12.2: Derivar la Curva de Suministro

El análisis estadístico comparativo más importante del problema de maximización del beneficio de la empresa se basa en el seguimiento\(q \mbox{*}\) (cantidad suministrada) como cambios de precios, ceteris paribus. Esto nos da la curva de oferta de la firma.

Una cosa importante a recordar es que la curva de suministro tiene dos partes:

1. MC cuando P\(>\) min AVC

2. Cero de lo contrario (regla de apagado)

Como es habitual, tenemos a nuestra disposición métodos numéricos y analíticos para el análisis estadístico comparativo que genera la curva de oferta. Antes de comenzar, mostramos cómo se puede modificar Solver para hacer frente a la posibilidad de cierre y repasamos el hecho de que no es una bala de plata.

Problemas del solucionador

PASO Abra el libro de Excel DerivingSupply.xls, lea la hoja de introducción, luego vaya a la hoja OptimalChoice para ver una implementación del problema de maximización de ganancias de una empresa de PC a corto plazo.

La hoja se parece a la hoja OptimalChoice en el libro OutputProfitMaxPCSR.xls (de la sección anterior), pero tiene algunas celdas adicionales.

Las declaraciones IF en las celdas C4 y C8 de la hoja OptimalChoice son una manera conveniente de incorporar la opción de cierre de la empresa.

PASO Haga clic en C8 para revelar su fórmula: = IF (ganancia máxima\(>= -\) d, q, 0). Utilizaremos esta celda como la solución óptima correcta en todos los casos, incluido el caso de apagado.

Es fácil ver que Solver se ha corrido porque\(q \approx 10\) en la celda B8,\(MR = MC\) desde\(P=4\) y la celda B18 informa\(MC=4\). Esta q, sin embargo, no es la solución óptima porque la celda B4 lo demuestra\(\pi = - 15\) (usando la convención común de que “()” denota números negativos). Esta firma estaría mejor no produciendo en absoluto y sufriendo una pérdida de\(TFC= - 5\). La Regla de Apagado dice lo mismo desde\(P < AVC\) (la celda B15 cuesta $5).

Si bien la respuesta de Solver es incorrecta (porque encontró la cima de la colina de ganancias, que es más baja que la intersección y en\(-TFC\)), podemos agregar un paso a Solver donde verificamos exactamente esta situación. Esto es lo que hacen las celdas C8 y C4.

La expresión\(max\_profit \geq -d\) se utiliza para probar si la respuesta de Solver (la solución interior) tiene mayores ganancias que los costos fijos totales negativos (la solución de esquina). Si es true, mantiene la solución de Solver; si es false, la solución óptima es cero (apagada).

Solver encontrará el mejor de los niveles positivos de salida en la celda B8 y la instrucción IF en la celda C8 verifica para asegurarse de que la mejor solución (de la q\(>\) 0) es mejor que apagar y producir nada (q = 0).

Con P = 4, el mejor de todos los niveles positivos de salida, q = 10, proporciona una ganancia de menos $15. Las celdas C4 y C8 muestran que no producir nada produce una mayor ganancia (y menor pérdida) de menos $5 y es la solución óptima correcta.

Si bien esto es una mejora con respecto a la comprobación manual de la respuesta de Solver, existe otro problema potencial con Solver en esta aplicación.

PASO Para ver el problema, establezca P (celda B12) en 7 y ejecute Solver.

La q óptima es aproximadamente 13.09 y la firma está disfrutando de excedentes de ganancias. Celdas B4 = C4 y B8 = C8 porque la respuesta de Solver da ganancias mayores que menos TFC. Todo está bien.

PASO Ahora establece la celda B8 = 1. Ejecute Solver a partir de este valor inicial.

¡El resultado de Solver es desastroso! ¿Qué pasó?

PASO Haga clic en el botón para ver por qué a partir de q = 1 leads Solver extraviado.

La explicación en la hoja deja claro que el valor inicial o inicial puede jugar un papel crítico cuando se utilizan métodos numéricos. Este problema de maximización de ganancias tiene una superficie suficientemente complicada que un algoritmo numérico, como Solver, no puede distinguir fácilmente entre soluciones óptimas locales y globales. No hay una solución simple. La lección es que hay que conocer el problema de optimización con el que se está tratando y tener cuidado interpretando las respuestas proporcionadas por un algoritmo numérico.

La explicación del fracaso de Solver involucra el punto mínimo de la función de ganancia y esto brinda la oportunidad de explicar las dos raíces en la fórmula cuadrática. Una imagen, en este caso, realmente vale más que mil palabras.

PASO Haga clic en el botón.

La celda Z17 tiene la otra raíz de la fórmula cuadrática (calculada sumando en lugar de restar el término raíz cuadrada). Ambas raíces son lugares donde la función de ganancia es plana (en la gráfica superior derecha de la hoja). Observe cómo las líneas discontinuas de los puntos de ganancia máxima y mínima conducen a puntos donde la ganancia marginal (\(m \pi\)) es cero. Estas son las dos raíces en la fórmula cuadrática.

Las dos raíces también se pueden ver en la gráfica canónica inferior izquierda como los dos puntos donde se cruzan MR y MC. Por supuesto, solo nos importa la raíz que maximiza las ganancias. Una forma de asegurar que\(MR=MC\) rinde un máximo de ganancias es asegurarse de que\(MC < MR\) a la izquierda de la intersección. En otras palabras, MC corta MR desde abajo.

Métodos numéricos para derivar la curva de suministro

PASO Vuelva a establecer la celda B8 en 10 y P = 4 para que Solver converja al máximo local en\(q = -15\).

PASO Ejecute el Asistente de Estática Comparativa\(P = 4\) con amortiguadores de tamaño 0.05 100 veces. Rastrear las células C4 y C8 como variables endógenas. Puede ignorar con seguridad la advertenciaque está utilizando el CSWiz para realizar un seguimiento de estas celdas, pero no las incluirá como celdas cambiantes en el cuadro de diálogo Solver.

Tus resultados se verán como los de la hoja CS1. Observe que a precios bajos, la firma no está produciendo nada. Esta es la parte de la curva de oferta donde la firma cierra para maximizar las ganancias.

La curva de suministro y las curvas de suministro inversas se pueden graficar con los datos de CSWiz, como se muestra en la Figura 12.7 y la hoja CS1. Por supuesto, la cola corre a lo largo del eje de cantidad hasta llegar a cero. Al igual que con la curva de demanda,\(q=f(P)\) es la curva de oferta y volteando los ejes,\(P=f^{-1}(q)\), da la curva de oferta inversa.

Figura 12.7: Derivación de las curvas de suministro y de suministro inverso.

Fuente: DerivingSupply.xls! CS1.

La Figura 12.7 aplica nuestra exposición gráfica habitual. El gráfico más a la izquierda es el gráfico subyacente a partir del cual se producen los otros gráficos. Chocamos P y rastreamos\(q \mbox{*}\). Esto da la curva de oferta.

Sin embargo, a diferencia de la curva de demanda, observe que la curva de oferta sigue a MC siempre y cuando P no esté por debajo de AVC. La discontinuidad está en el CVA mínimo. La fila 32 de la hoja CS1 muestra la ruptura que se produce para esta función de costo entre $4.90 y $4.95. Los precios por debajo de este valor mínimo AVC no dan como resultado la cantidad suministrada desde que la firma cierra.

Se pueden utilizar métodos analíticos para encontrar la discontinuidad. Primero, obtenemos una expresión para CVA. \[\begin{gathered} %star suppresses line # TC=0.04q^3 - 0.9 q^2 + 10 q + 5\\ TVC=0.04q^3 - 0.9 q^2 + 10 q\\ AVC=\frac{TVC}{q}=0.04q^2 - 0.9 q + 10 \end{gathered}\]Después tomamos la derivada de AVC con respecto a q y la establecemos igual a cero para encontrar su punto mínimo. \[\begin{gathered} %star suppresses line # \min\limits_{q} AVC=0.04q^2 - 0.9 q + 10\\ \frac{dAVC}{dq}=0.08q - 0.9 = 0\\ q \mbox{*} = \frac{0.9}{0.08}=11.25\end{gathered}\]Al enchufar este valor mínimo de salida a la función AVC, conocemos el precio al que entra en juego la discontinuidad. \[AVC[q=11.25]=0.04[11.25]^2 - 0.9 [11.25] + 10=4.9375\]En la hoja CS1, la discontinuidad se produce cuando el precio sube de $4.90 a $4.95. Nuestro trabajo analítico nos dice que la discontinuidad está exactamente en $4.9375. Cualquier precio por debajo de este rinde óptima q de cero.

Observe cómo usamos la derivada para encontrar el valor de q al que la tasa de cambio para la curva AVC fue cero. Este es el fondo de la curva AVC en forma de U y los precios por debajo de este AVC dan como resultado el cierre. La lección es que derivado es una herramienta que tiene una variedad de usos.

La hoja CS1 también calcula la elasticidad de precio de la oferta en la columna E.

PASO Desplácese hacia abajo para ver una comparación de pendiente y elasticidades a través de los enfoques\(\Delta\) y derivados.

En este caso, los dos enfoques no son exactamente los mismos porque\(q \mbox{*}\) es no lineal en P. La hoja tiene todos los detalles por si quieres refrescar tu comprensión de este concepto.

Métodos analíticos para derivar la curva de suministro

Para el enfoque analítico, utilizamos una función de costo diferente para darnos más práctica. \[TC(q)=q^2+20\]Con esta función de costo cuadrático, podemos configurar y resolver el problema de maximización de ganancias de la firma de PC. Debido a que es una firma perfectamente competitiva, sabemos que se da precio y, así,\(TR = Pq\). Por lo tanto, el problema de optimización es:\[\max\limits_{q} \pi=Pq-(q^2+20)\] Procedemos tomando la derivada con respecto a q y poniéndola a cero, luego resolviendo esta condición de primer orden para q óptima. \[\frac{d \pi}{dq}=P-2q=0\]\[q \mbox{*}=\frac{1}{2}P\]Esta es la función de suministro. Da la cantidad suministrada por una firma a cada precio dado. Por ejemplo, con\(P = 20\),\(q \mbox{*}\) = 10.

La curva de suministro inversa se encuentra expresando la ecuación como\(P=f(q)\). \[P=2q \mbox{*}\]La función de suministro nos dice que\(q \mbox{*}\) aumenta por medio veces por cada incremento en P. El tamaño del cambio en P no importa ya que\(\frac{dq}{dP}\) es constante.

La elasticidad de precio de la oferta es\(+1\). \[\begin{gathered} %star suppresses line # \frac{dq}{dP} = \frac{1}{2}\\ \frac{dq}{dP}\frac{q}{P} = \frac{1}{2}\frac{P}{\frac{1}{2}P}=1\end{gathered}\]Podemos calcular la elasticidad de precio de la oferta de un punto a otro. Lo sabemos en\(P=20\),\(q \mbox{*} = 10\). Si\(P=30\),\(q \mbox{*} = 15\). Una subida del 50% en el precio llevó a un incremento del 50% en la cantidad suministrada por lo que la elasticidad del precio de la oferta es\(+1\). El resultado es el mismo que el enfoque derivado porque\(q \mbox{*}\) es lineal en P.

Una empresa de PC con una función de costo cuadrático no cerrará con ningún precio mayor a cero. Al construir su familia de curvas de costos y gráfica de la solución óptima, podemos ver por qué. Comenzamos con las curvas de costo. Sabemos\(TVC = 2q\) y\(TFC = 20\). Entonces podemos encontrar las curvas promedio y marginales. \[\begin{gathered} %star suppresses line # ATC(q)=\frac{TC}{q}=\frac{q^2+20}{q}=q+\frac{20}{q}\\ AVC(q)=\frac{TVC}{q}=\frac{q^2}{q}=q\\ MC(q)=\frac{dTC}{dq}=\frac{d(q^2+20)}{dq}=2q\end{gathered}\]

PASO Proceda a la hoja de Gráficos para ver la visualización de cuatro gráficas de la solución óptima para este problema.

Si\(P = 20\), entonces\(q \mbox{*} = 10\) y\(\pi \mbox{*} = \$80\). También es obvio que no hay un precio positivo al que esta firma cerrará debido a que AVC es simplemente un rayo con pendiente\(+1\) fuera del origen. Por lo tanto, el precio nunca puede caer por debajo de AVC.

Observe también cómo solo hay un punto donde\(MR=MC\), a diferencia de las dos intersecciones que vimos con la función de costo cúbico. La función de costo cuadrático no puede producir el TC en forma de S necesario para que la función de beneficio tenga un beneficio mínimo en la parte inferior de una forma de U. La función de ganancia en la gráfica superior derecha tiene una sola cima de la colina (donde\(m \pi = 0\)).

Puntos fuera de la curva de suministro

Como hicimos con la curva de demanda (ver Figura 4.12), podemos explorar el significado de estar fuera de la curva de oferta. La interpretación es bastante similar.

PASO Regresar a la hoja CS1 y manipular el punto fuera de las curvas de suministro e inverso con la barra de desplazamiento en la columna E.

La figura 12.8 muestra lo que hay en tu pantalla, pero en Excel puedes mover el punto rojo. Al hacer, se muestra la q elegida y el beneficio para esa cantidad.

Figura 12.8: Puntos fuera de la curva de oferta.

Fuente: DerivingSupply.xls! CS1.

Las ganancias se maximizan cuando se encuentra en la curva de suministro. Es claro que la curva de oferta, al igual que la curva de demanda, tiene un beneficio oculto de tercera dimensión para la oferta y utilidad para la demanda. El panel más adecuado muestra la montaña y cómo te acercas a la cima con la solución óptima. La línea de crestas que conecta las cimas de las montañas es la curva de oferta. Al igual que la curva de demanda, los puntos fuera de la curva de oferta están asociados con valores más bajos de la función objetivo.

Observe cómo el punto fuera de la curva se mueve de manera vertical en la gráfica de curva de suministro y horizontalmente en la gráfica de curva de suministro inversa. Esto sucede porque el precio es constante (a P = 6.25). Con el precio en el eje x, los puntos pueden estar por encima o por debajo de la curva de oferta. Los puntos fuera de la curva de suministro inversa están a la derecha o a la izquierda porque P está en el eje y.

Finalmente, en la curva de suministro inversa, la ineficiencia de estar fuera de la curva es obvia porque los niveles de salida fuera de la curva de suministro inversa significan que la empresa no está eligiendo un punto donde\(MR (= P) = MC\).

La curva de suministro tiene padres

Al igual que las curvas de demanda y costo, la oferta se deriva de un problema de optimización. Saber de dónde provienen las relaciones clave separa la economía introductoria de la más avanzada y es un aspecto importante para dominar la forma de pensar económica.

La curva de oferta es un análisis estadístico comparativo de los efectos sobre la cantidad óptima como cambios de precios, ceteris paribus.

A diferencia de la curva de demanda, la curva de oferta tiene una discontinuidad porque la firma cerrará si el precio cae por debajo de AVC. La curva de oferta depende críticamente de la función de costo de la empresa. La curva de suministro inversa es simplemente MC por encima de AVC y cero en caso contrario. La firma elegirá ese nivel de producción donde\(MR (=P) = MC\) siempre y cuando\(P > AVC\).

Al igual que la curva de demanda, los puntos fuera de la curva de oferta se interpretan como soluciones ineficientes al problema de optimización. Aunque es posible, ningún agente de optimización elegiría un punto fuera de la curva de oferta (o demanda).

Ejercicios

1. ¿Qué sucede con la curva de oferta a corto plazo si los salarios suben? Explique. Usa las Herramientas de Dibujo de Word para crear un gráfico que represente tu respuesta.

2. ¿Qué sucede con la curva inversa de oferta a corto plazo si los salarios suben? Explique. Usa las Herramientas de Dibujo de Word para crear un gráfico que represente tu respuesta.

3. ¿Qué sucede con la curva de oferta a corto plazo si aumenta la tasa de renta de capital? Explique.

4. ¿Qué sucede con la curva de oferta a corto plazo si el precio (P) aumenta? Explique.

5. Supongamos que una empresa está fuera de su curva de oferta a corto plazo, pero en un punto donde\(MR = MC\). Utilice las Herramientas de Dibujo de Word para dibujar la función de beneficio para esta situación y etiquetar un punto Z que cumpla con las supuestas condiciones.

Referencias

El epígrafe proviene de la página 92 de la traducción al inglés de 1897 de Augustin Cournot's Researches into the Mathematical Principles of the Theory of Wealth. Este libro fue publicado originalmente en francés en 1838. Es una obra notable realmente muy adelantada a su tiempo.

Cournot (pronunciado coor—no) resuelve problemas de maximización de ganancias para una variedad de estructuras de mercado, incluyendo monopolio, competencia ilimitada (hoy llamada perfecta) y casos intermedios de pequeñas cantidades de empresas. Utiliza derivados e integrales con numerosas cifras de apoyo, incluyendo oferta y demanda con precio en el eje x. Cournot no estaba obligado por la convención de Marshall de P en el eje y ya que las famosas gráficas de la oferta y la demanda de Marshall no aparecerían hasta 1890.

La exposición matemática fue simplemente más allá del alcance de muchos lectores en 1838 y el libro languideció en la oscuridad hasta el surgimiento de las matemáticas en la economía. Volverás a escuchar el nombre de Cournot en el capítulo de Teoría de Juegos.