\), y, el momento magnético del neutrón es\(9.66\times 10^{-27} A\cdot m^2\). Cuando estas partículas se combinan para formar átomos, cada una de ellas contribuye al campo magnético del átomo. Además de estas contribuciones al campo magnético, los protones se mueven en bucles dentro del núcleo y los electrones se mueven en bucles alrededor del núcleo. Una partícula cargada que se mueve en un bucle es un bucle de corriente y dichos bucles de corriente contribuyen al campo magnético general del átomo. En muchos átomos las diversas contribuciones al campo magnético se cancelan entre sí de tal manera que el campo magnético general es esencialmente cero. En algunos átomos, como el hierro, el cobalto y el neodimio, las diversas contribuciones al campo magnético no cancelan. En tales casos, el campo magnético total observado del átomo es un campo magnético dipolo, y, el átomo se comporta como un dipolo magnético. Las sustancias que consisten en tales átomos se denominan materiales ferromagnéticos.

Considera una barra o barra de hierro que no sea un imán. La barra se formó a partir de hierro fundido. A medida que el hierro se enfriaba, se formaron cristales de siembra en varias ubicaciones dentro del hierro. Al inicio de la cristalización, los átomos de hierro que forman el cristal semilla tienden a alinearse entre sí, del polo sur al polo norte. El campo magnético del cristal semilla hace que los átomos de hierro vecinos se alineen con el momento dipolo magnético del cristal semilla de modo que cuando cristalizan y se convierten en parte del cristal en crecimiento, también se alinean el polo sur con el polo norte. Las contribuciones de los átomos que componen el cristal al campo magnético del cristal tienden a sumarse constructivamente para formar un campo magnético relativamente grande. Hay multitud de sitios en los que comienzan a formarse cristales y en cada sitio, en ausencia de un campo magnético externo, el cristal semilla se alinea en una dirección aleatoria. A medida que los cristales crecen, forman colectivamente una multitud de barras magnéticas microscópicas. Cuando la barra de hierro está completamente solidificada, consiste en una multitud de barras magnéticas microscópicas llamadas dominios. Debido a que están alineados en direcciones aleatorias, sus campos magnéticos se cancelan entre sí. Poner la barra o barra de hierro en un campo magnético y el campo magnético hará que los imanes de barra microscópicos, los dominios, en el hierro se alineen entre sí en una medida que depende de la intensidad del campo magnético. Esto convierte la barra o barra de hierro en un imán. Retire la varilla o barra del campo magnético y las fuerzas locales en los dominios hacen que vuelvan a sus orientaciones originales. No logran sus orientaciones originales y el hierro permanece al menos débilmente magnetizado, efecto conocido como histéresis.

Volviendo al proceso de enfriamiento, si permitimos que el hierro fundido cristalice dentro de un campo magnético externo, los cristales semilla, tenderán a alinearse con el campo magnético externo, y por lo tanto, entre sí. Cuando el hierro está completamente solidificado, tienes un imán permanente.

Entonces un imán de barra consiste en un manojo de barras magnéticas microscópicas que a su vez consisten en un manojo de átomos cada uno de los cuales tiene un momento dipolo magnético porque consiste en partículas que cada una tiene un momento dipolo magnético y en algunos casos tienen carga y se mueven en un bucle dentro del átomo.

El campo magnético de una barra magnética es así la superposición (suma vectorial en cada punto del espacio) de una gran cantidad de campos dipolares magnéticos. Como tal, a distancias grandes en comparación con la longitud del imán, el campo magnético de un imán de barra es un campo dipolo magnético. Como tal, podemos asignar, en base a mediciones, un vector dipolo magnético\(\vec{\mu}\) al imán de barra como un todo, y calcular su campo magnético (válido para distancias grandes en comparación con la longitud del imán) como

\[\vec{B}=\frac{\mu_o}{4\pi} \frac{3(\vec{\mu}\cdot \hat{r})\hat{r}-\vec{\mu}}{r^3} \]

La fuerza dipolo-dipolo

El campo magnético producido por un imán de barra ejercerá un par sobre otro imán de barra. Porque el campo magnético debido a un dipolo magnético no es uniforme (se puede ver en

\[\vec{B}=\frac{\mu_o}{4\pi} \frac{3(\vec{\mu}\cdot \hat{r})\hat{r}-\vec{\mu}}{r^3} \]

que muere como\(\frac{1}{r^3}\)), también ejerce una fuerza sobre otro imán de barra.

Ahora estamos en condiciones de decir algo cuantitativo sobre la fuerza que un imán de barra ejerce sobre otro. Considera un objeto que se encuentra en el origen de un sistema de coordenadas cartesianas. Supongamos que ese objeto tenga un momento dipolo magnético dado por\(\vec{\mu}_1=\mu_1 \hat{i}\). Claramente estamos hablando de un imán apuntando (tratando el imán como una flecha con su cabeza en el polo norte del imán) en la\(+x\) dirección. Encontremos la fuerza que ese imán ejercería sobre otro\((x, 0, 0)\) dado que es el momento dipolar magnético del segundo imán\(\vec{\mu}_2=-\mu_2 \hat{i}\). El segundo imán está apuntando hacia atrás hacia el origen, por lo que estamos hablando de dos imanes cuyos polos norte están enfrentados entre sí. Sabiendo que como los polos se repelen, deberías poder anticipar que el segundo imán experimentará una fuerza en la\(+x\) dirección. El campo magnético producido por el primer imán se da (para cualquier punto en el espacio, siempre y cuando la distancia a ese punto, desde el origen, sea grande en comparación con el tamaño del imán) por

\[\vec{B}=\frac{\mu_o}{4\pi} \frac{3(\vec{\mu}\cdot \hat{r})\hat{r}-\vec{\mu}}{r^3} \]

\[\vec{B}_1=\frac{\mu_o}{4\pi} \frac{3(\mu_1\hat{i}\cdot \hat{r})\hat{r}-\mu_1\hat{i}}{r^3} \]

\[\vec{B}_1=\frac{\mu_o}{4\pi} \Big( \frac{3(\mu_1\hat{i}\cdot \vec{r})\vec{r}}{r^5}-\frac{\mu_1\hat{i}}{r^3} \Big)\]

La fuerza sobre la segunda partícula viene dada por:

\[\vec{F}=\nabla (\vec{\mu}_2\cdot \vec{B}_1)\]

evaluado en la posición del imán 2, es decir, en\((x, 0, 0)\). Sustituyendo el dado\(\vec{\mu}_2=-\mu_2\hat{i}\) en por el dipolo magnético de la partícula 2, y, la expresión justo arriba por\(\vec{B}_1\), obtenemos:

\[\vec{F}=\nabla \Big \{ -\mu_2 \hat{i} \cdot \Big[ \frac{\mu_o}{4\pi} \Big( \frac{3(\mu_1\cdot \vec{r})\vec{r}}{r^5}-\frac{\mu_1 \hat{i}}{r^3} \Big) \Big] \Big\}\]

\[\vec{F}=-\frac{\mu_o}{4\pi} \mu_1\mu_2 \nabla \Big\{ \hat{i} \cdot \Big[ \Big(\frac{3(\hat{i}\cdot \vec{r})\vec{r}}{r^5}-\frac{\hat{i}}{r^3} \Big) \Big] \Big\}\]

Ahora bien, si\(\vec{r}=x\hat{i}+y\hat{j}+z\hat{k}\) sustituyes y\(r=\sqrt{x^2+y^2+z^2}\), tomas el gradiente, y luego (después de tomar el gradiente) evalúas el resultado en\((x, 0, 0)\), encuentras que

\[\vec{F}=\frac{3\mu_o}{2\pi} \frac{\mu_1\mu_2}{x^4} \hat{i}\]

Entonces, cuando como polos están enfrentados uno al otro, dos imanes se repelen entre sí con una fuerza que muere como\(\frac{1}{r^4}\) donde\(r\) está la distancia entre los imanes (medirlo de centro a centro), el\(x\) en el caso que investigamos.