2.12: Declaraciones Conversadas, Inversas y Contrapositivas
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Declaraciones condicionales extraídas de una declaración if-then.
Converse, Inversa y Contrapositiva
Considera la declaración: Si hace buen tiempo, entonces lavaré el auto. Podemos reescribir esta afirmación usando letras para representar la hipótesis y la conclusión.
\(p=the\: weather \:is \:nice \qquad q=I'll \:wash \:the \:car\)
Ahora la declaración es: si\(p\), entonces\(q\), que también se puede escribir como\(p\rightarrow q\).
También podemos hacer las negaciones, o “nots”, de\(p\) y\(q\). La versión simbólica de “no p” es\ (\ sim p.
\(\sim p=the \:weather \:is \:not \:nice \qquad \sim q=I \:won't \:wash \:the \:car\)
Usando estos “nots” y cambiando el orden de\(p\) y\(q\), podemos crear tres nuevas declaraciones.
\(Converse \qquad q\rightarrow p \qquad \underbrace{If\: I\: wash\: the\: car}_\text{q}, \underbrace{then\: the \:weather \:is \: nice}_\text{p}\).
\(Inverse \qquad \sim p\rightarrow \sim q \qquad \underbrace{If\: the\: weather\: is \:not \:nice}_\text{p}, \underbrace{\:then \:I \:won't \:wash \:the \:car}_\text{q}\).
\(Contrapositive \qquad \sim q\rightarrow \sim p \qquad \underbrace{If\: I \:don't \:wash \:the \:car}_\text{q}, \underbrace{then the weather is not nice}_\text{p}\).
Si la declaración “si-entonces” es verdadera, entonces lo contrapositivo también es cierto. El contrapositivo es lógicamente equivalente al enunciado original. Lo contrario y lo inverso pueden o no ser ciertos. Cuando tanto la declaración original como la converse son verdaderas, entonces la declaración es una declaración bicondicional. En otras palabras, si\(p\rightarrow q\) es verdadero y\(q\rightarrow p\) es cierto, entonces\(p \leftrightarrow q\) (dicho “\(p\)si y sólo si\(q\)”).
¿Y si te dieran una declaración condicional como “Si camino a la escuela, entonces llegaré tarde”? ¿Cómo podría reorganizar y/o negar esta afirmación para formar nuevas declaraciones condicionales?
Ejemplo\(\PageIndex{1}\)
Si\(n>2\), entonces\(n^{2}>4\).
Encuentra lo contrario, inverso y contrapositivo. Determinar si cada declaración resultante es verdadera o falsa. Si es falso, encuentra un contraejemplo.
Solución
El enunciado original es cierto.
\(\underline{Converse}\): Si\(n^{2}>4\), entonces\(n>2\).
Falso. Si\(n^{2}=9\),\(n=−3\: or \: 3\). \((−3)^{2}=9\)
\(\underline{Inverse}\): Si\(n\leq 2\), entonces\(n^{2}\leq 4\).
Falso. Si\(n=−3\), entonces\(n^{2}=9\).
\(\underline{Contrapositive}\): Si\(n^{2}\leq 4\), entonces\(n\leq 2\).
Cierto. El único\(n^{2}\leq 4\) es 1 o 4. \(\sqrt{1}=\pm 1\)y\(\sqrt{4}=\pm 2\), que son ambos menores o iguales a 2.
Ejemplo\(\PageIndex{2}\)
Si estoy en Disneyland, entonces estoy en California.
Encuentra lo contrario, inverso y contrapositivo. Determinar si cada declaración resultante es verdadera o falsa. Si es falso, encuentra un contraejemplo.
Solución
El enunciado original es cierto.
\(\underline{Converse}\): Si estoy en California, entonces estoy en Disneyland.
Falso. Podría estar en San Francisco.
\(\underline{Inverse}\): Si no estoy en Disneyland, entonces no estoy en California.
Falso. De nuevo, podría estar en San Francisco.
\(\underline{Contrapositive}\): Si no estoy en California, entonces no estoy en Disneyland.
Cierto. Si no estoy en el estado, no podría estar en Disneyland.
Aviso para lo contrario e inverso podemos usar el mismo contraejemplo.
Ejemplo\(\PageIndex{3}\)
Rewrite as a biconditional statement: Cualquiera de los dos puntos son colineales.
Solución
Esta declaración puede ser reescrita como:
Dos puntos están en la misma línea si y sólo si son colineales. Reemplace el “sif-entonces” por “si y solo si” en el medio de la declaración.
Ejemplo\(\PageIndex{4}\)
Dos puntos cualesquiera son colineales.
Encuentra lo contrario, inverso y contrapositivo. Determinar si cada declaración resultante es verdadera o falsa. Si es falso, encuentra un contraejemplo.
Solución
Primero, cambie la declaración por una declaración “sif-then”:
Si dos puntos están en la misma línea, entonces son colineales.
\(\underline{Converse}\): Si dos puntos son colineales, entonces están en la misma línea. Cierto.
\(\underline{Inverse}\): Si dos puntos no están en la misma línea, entonces no son colineales. Cierto.
\(\underline{Contrapositive}\): Si dos puntos no son colineales, entonces no se encuentran en la misma línea. Cierto.
Ejemplo\(\PageIndex{5}\)
La siguiente es una afirmación verdadera:
\(m\angle ABC>90^{\circ}\)si y sólo si\(\angle ABC\) es un ángulo obtuso.
Determinar las dos afirmaciones verdaderas dentro de este bicondicional.
Solución
Declaración 1: Si\(m\angle ABC>90^{\circ}\), entonces\(\angle ABC\) es un ángulo obtuso.
Declaración 2: Si\(\angle ABC\) es un ángulo obtuso, entonces\(m\angle ABC>90^{\circ}\).
Revisar
Para las preguntas 1-4, use la declaración:
Si\(AB=5\) y\(BC=5\), entonces\(B\) es el punto medio de\(\overline{AC}\).
- ¿Es esta una afirmación verdadera? Si no, ¿qué es un contraejemplo?
- Encuentra lo contrario de esta declaración. ¿Es verdad?
- Encuentra la inversa de esta afirmación. ¿Es verdad?
- Encuentra el contrapositivo de esta afirmación. ¿Qué afirmación es lo mismo que?
Encuentra lo contrario de cada declaración verdadera sif-then. Si lo contrario es cierto, escriba la declaración bicondicional.
- Un ángulo agudo es menor que\(90^{\circ}\).
- Si estás en la playa, entonces estás quemado por el sol.
- Si\(x>4\), entonces\(x+3>7\).
Para las preguntas 8-10, determinar las dos declaraciones condicionales verdaderas a partir de las declaraciones bicondicionales dadas.
- Un ciudadano estadounidense puede votar si y sólo si tiene 18 años o más.
- Un número entero es primo si y sólo si sus factores son 1 y él mismo.
- \(2x=18\)si y sólo si\(x=9\).
Reseña (Respuestas)
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Recursos
El vocabulario
| Término | Definición |
|---|---|
| declaración bicondicional | Una declaración es bicondicional si la declaración condicional original y la declaración converse son ambas verdaderas. |
| Declaración Condicional | Una declaración condicional (o declaración 'sif-then') es una declaración con una hipótesis seguida de una conclusión. |
| contrapositivo | Si una sentencia condicional es\(p\rightarrow q\) (si\(p\) entonces q), entonces el contrapositivo es\(\sim q\rightarrow \sim p\) (si no q entonces no p). |
| converse | Si una declaración condicional es\(p\rightarrow q\) (si\(p\), entonces\(q\)), entonces lo contrario es\(q\rightarrow p\) (si\(q\), entonces\(p\). Tenga en cuenta que lo contrario de una declaración no es cierto solo porque la declaración original es verdadera. |
| inversa | Si una sentencia condicional es\(p\rightarrow q\), entonces la inversa es\(\sim p\rightarrow \sim q\). |
| Lógicamente Equivalente | Una declaración es lógicamente equivalente si la declaración “if-then” y la declaración contrapositiva son ambas verdaderas. |
| premisa | Una premisa es una declaración de partida que se utiliza para sacar conclusiones lógicas. |
Recursos adicionales
Elemento Interactivo
Video: Converse, Inversa y Contrapositiva de una Declaración Condicional Principios - Básico
Actividades: Preguntas de Discusión Conversada, Inversa y Contrapositiva
Ayudas de Estudio: Guía de Estudio de Declaraciones
Práctica: Declaraciones Conversadas, Inversas y Contrapositivas
Mundo real: Converse Inverse Contrapositivo