Este capítulo utiliza una función de utilidad cuasilineal para proporcionar prácticas de trabajo con efectos de ingresos y sustitución. Hay un giro sorprendente al usar la forma funcional cuasilineal. Mira qué tan rápido puedes averiguarlo.
PASO Abra el libro de Excel IncSubEffectsPractice.xls, lea la hoja de introducción y luego vaya a la hoja OptimalChoice.
Observe que el valor absoluto del MRS es menor que la relación precio. Debido a que la pendiente de la curva de indiferencia en 16.25,10.75 es menor que la pendiente de la restricción presupuestal, sabemos que el consumidor debe viajar hacia el noroeste a lo largo de la restricción presupuestal, comprando cada vez\(x_2\) menos\(x_1\), hasta el MRS\(= \frac{p_1}{p_2}\).
STEP Ejecute Solver para encontrar la solución óptima inicial. La figura 4.24 muestra este resultado.
Figura 4.24: Solución óptima inicial.
Fuente: IncSubEffectsPractice.xls! OptimalChoice
PASO Proceder a la hoja CS1. Se muestra un análisis estadístico comparativo de un incremento en el precio del bien 1 de $2/unidad a $7/unidad en incrementos de $1. También grafica los resultados como una curva de demanda inversa para\(x_1\).
La curva de demanda rastrea el efecto total de un cambio de precio. Cuando el precio del bien 1 sube de $2 a $3, la cantidad demandada cae de\(6 \frac{1}{4}\) a\(2 \frac{7}{9}\). Al restar lo nuevo del valor inicial, vemos que el efecto total es una disminución de\(3 \frac{17}{36}\) unidades de\(x_1\), visualizadas en la celda F13 como\(-3.47222\).
Los efectos de ingreso y sustitución explican cómo llegó a ser este efecto total al desmantelar el efecto total en dos partes que suman el total.
El efecto de sustitución nos dice cuánto menos habría comprado el consumidor cuando el precio suba estrictamente a partir del hecho de que los precios relativos de los dos bienes han cambiado. Calculamos la cantidad de ingresos que tenemos que darle al consumidor para cancelar el poder adquisitivo reducido causado por el aumento de precio para enfocarnos exclusivamente en el cambio relativo del precio. El efecto de sustitución es siempre negativo.
La Figura 4.25 muestra una descomposición típica del efecto total (TE) en el efecto de sustitución (SE) y efecto ingreso (IE) con curvas de indiferencia suprimidas para resaltar las líneas presupuestales en consideración.
Figura 4.25: TE, SE e IE típicos con\(p_1\) incremento.
A partir del punto A, el precio subió y el consumidor estará ahora en el punto C de la nueva línea presupuestaria (etiquetada\(p_1 \uparrow\)). La línea discontinua es el resultado de un escenario hipotético en el que al consumidor se le han dado ingresos suficientes para adquirir el paquete inicial A. Observe cómo la línea presupuestaria original y la línea discontinua pasan por el punto A. La línea discontinua tiene un precio mayor, pero también un ingreso mayor. Así, el movimiento del punto A al punto B refleja únicamente los diferentes precios relativos en los bienes, sin ningún cambio en el poder adquisitivo. Este es el efecto de sustitución.
Si bien el efecto de sustitución se centra en los precios relativos, el efecto ingreso es esa parte de la respuesta en cantidad demandada cuando el precio cambia que se debe al cambio de poder adquisitivo. Desde el punto B, una disminución en los ingresos de la línea discontinua a la nueva línea presupuestal conduce a una disminución de\(x_1\) (en el punto C). Así,\(x_1\) es un bien normal del punto B al C en la Figura 4.25 y los dos efectos están trabajando en tándem. Se garantiza que la curva de demanda será descendente para este cambio de precio.
En la hoja CS1, hemos visto que la curva de demanda es descendente debido a que la cantidad demandada cae cuando el precio sube. Pero aún queda una pregunta abierta: ¿Funcionan los efectos de ingreso y sustitución como en la Figura 4.25?
Sabemos que el punto A, la solución óptima inicial, es\(x_1 \mbox{*} = 6.25\) cuando\(p_1\) = $2/unidad y el punto C es de aproximadamente 2.78 unidades de\(x_1\) cuando el precio sube a $3 por unidad. Necesitamos el punto B para hacer el análisis de los efectos de ingreso y sustitución.
El primer paso para encontrar el punto B es utilizar la Ecuación del Ajustador de Ingresos para calcular la cantidad de ingresos que debe dar al consumidor con el fin de cancelar el efecto del poder adquisitivo reducido. \[\Delta m = x_1 \mbox{*}\Delta p_1\]\[\Delta m = [6.25][+1]\]
PASO En la hoja OptimalChoice, ajuste la celda B16 a 3.
El gráfico se actualiza, mostrando la nueva restricción presupuestal en rojo (balanceándose desde que el precio subió) y la línea discontinua. Para encontrar el punto B, necesitamos la solución óptima para la restricción de línea discontinua por lo que necesitamos cambiar en los ingresos en la hoja.
PASO Establecer la celda B18 a 146.25. Esto aplica la restricción presupuestal de línea discontinua a este problema. Ejecuta Solver para encontrar el punto B.
Tu resultado podría sorprenderte. Solver dice que la solución óptima es de aproximadamente 2.78 para\(x_1\), pero esa es la misma respuesta que tuvimos para el punto C. ¿Qué está pasando aquí?
Pasamos al trabajo analítico para arrojar luz sobre este misterioso resultado. Siguiendo el procedimiento en la sección 3.2, encontramos esta solución de forma reducida para la función de utilidad cuasilineal,\(U = x_1^c + x_2\):\[x_1 \mbox{*} = (\frac{p_1}{cp_2})^\frac{1}{c-1}\] Utilizamos los valores iniciales de c y\(p_2\) en la hoja OptimalChoice para simplificar un poco las cosas:\[x_1 \mbox{*} = (\frac{p_1}{[0.5][10]})^\frac{1}{[0.5]-1} = (\frac{p_1}{5})^\frac{1}{-0.5} = (\frac{p_1}{5})^{-2} = (\frac{5}{p_1})^2 = \frac{25}{p_1^2}\] Esta es la mismo tipo de expresión,\(x_1 \mbox{*} = f(p_1, m)\), que usamos en la sección anterior para una función de utilidad Cobb-Douglas,\(x_1 \mbox{*} = \frac{m}{2p_1}\), para encontrar los puntos A, B y C.
Podría estar desconcertado. Exactamente ¿dónde está m para la expresión de forma reducida cuasilineal para\(x_1\)? No está ahí, aunque un matemático podría decir que podríamos incluirlo fácilmente escribiendo la expresión de forma reducida así:\[x_1 \mbox{*} = \frac{25}{p_1^2} + 0m\] El hecho de que m no afecte óptimo\(x_1\) para una función de utilidad cuasilineal es la fuente del sorprendente resultado para el punto B. Nosotros puede aplicar el procedimiento habitual para encontrar los puntos A, B y C con una expresión de forma reducida para mostrar esto.
El punto A es la\(x_1\) solución óptima inicial por lo que conectamos\(p_1 = 2\) y encontramos\(x_1 \mbox{*} = \frac{25}{2^2} = 6.25\).
El punto C es la nueva\(x_1\) solución óptima por lo que conectamos\(p_1 = 3\) y encontramos\(x_1 \mbox{*} = \frac{25}{3^2} = \frac{25}{9} = 2 \frac{7}{9}\).
El punto B se encuentra usandom nuevo\(p_1\) y ajustado, $146.25. Pero fíjese que la m ajustada es irrelevante porque no afecta\(x_1\). El punto B es\(x_1 \mbox{*} = 2 \frac{7}{9}\), lo mismo que el punto C.
La figura 4.26 muestra lo que está pasando aquí. A diferencia del caso típico, no hay ningún efecto de ingreso en absoluto con utilidad cuasilineal, por lo que TE = SE. Como es habitual, el efecto de sustitución es el movimiento del punto A al B y el efecto ingreso es el movimiento de B a C. El IE es cero porque C está directamente por debajo de B. El efecto total es de A a C.
Figura 4.26: TE, SE e IE con utilidad cuasilineal.
Es la función de utilidad la que está impulsando este resultado. Una función de utilidad con la forma funcional no\(U = f(x_1) + x2\) tiene efecto ingreso porque las curvas de indiferencia son verticalmente paralelas. Si cambia la línea presupuestaria a través de un choque de ingresos, el nuevo punto de tangencia estará directamente por encima o por debajo del punto inicial. Es decir, la curva de consumo de ingresos es vertical. Así, el efecto total está compuesto enteramente por el efecto de sustitución. Este es el curioso giro producido por la forma funcional cuasilineal.
Vimos que la curva de consumo de ingresos es vertical y la curva de Engel es horizontal en la sección 4.2 (ver Figura 4.7). La economía es ciertamente acumulativa y a menudo vale la pena recordar las ideas aprendidas porque tienden a volver a aparecer.
Por último, observe que ahora sabemos que las preferencias cuasilineales no pueden producir el comportamiento de Giffen. Después de todo, si el efecto de sustitución es siempre negativo y el efecto ingreso es cero, no hay manera de que el efecto total sea positivo alguna vez.
Preferencias cuasilineales Rendimiento Cero Efectos de Ingresos
Dividir un efecto total en ingresos y efectos de sustitución funciona para cualquier función de utilidad. Después de encontrar el efecto total, la Ecuación del Ajustador de Ingresos puede ser utilizada para determinar los ingresos necesarios para cancelar el cambio en el poder adquisitivo del cambio de precio (es decir, establecer la línea presupuestal imaginaria, discontinua). Encontrar la solución óptima con el nuevo precio y la restricción del presupuesto de ingresos ajustados determina el punto B y nos permite dividir el efecto total en dos partes.
Por supuesto, las partes componentes, SE e IE, no necesitan ser iguales ni compartir el mismo signo. Sabemos que los bienes Giffen surgen cuando el efecto ingreso se opone y pantanea el efecto de sustitución siempre negativo.
En el caso de las preferencias cuasilineales, tenemos una situación en la que no hay efecto de ingresos. La descomposición de Slutsky todavía se aplica, sin embargo, con el efecto total compuesto enteramente por el efecto de sustitución.
Ejercicios
Haga clic en el botón de la hoja OptimalChoice y aplique una disminución de precio para el bien 1 de $2/unidad a $1.90/unidad. Calcular los efectos totales, de sustitución e ingresos. Muestra tu trabajo.
Utilice las Herramientas de Dibujo de Word para dibujar una gráfica similar a la Figura 4.26 que muestre los efectos totales, de sustitución e ingresos de la disminución de 10 centavos en el precio de la pregunta 1.
Las preguntas 3 y 4 son difíciles. Vuelva a visitar las preguntas 2 y 3 en EngelCurvesPracticeA.doc (en la carpeta Respuestas en el archivo MicroExcel) para obtener más detalles en la solución de esquina para esta función de utilidad a bajos niveles de ingresos.
Con utilidad cuasilineal, la curva de consumo de ingresos es vertical y la curva de Engel horizontal solo por encima de un nivel de ingreso umbral. A niveles de ingresos muy bajos, obtenemos una solución de esquina. Haga clic en el botón de la hoja OptimalChoice y establezca los ingresos en 10. Esto generará una solución de esquina. Calcular los efectos totales, de sustitución e ingresos a partir de un incremento de precio de 10 centavos en el bien 1 (de 2 a 2.1). Muestra tu trabajo.
Usa las Herramientas de Dibujo de Word para dibujar un gráfico que represente tus resultados para la pregunta 3.
Referencias
El epígrafe proviene de la página 19 de la segunda edición de Value and Capital: An Inquiry into Some Fundamental Principles of Economic Theory de John R. Hicks. Este notable libro fue citado explícitamente en el comunicado de prensa anunciando que Hicks había ganado el Premio Nobel de Ciencias Económicas en 1972 (con Kenneth Arrow). “En su obra más conocida, la monografía, Valor y Capital, publicada en 1939, Hicks abandonó esta tradición [formal] y le dio a la teoría [del equilibrio general] una mayor relevancia económica”. Ver www.nobelprize.org/prizes/economic-sciences/1972/press-release/.
Como se mencionó en el apartado anterior, el historial de ingresos y efectos de sustitución es complicado. Hicks (y Allen) descubrieron que el efecto total podría descomponerse en efectos de ingresos y sustitución en la década de 1930, dos décadas después de la obra de Slutsky. Una vez que Slutsky fue redescubierto, Hicks y Allen le dieron crédito e hicieron que la profesión económica fuera consciente de su contribución. Hicks escribió en Value and Capital que “El presente volumen es la primera exploración sistemática del territorio que Slutsky abrió” (p. 19).
Figura 4.25: TE, SE e IE típicos con
Figura 4.26: TE, SE e IE con utilidad cuasilineal.
botón de la hoja OptimalChoice y aplique una disminución de precio para el bien 1 de $2/unidad a $1.90/unidad. Calcular los efectos totales, de sustitución e ingresos. Muestra tu trabajo.