Objetivo de aprendizaje
- Definir el interés y la tasa de interés.
- Describir y mostrar algebraicamente cómo calcular el valor presente.
- Enumere y explique los factores que afectan cuál será el valor presente de algún pago futuro.
El tiempo, dice el refrán, es la forma de la naturaleza de evitar que todo suceda de una vez. Y el hecho de que no todo suceda a la vez introduce una complicación importante en el análisis económico.
Cuando una empresa decide utilizar fondos para instalar capital que no comenzará a producir ingresos por varios años, necesita una forma de comparar la importancia de los fondos gastados ahora con los ingresos obtenidos posteriormente. Debe encontrar la manera de compensar a los inversionistas financieros que renuncien al uso de sus fondos por varios años, hasta que el proyecto comience a dar sus frutos. ¿Cómo pueden vincularse entre sí los pagos que se distribuyen a lo largo del tiempo? Las tasas de interés son el mecanismo de vinculación; investigaremos cómo logran esa vinculación en esta sección.
La naturaleza de las tasas de interés
Considera un delicioso problema de elección. Tu tía Carmen te ofrece darte 10,000 dólares ahora o 10,000 dólares en un año. ¿Cuál elegirías?
La mayoría de la gente elegiría tomar el pago ahora. Una razón para esa elección es que es probable que el nivel promedio de precios suba durante el próximo año. El poder adquisitivo de 10,000 dólares hoy es así mayor que el poder adquisitivo de 10,000 dólares al año de ahí. También se plantea la cuestión de si se puede contar con recibir el pago. Si lo tomas ahora, lo tienes. Es arriesgado esperar un año; ¿quién sabe qué pasará?
Eliminemos ambos problemas. Supongamos que está seguro de que el nivel promedio de precios no cambiará durante el año, y está absolutamente seguro de que si elige esperar el pago, usted y ambos estarán disponibles. ¿Tomarás el pago ahora o esperarás?
Lo más probable es que aún quieras tomar el pago ahora. Quizás hay algunas cosas que te gustaría comprar con él, y te gustaría que más temprano que tarde. Además, si esperas un año para recibir el pago, no podrás usarlo mientras esperas. Si lo tomas ahora, puedes optar por gastarlo ahora o esperar.
Ahora supongamos que la tía Carmen quiere inducirte a esperar y cambia los términos de su regalo. Ella te ofrece $10,000 ahora o $11,000 en un año. En efecto, ella te está ofreciendo un bono de $1,000 si vas a esperar un año. Si aceptas esperar un año para recibir el pago de la tía Carmen, estarás aceptando su promesa de proporcionar fondos en lugar de los propios fondos. O aumentará tu patrimonio, que es la suma de todos tus activos menos todos tus pasivos. Los activos son cualquier cosa que tengas que sea de valor; los pasivos son obligaciones para realizar pagos futuros. Tanto un pago de 10.000 dólares de la tía Carmen ahora como su promesa de $11,000 en un año son ejemplos de activos. La alternativa a mantener la riqueza es consumirla. Podrías, por ejemplo, llevarte los 10.000 dólares de la tía Carmen y gastarlos para un viaje a Europa, reduciendo así tu riqueza. Al hacer una mejor oferta —$11,000 en lugar de $10,000—, la tía Carmen está tratando de inducirte a aceptar un activo que no podrás consumir durante el año.
El bono de $1,000 que ofrece la tía Carmen si vas a esperar un año para que su pago sea intereses. En general, los intereses son un pago realizado a personas que acuerdan posponer su uso de la riqueza. La tasa de interés representa el costo de oportunidad de utilizar la riqueza hoy en día, expresado como porcentaje de la cantidad de riqueza cuyo uso se pospone. Tía Carmen te está ofreciendo $1,000 si vas a dejar pasar los $10,000 hoy. Ella te está ofreciendo así una tasa de interés del 10% ($1,000/ $10,000=0.1= 10%).
Supongamos que le dices a tía Carmen que, dadas las dos opciones, aún preferirías tener los 10 mil dólares hoy. Ella ahora te ofrece $11,500 si vas a esperar un año para el pago, una tasa de interés del 15% ($1,500/$10,000=0.15= 15%). Cuanto más paga por esperar, mayor es la tasa de interés.
Probablemente estés familiarizado con el papel de las tasas de interés en los préstamos. En un préstamo, el prestatario obtiene ahora un pago a cambio de prometer pagar el préstamo en el futuro. Así, el prestamista deberá posponer su uso de la riqueza hasta el momento del reembolso. Para inducir a los prestamistas a posponer el uso de su patrimonio, los prestatarios ofrecen intereses. Los prestatarios están dispuestos a pagar intereses porque les permite adquirir la suma ahora en lugar de tener que esperarla. Y los prestamistas requieren pagos de intereses para compensarlos por posponer su propio uso de su patrimonio.
Tasas de interés y valor presente
Vimos en la sección anterior que la gente generalmente prefiere recibir un pago de alguna cantidad hoy en lugar de esperar a recibir esa misma cantidad más tarde. Podemos concluir que el valor hoy de un pago en el futuro es menor que el valor en dólares del pago futuro. Una aplicación importante de las tasas de interés es mostrar la relación entre los valores actuales y futuros de un pago en particular.
Para ver cómo podemos calcular el valor actual de un pago futuro, consideremos un ejemplo similar a la oferta de la tía Carmen. Esta vez tienes $1,000 y lo depositas en un banco, donde gana intereses a la tasa del 10% anual.
¿Cuánto tendrá en su cuenta bancaria al cierre de un año? Tendrás los $1,000 originales más el 10% de $1,000, o $1,100:
$1,000 + (0.10) ($1,000) = $1,100
De manera más general, si dejamos que P 0 sea igual a la cantidad que depositas hoy, r la tasa porcentual de interés, y P 1 el saldo de tu depósito al final de 1 año, entonces podemos escribir:
Ecuación 13.1
Factorizando el término P 0 en el lado izquierdo de la Ecuación 13.1, tenemos:
Ecuación 13.2
La ecuación 13.2 muestra cómo determinar el valor futuro de un pago o depósito realizado hoy. Ahora demos la vuelta a la pregunta. Podemos preguntar qué P 1, una cantidad que estará disponible dentro de 1 año, vale hoy. Resolvemos para esto dividiendo ambos lados de la Ecuación 13.2 por (1 + r) para obtener:
Ecuación 13.3
La ecuación 13.3 sugiere cómo podemos calcular el valor hoy, P 0, de una cantidad P 1 que se pagará un año de ahí. Una cantidad que equivaldría a un valor futuro particular si se deposita hoy a una tasa de interés específica se denomina valor presente de ese valor futuro.
De manera más general, el valor actual de cualquier pago a recibir n periodos a partir de ahora =
Ecuación 13.4
Supongamos, por ejemplo, que tu tía Carmen te ofrece la opción de $1,000 ahora o $15,000 en 30 años. Podemos usar la Ecuación 13.4 para ayudarte a decidir qué suma tomar. El valor actual de $15,000 a recibir en 30 años, asumiendo una tasa de interés del 10%, es:
Asumiendo que podrías ganar ese 10% de retorno con certeza, sería mejor que te llevaras ahora los $1,000 de tía Carmen; es mayor que el valor actual, a una tasa de interés del 10%, de los $15,000 que te daría en 30 años. Los mil mil dólares que te da ahora, asumiendo una tasa de interés del 10%, en 30 años crecerá hasta:
$1,000 (1 + 0.10) 30 = $17,449.40
El valor presente de algún pago futuro depende de tres cosas.
- El Tamaño del Pago En Sí. Cuanto mayor sea el pago futuro, mayor será su valor presente.
- La Duración del Periodo Hasta el Pago. El valor actual depende de cuánto tiempo transcurra un periodo antes de que se realice el pago. El valor actual de $15,000 en 30 años, a una tasa de interés del 10%, es de $859.63. Pero esa misma suma, si se paga en 20 años, tiene un valor actual de $2,229.65. Y si se paga en 10 años, su valor actual es más del doble de grande: $5,783.15. Cuanto más largo sea el periodo de tiempo antes de que se realice un pago, menor será su valor actual.
- La Tasa de Interés. El valor presente de un pago de $15,000 a realizar en 20 años es de $2,229.65 si la tasa de interés es del 10%; sube a $5,653.34 a una tasa de interés del 5%. Cuanto menor sea la tasa de interés, mayor será el valor presente de un pago futuro. El Cuadro 13.1 “Tiempo, Tasas de Interés y Valor Presente” da valores actuales de un pago de $15,000 a diversas tasas de interés y por diversos periodos de tiempo.
Cuadro 13.1 Tiempo, tasas de interés y valor presente
| Valor Presente de $15,000 |
|---|
| Tasa de interés (%) | Tiempo hasta el pago |
|---|
| 5 años | 10 años | 15 años | 20 años |
|---|
| 5 | $11,752.89 | $9,208.70 | $7,215.26 | $5,653.34 |
| 10 | 9,313.82 | 5,783.15 | 3,590.88 | 2,229.65 |
| 15 | 7,457.65 | 3,707.77 | 1,843.42 | 916.50 |
| 20 | 6,028.16 | 2,422.58 | 973.58 | 391.26 |
Cuanto mayor sea la tasa de interés y mayor sea el tiempo hasta que se realice el pago, menor será el valor presente de un pago futuro. La siguiente tabla muestra el valor presente de un pago futuro de $15,000 bajo diferentes condiciones. El valor actual de $15,000 a pagar en cinco años es de $11,752.89 si la tasa de interés es del 5%. Su valor actual es de apenas 391.26 dólares si se va a pagar en 20 años y la tasa de interés es del 20%.
El concepto de valor presente también se puede aplicar a una serie de pagos futuros. Supongamos que se le han prometido mil dólares al término de cada uno de los siguientes 5 años. Debido a que cada pago ocurrirá en un momento diferente, calculamos el valor presente de la serie de pagos tomando el valor de cada pago por separado y sumarlos juntos. A una tasa de interés del 10%, el valor actual P 0 es:
Por lo tanto, las tasas de interés pueden utilizarse para comparar los valores de los pagos que se producirán en diferentes momentos. Las elecciones relativas al capital y a los recursos naturales requieren tales comparaciones, por lo que encontrarás aplicaciones del concepto de valor presente a lo largo de este capítulo, pero el concepto de valor presente se aplica siempre que los costos y beneficios no tengan lugar todos en el periodo actual.
Los ganadores de loterías estatales a menudo tienen la opción de elegir entre un solo pago grande ahora o pagos más pequeños pagados durante un período de 25 o 30 años. Comparar el pago único ahora con el valor presente de los pagos futuros permite a los ganadores tomar decisiones informadas. Por ejemplo, en junio de 2005 Brad Duke, de Boise, Idaho, se convirtió en el ganador de uno de los premios de lotería más grandes de la historia. Ante la alternativa de reclamar el premio mayor de 220.3 millones de dólares en 30 pagos anuales de 7.4 millones de dólares o llevarse 125.3 millones de dólares en una suma global, eligió este último. Manteniendo sin cambios todas las demás consideraciones que debieron pasar por su mente, debió haber pensado que su mejor tasa de rendimiento sería superior al 4.17%. ¿Por qué 4.17%? Utilizando una tasa de interés de 4.17%, $125.3 millones es igual a un poco menor que el valor actual del flujo de pagos a 30 años. A todas las tasas de interés mayores a 4.17%, el valor actual del flujo de beneficios sería menor a $125.3 millones. A todas las tasas de interés inferiores al 4.17%, el valor actual del flujo de pagos sería superior a 125.3 millones de dólares. Nuestro análisis de valor actual sugiere que si pensaba que la tasa de interés que podría ganar era superior al 4.17%, debería tomar el pago de la suma global, lo que hizo.
Claves para llevar
- La gente generalmente prefiere recibir un pago específico ahora en lugar de esperar y recibirlo más tarde.
- El interés es un pago realizado a personas que acuerdan posponer su uso de la riqueza.
-
Calculamos el valor presente, P 0, de una suma a recibir en n años, P n, como:
- El valor presente de un pago futuro será mayor cuanto mayor sea el pago, cuanto antes venza, y menor será la tasa de interés.
¡Pruébalo!
Supongamos que tu amiga Sara te pide que le prestes 5.000 dólares para que pueda comprar un auto usado. Ella te dice que puede devolverte $5,200 en un año. Sara confiable siempre cumple su palabra. Supongamos que la tasa de interés que podrías ganar al poner los $5,000 en una cuenta de ahorro es del 5%. ¿Cuál es el valor actual de su oferta? ¿Es un buen trato para ti o no? ¿Y si la tasa de interés de tu cuenta de ahorros es de solo 3%?
Caso en Punto: Esperando Seguro de Muerte y Vida
Figura 13.1
Franco Dal Molin — Valium B — CC BY 2.0.
Es un cuento que se ha vuelto demasiado familiar.
Llámalo Roger Johnson. Acaba de enterarse de que su cáncer no es tratable y que sólo le quedan uno o dos años de vida. El señor Johnson no puede trabajar, y sus cargas financieras agravan su trágica situación médica. Ha hipotecado su casa y vendido sus otros bienes en un esfuerzo desesperado por tener en sus manos el efectivo que necesita para el cuidado, la comida y el refugio. Tiene una póliza de seguro de vida, pero sólo dará sus frutos cuando muera. Si tan solo pudiera conseguir algo de ese dinero antes...
El problema que enfrenta el Sr. Johnson ha generado una solución de mercado: empresas e individuos que compran las pólizas de seguro de vida de los enfermos terminales. El señor Johnson podría vender su póliza a una de estas empresas o particulares y cobrar el precio de compra. El comprador se hace cargo de sus pagos de primas. Cuando muera, la empresa cobrará los ingresos de la póliza.
A la industria se le llama la industria viática (el término viático proviene del viático, un sacramento cristiano dado a una persona moribunda). Proporciona a los enfermos terminales acceso al dinero mientras están vivos; proporciona a los inversionistas financieros una sana prima de interés sobre sus fondos.
Es un negocio escalofriante. Los compradores potenciales analizan los antecedentes médicos de los pacientes, estudiando los recuentos de células T y otros indicadores de la salud de un paciente. Desde el punto de vista del comprador, es deseable una muerte rápida, porque significa que el inversionista cobrará rápidamente sobre la compra de la póliza de un paciente.
Un paciente con una esperanza de vida inferior a seis meses podría vender su póliza de seguro de vida por 80% del valor nominal. Una póliza de 200.000 dólares se vendería así por $160,000. Una persona con un mejor pronóstico recogerá menos. Los pacientes que se espera que vivan dos años, por ejemplo, podrían obtener solo el 60% del valor nominal de sus políticas.
¿Los inversionistas se están beneficiando de la miseria de los demás? Por supuesto que lo son. Pero, supongamos que los inversionistas se negaron a aprovechar la desgracia de los enfermos terminales. Eso negaría a las personas moribundas la oportunidad de adquirir fondos que necesitan desesperadamente. Como es el caso de todo intercambio voluntario, el mercado viático crea situaciones de ganar-ganar. Los inversionistas “ganan” al obtener altas tasas de retorno de su inversión. ¿Y el paciente moribundo? Se encuentra en una situación terrible, pero la oportunidad de obtener fondos convierte a esa persona en un “ganador” también.
Kim D. Orr, ex agente de Life Partners Inc. (www.lifepartnersinc.com), una de las firmas líderes en la industria viática, recordó un caso en su propia familia. “Hace algunos años, tenía un primo que murió de SIDA. Estaba, al final, indigente y tuvo que depender totalmente de su familia para el apoyo. Hoy en día, hay un mercado amplio con muchos participantes, y un paciente puede darse cuenta de una fracción alta del valor nominal de una póliza al venderla. El mercado ayuda tanto a compradores como a pacientes”.
En los últimos años, esta industria ha pasado a llamarse industria de asentamientos de vida, con transferencias de pólizas ofrecidas a asegurados más saludables, a menudo ancianos. Estas personas más sanas a veces están entregando sus pólizas para un pago a terceros que pagan las primas y luego cobran el beneficio cuando fallecen los asegurados. La expansión de esta práctica ha comenzado a elevar costos para las aseguradoras de vida, quienes asumieron que las personas a veces dejarían que sus pólizas vengan, con el resultado de que la aseguradora no tiene que pagar reclamaciones sobre ellas. No es probable que las empresas que compren pólizas de seguro de vida las dejen caer
Fuentes: Entrevista personal y Liam Pleven y Rachel Emma Silverman, “Inversionistas buscan ganancias en muertes de extraños”, The Wall Street Journal Online, 2 de mayo de 2006, p. C1.
¡Responde a Pruébalo! Problema
El valor presente de $5,200 pagaderos en un año con una tasa de interés del 5% es:
Dado que el valor actual de $5,200 es menor a los $5,000 que Sara te ha pedido que le prestes, sería mejor que te niegas a hacer el préstamo. Otra forma de evaluar el préstamo es que Sara está ofreciendo un rendimiento sobre tus $5,000 de 200/5,000 = 4%, mientras que el banco te está ofreciendo un rendimiento del 5%. Por otro lado, si la tasa de interés que está pagando tu banco es del 3%, entonces el valor presente de lo que Sara te pagará en un año es:
Con tu banco solo pagando una devolución del 3%, la oferta de Sara parece un buen trato.
