B35: Revisión de la Ley de Gauss para el Campo Magnético y la Ley de Amperios

Ley de Gauss para el Campo Magnético

¿Recuerdas la Ley de Gauss para el campo eléctrico? Es la que, en términos conceptuales, establece que el número de líneas de campo eléctrico que asoman hacia afuera a través de una superficie cerrada es proporcional a la cantidad de carga eléctrica dentro de la superficie cerrada. En forma de ecuación, la escribimos como:

\[\oint \vec{E}\cdot \vec{dA}=\frac{Q_{\mbox{enclosed}}}{\epsilon_o}\]

Llamamos a la cantidad de la izquierda el flujo eléctrico\(\Phi_E=\oint \vec{E}\cdot \vec{dA}\).

Bueno, también hay una Ley de Gauss para el campo magnético. En un sentido, es bastante similar porque involucra una cantidad llamada flujo magnético que se expresa matemáticamente como\(\Phi_B=\oint \vec{B}\cdot \vec{dA}\) y representa el número de líneas de campo magnético que asoman hacia afuera a través de una superficie cerrada. La gran diferencia deriva del hecho de que no existe tal cosa como “carga magnética”. En otras palabras, no existe tal cosa como un monopolo magnético. En la Ley de Gauss para el campo eléctrico tenemos carga eléctrica (dividida por\(\epsilon_o\)) a la derecha. En la Ley de Gauss para el campo magnético, tenemos\(0\) a la derecha:

\[\oint \vec{B}\cdot \vec{dA}=0 \]

En cuanto al cálculo del campo magnético, esta ecuación es de utilidad limitada. Pero, en conjunto con la Ley de Ampere en forma integral (ver más abajo), puede ser útil para calcular el campo magnético en casos que involucran mucha simetría. Además, se puede utilizar como cheque para los casos en los que el campo magnético haya sido determinado por algún otro medio.

Ley de Ampere

Ya hemos hablado bastante de la Ley de Ampere. Es el que dice que una corriente causa un campo magnético. Tenga en cuenta que éste no dice nada sobre que nada cambie. Es solo una relación de causa y efecto. La forma integral de la Ley de Ampere es amplia y específica. Se lee:

\[\oint \vec{B}\cdot \vec{d\ell}=\mu_o I_{\small THROUGH}\]

donde:

\(\circ\)el círculo en el signo integral, y,\(\vec{d\ell}\), la longitud diferencial, juntos, te dicen que la integral (la suma infinita) está alrededor de un bucle cerrado imaginario.

\(\vec{B}\)es el campo magnético,

\(\vec{d\ell}\)es un elemento de ruta infinitesimal del bucle cerrado,

\(\mu_o\)es una constante universal llamada permeabilidad magnética del espacio libre, y

\(I_{\small THROUGH}\)es la corriente que pasa a través de la región encerrada por el bucle.

Lo que dice la Ley de Ampere en forma integral es que, si se suma el campo magnético a lo largo de un segmento de trayectoria multiplicado por la longitud del segmento de ruta para todos los segmentos de ruta que forman un bucle cerrado imaginario, se obtiene la corriente a través de la región encerrada por el bucle, multiplicada por una constante universal. La integral\(\oint \vec{B}\cdot \vec{d\ell}\) en cualquier camino cerrado sobre el que se lleve a cabo, se llama la circulación del campo magnético en ese camino cerrado. Entonces, otra forma de afirmar la forma integral de la Ley de Ampere es decir que la circulación del campo magnético en cualquier camino cerrado es directamente proporcional a la corriente a través de la región encerrada por el camino. Aquí está la imagen:

En la imagen, muestro todo excepto el campo magnético. La idea es que, por cada segmento infinitesimal\(\vec{d\ell}\) del bucle imaginario, se puntea el campo magnético\(\vec{B}\), en la posición del segmento, en\(\vec{d\ell}\). Sume todos esos productos de punto. El total es igual a\(\mu_{\small 0}\) veces la corriente\(I\) a través del bucle.

Entonces, ¿para qué sirve? La Ley de Ampere en forma integral es de uso limitado para nosotros. Se puede utilizar como una gran comprobación para un caso en el que se haya calculado el campo magnético debido a algún conjunto de conductores portadores de corriente de alguna otra manera (por ejemplo, usando la Ley Biot-Savart, que se introducirá en el siguiente capítulo). También, en casos que involucran un alto grado de simetría, podemos usarlo para calcular el campo magnético debido a alguna corriente.

Por ejemplo, podemos usar la Ley de Ampere para obtener una expresión matemática de la magnitud del campo magnético debido a un cable recto infinitamente largo. Voy a incorporar nuestro entendimiento de que, para un segmento de cable con una corriente en él, la corriente crea un campo magnético que forma bucles alrededor del cable de acuerdo con la regla de la derecha para algo rizado algo recto. Es decir, ya sabemos que para un cable recto largo que transporta corriente directamente lejos de usted, el campo magnético se extiende en bucles alrededor del cable, que, desde su punto de vista, son en sentido horario.

A partir de la simetría, podemos argumentar que la magnitud del campo magnético es la misma para un punto dado como lo es en cualquier otro punto que esté a la misma distancia del cable que ese punto dado. Al implementar la Ley de Ampere, nos corresponde elegir un bucle imaginario, llamado Bucle Amperiano en este contexto, que nos permita obtener alguna información útil de la Ley de Ampere. En este caso, un círculo cuyo plano sea perpendicular al cable recto y cuyo centro se encuentre en el cable recto es una elección inteligente.

En este punto\(I\) queremos compartir contigo alguna información direccional sobre la forma integral de la Ley de Ampere. Respecto a\(\vec{d\ell}\): cada\(\vec{d\ell}\) vector puede, desde un punto de vista dado, caracterizarse por representar ya sea un paso en sentido horario a lo largo del camino o un paso en sentido contrario a las agujas del reloj a lo largo del camino. Y, si uno está en el sentido de las agujas del reloj, todos tienen que ser en sentido Si uno está en sentido antihorario, todos tienen que estar en sentido antihorario. Así, al llevar a cabo la integral alrededor del bucle cerrado, el recorrido del bucle es ya sea en sentido horario o antihorario desde un punto de vista especificado. Ahora, aquí está la información de dirección crítica: Corriente que pasa a través del bucle en esa dirección que se relaciona con el sentido (en sentido horario o antihorario) del recorrido del bucle de acuerdo con la regla de la derecha para algo rizado algo recto (siendo el bucle el algo rizado y la corriente siendo el algo recto) se considera positivo. Entonces, para el caso en cuestión, si elijo un recorrido de bucle en sentido horario, como se ve desde el punto de vista que hace que las cosas se vean así:

entonces, la corriente\(I\) se considera positiva. Si rizas los dedos alrededor del bucle en el sentido de las agujas del reloj, tu pulgar apunta lejos de ti. Esto quiere decir que la corriente, a través del bucle que se dirige lejos de ti es positiva. Ese es el tipo de corriente que tenemos en el caso que nos ocupa. Entonces, cuando sustituimos el\(I\) para el caso en cuestión en la ecuación genérica (Ley de Ampere),

\[\oint \vec{B}\cdot \vec{d\ell}=\mu_o I_{\small THROUGH}\]

para la corriente\(\mu_o I_{\small THROUGH}\) entra con un signo “+”.

\[\oint \vec{B}\cdot \vec{d\ell}=\mu_o I\]

Ahora, con el bucle que elegí, cada\(\vec{d\ell}\) es exactamente paralelo al campo magnético\(\vec{B}\) en la ubicación de la\(\vec{d\ell}\), entonces,\(\vec{B} \cdot \vec{d\ell}\) es simplemente\(B\space d\ell\). Es decir, con nuestra elección del bucle Amperian, la Ley de Ampere se simplifica para:

\[\oint B d\ell=\mu_o I\]

Además, desde la simetría, con nuestra elección del bucle Amperiano, la magnitud del campo magnético\(B\) tiene uno y el mismo valor en cada punto del bucle. Eso significa que podemos factorizar la magnitud del campo magnético\(B\) fuera de la integral. Esto produce:

\[B\oint d\ell=\mu_o I\]

Bien, ahora estamos en la calle fácil. El\(\oint d\ell\) es solo la suma de todos los\(d\ell\)'s que componen nuestro bucle imaginario (un círculo) de radio\(r\). Oye, eso es sólo la circunferencia del círculo\(2\pi r\). Entonces, la Ley de Ampere se convierte en:

\[B(2\pi r)=\mu_o I\]

lo que significa

\[B=\frac{\mu_o I}{2\pi r}\]

Este es nuestro resultado final. La magnitud del campo magnético debido a un cable recto largo es directamente proporcional a la corriente en el cable e inversamente proporcional a la distancia desde el cable.

Un solenoide recto largo

Un solenoide es una bobina de alambre en forma de carcasa cilíndrica. El solenoide idealizado que consideramos aquí es infinitamente largo pero, tiene un radio finito fijo\(R\) y una corriente finita constante\(I\).

También se caracteriza por su número de vueltas por longitud\(n\), donde cada “giro” (también conocido como devanado) es un bucle de corriente circular. De hecho, idealizamos aún más nuestro solenoide al pensarlo como un conjunto infinito de bucles de corriente circular. Un solenoide real se acerca a este solenoide idealizado, pero, en un giro (en la vista anterior), el final del giro se desplaza hacia la izquierda o hacia la derecha desde el inicio del giro en una cantidad igual al diámetro del cable. Como resultado, en un solenoide real, tenemos (en la vista anterior) algo de corriente de izquierda a derecha o de derecha a izquierda (dependiendo de la forma en que se enrolla el cable). Descuidamos esta corriente y consideramos que la corriente simplemente va “dando vueltas y vueltas”.

Nuestro objetivo aquí es encontrar el campo magnético debido a un solenoide ideal infinitamente largo que tiene un número de vueltas por longitud\(n\), tiene un radio\(R\) y transporta una corriente\(I\).

Empezamos por mirar el solenoide en sección transversal. En relación con la vista anterior, imaginaremos mirando el solenoide desde el extremo izquierdo. Desde ese punto de vista, la sección transversal es un círculo con corriente en sentido horario:

Probemos un bucle Amperiano en forma de círculo, cuyo plano es perpendicular al eje de simetría del solenoide, un círculo que se centra en el eje de simetría del solenoide.

A partir de la simetría, podemos argumentar que si el campo magnético tiene un componente paralelo al representado\(d\ell\), entonces debe tener exactamente el mismo componente para cada uno\(d\ell\) en la trayectoria cerrada. Pero esto haría que la circulación\(\oint \vec{B}\cdot \vec{d\ell}\) fuera distinta de cero en contradicción con el hecho de que ninguna corriente pasa por la región encerrada por el bucle. Esto es cierto para cualquier valor de\(r\). Entonces, el campo magnético no puede tener componente tangente al círculo cuyo plano es perpendicular al eje de simetría del solenoide, círculo que se centra en el eje de simetría del solenoide.

Ahora supongamos que el campo magnético tiene una componente radial. Por simetría tendría que estar dirigida en todas partes radialmente hacia afuera desde el eje de simetría del solenoide, o en todas partes radialmente hacia adentro. En cualquier caso, podríamos construir una concha cilíndrica imaginaria cuyo eje de simetría coincide con el del solenoide. El flujo magnético neto a través de tal superficie gaussiana sería distinto de cero en violación de la Ley de Gauss para el campo magnético. De ahí que el solenoide no pueda tener componente de campo magnético radial.

El único tipo de campo que no hemos descartado es uno que está en todas partes paralelo al eje de simetría del solenoide. Veamos si tal campo conduciría a alguna contradicción.

Aquí vemos el solenoide en sección transversal desde el lado. En la parte superior de la bobina, vemos la corriente dirigida hacia nosotros, y, en la parte inferior, lejos. El posible campo magnético longitudinal (paralelo al eje de simetría del solenoide) se incluye en el diagrama.

Los rectángulos en el diagrama representan bucles Amperianos. La corriente neta a través de cualquiera de los bucles, en cualquier dirección (lejos de usted o hacia usted) es cero. Como tal, la circulación\(\oint \vec{B}\cdot \vec{d\ell}\) es cero. Dado que el campo magnético a la derecha y a la izquierda de cualquiera de los bucles es perpendicular a los lados derecho e izquierdo de cualquiera de los bucles, no contribuye a la circulación allí. Por simetría, el campo magnético en una posición en la parte superior de un bucle es el mismo que en cualquier otro punto en la parte superior del mismo bucle. De ahí que si atravesamos cualquiera de los bucles en sentido contrario a las agujas del reloj (desde nuestro punto de vista) la contribución a la circulación\(L\) es\(-B_{\small TOP}L\) donde está la longitud de los segmentos superior e inferior de cualquier bucle que elija para enfocar su atención. El “-” proviene del hecho de que se\(I\) han elegido (arbitrariamente) para atravesar el bucle en sentido antihorario, y, al hacerlo, cada\(\vec{d\ell}\) en el segmento superior está en la dirección opuesta a la dirección del campo magnético en la parte superior del bucle. La contribución a la circulación por el segmento inferior del mismo bucle es\(+B_{\small BOTTOM}L\). Lo que tenemos hasta ahora es:

\[\oint \vec{B} \cdot \vec{d\ell}=\mu_o I_{\small THROUGH}\]

\[\oint \vec{B}\cdot \vec{d\ell}=0\]

(donde la corriente neta a través de cualquiera de los bucles representados es cero por inspección).

\[0+-B_{\small TOP}L+0+B_{\small BOTTOM}L=0\]

(con los dos ceros en el lado izquierdo de la ecuación que son de los lados derecho e izquierdo del bucle donde el campo magnético es perpendicular al bucle.)

Resolviendo para\(B_{\small BOTTOM}\) encontramos que, por cada bucle en el diagrama (y el número infinito de bucles que encierran una corriente neta de cero igual que ellos):

\[B_{\small BOTTOM}=B_{\small TOP}\]

Lo que esto significa es que el campo magnético en todos los puntos fuera del solenoide tiene una y la misma magnitud. Lo mismo puede decirse de todos los puntos dentro del solenoide, pero, el valor interior del solenoide puede ser diferente del valor exterior. De hecho, consideremos un bucle a través del cual la corriente neta no es cero:

Nuevamente, elijo ir en sentido antihorario alrededor del bucle (desde nuestro punto de vista). Como tal, por la regla de la derecha para algo rizado algo recto, la corriente dirigida hacia nosotros a través del bucle es positiva. Recordando que el número de vueltas por longitud del solenoide es\(n\), tenemos, para el bucle representado anteriormente,

\[\oint \vec{B} \cdot \vec{d\ell}=\mu_o I_{\small THROUGH}\]

\[0+-B_{\small TOP}L+0+B_{\small BOTTOM}L=\mu_o n L I\]

\[B_{\small BOTTOM}=B_{\small TOP}+\mu_o n I\]

El fondo del bucle está dentro del solenoide y hemos establecido que la magnitud del campo magnético dentro del solenoide tiene una y la misma magnitud en todos los puntos dentro del solenoide. Voy a llamar a eso\(B_{\small INSIDE}\), es decir, eso\(B_{\small BOTTOM}=B_{\small INSIDE}\). De igual manera, hemos encontrado que la magnitud del campo magnético tiene uno y el mismo (otro) valor en todos los puntos fuera del solenoide. Llamemos a eso\(B_{\small OUTSIDE}\), es decir, eso\(B_{\small TOP}=B_{\small OUTSIDE}\). Así:

\[B_{\small INSIDE}=B_{\small OUTSIDE}+\mu_o n I\]

Esto es lo que puedo conseguir con la Ley de Gauss solo para el campo magnético, la simetría y la Ley de Ampere. A partir de ahí paso a resultados experimentales con solenoides finitos largos. Experimentalmente, encontramos que el campo magnético fuera del solenoide es muy pequeño, y que hay un campo magnético apreciable dentro del solenoide. Ajuste

\[B_{\small OUTSIDE}=0\]

encontramos que el campo magnético dentro de un solenoide recto largo es:

\[B_{\small INSIDE}=\mu_o n I\]