9.2 Parábolas
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Al trabajar con parábolas en el pasado probablemente usaste la forma de vértice y analizaste la gráfica encontrando sus raíces e intercepciones. Hay otra forma de definir una parábola que resulta más útil en el mundo real. Uno de los muchos usos de las formas parabólicas en el mundo real son las antenas parabólicas. En estas formas es vital saber dónde se debe colocar el punto receptor para que pueda absorber todas las señales que se reflejan desde el plato.
¿Dónde debería ubicarse el receptor en una antena parabólica de cuatro pies de ancho y nueve pulgadas de profundidad?
Graficando Paráolas
La definición de parábola es la colección de puntos equidistantes de un punto llamado foco y una línea llamada directriz.
Observe cómo los tres puntos\(P_{1}, P_{2}, P_{3}\) están conectados cada uno por una línea azul con el punto de enfoque\(F\) y la línea directriz\(L\)
\(\overline{F P_{1}}=\overline{P_{1} Q_{1}}\)
\(\overline{F P_{2}}=\overline{P_{2} Q_{2}}\)
\(\overline{F P_{3}}=\overline{P_{3} Q_{3}}\)
Hay dos ecuaciones gráficas para parábolas que se utilizarán en este concepto. La única diferencia es que una ecuación grafica las parábolas abriendo verticalmente y una ecuación grafica las parábolas que se abren horizontalmente Se puede reconocer que las parábolas se abren verticalmente porque tienen un\(x^{2}\) término. Así mismo, las parábolas que se abren horizontalmente tienen un\(y^{2}\) término.
La ecuación general para una parábola que se abre verticalmente es\((x-h)^{2}=\pm 4 p(y-k)\). La ecuación general para una parábola que se abre horizontalmente es\((y-k)^{2}=\pm 4 p(x-h)\).
Tenga en cuenta que el vértice está quieto\((h, k)\). La parábola se abre hacia arriba o hacia la derecha si la\(4 p\) es positiva. La parábola se abre hacia abajo o hacia la izquierda si la\(4 p\) es negativa. El foco es solo un punto que está\(p\) lejos del vértice. La directriz es solo una línea que está\(p\) lejos del vértice en la dirección opuesta. Puedes bosquejar qué tan amplia es la parábola señalando el ancho focal\(|4 p|\).
Una vez que pones la parábola en esta forma gráfica puedes bosquejar la parábola trazando el vértice, identificando\(p\) y trazando el foco y la directriz y finalmente determinando el ancho focal y dibujando la curva.
Toma la cónica:
\(2 x^{2}+16 x+y=0\)
Esto es una parábola porque el\(y^{2}\) coeficiente es cero.
\(\begin{aligned} x^{2}+8 x &=-\frac{1}{2} y \\ x^{2}+8 x+16 &=-\frac{1}{2} y+16 \\ (x+4)^{2} &=-\frac{1}{2}(y-32) \\ (x+4)^{2} &=-4 \cdot \frac{1}{8}(y-32) \end{aligned}\)
El vértice es\((-4,32) .\) La distancia focal es\(p=\frac{1}{8}\). Esta parábola se abre hacia abajo lo que significa que el foco está en\(\left(-4,32-\frac{1}{8}\right)\) y la directriz es horizontal en\(y=32+\frac{1}{8} .\) El ancho focal es\(\frac{1}{2}\).
Ejemplos
Anteriormente, se le preguntó dónde debería ubicarse el receptor en una antena parabólica que mide cuatro pies de ancho y nueve pulgadas de profundidad.
Dado que los problemas del mundo real no vienen con un sistema de coordenadas predeterminado, puede optar por hacer el vértice de la parábola en (0, 0). Entonces, si todo se hace en pulgadas, otro punto en la parábola será (24, 9). (Mucha gente podría creer erróneamente que el punto (48, 9) está en la parábola pero recuerde que la mitad de este ancho también se extiende hasta (-24, 9).) Usando estos dos puntos, se puede encontrar el ancho focal.
\(\begin{aligned}(x-0)^{2} &=4 p(y-0)\\(24-0)^{2} &=4 p(9-0) \\ \frac{24^{2}}{4 \cdot 9} &=p \\ 16 &=p \end{aligned}\)
El receptor debe estar a dieciséis pulgadas del vértice de la placa parabólica.
Esbozar la siguiente parábola e identificar las piezas importantes de información.
\((y+1)^{2}=4 \cdot \frac{1}{2} \cdot(x+3)\)
El vértice está en (-3, -1). La parábola es lateral porque hay un\(y^{2}\) término. La parábola se abre a la derecha porque la\(4 p\) es positiva. La distancia focal es\(p=\frac{1}{2}\) lo que significa que el foco está\(\frac{1}{2}\) a la derecha del vértice en (-2.5, -1) y la directriz está\(\frac{1}{2}\) a la izquierda del vértice en\(x=-3.5\). El ancho focal es 2 por lo que el ancho de la parábola se extiende de (-2.5,0) a (-2.5, -2).
¿Cuál es la ecuación de una parábola que tiene un enfoque en (4,3) y una directriz de\(y=-1 ?\)
Probablemente sería útil graficar la información que tienes para razonar sobre dónde está el vértice.
El vértice debe estar a medio camino entre el foco y la directriz. Esto lo coloca en (4, 1). La distancia focal es 2. La parábola se abre hacia arriba. Esta es toda la información que necesitas para crear la ecuación.
\((x-4)^{2}=4 \cdot 2 \cdot(y-1)\)
O\((x-4)^{2}=8(y-1)\)
Cuál es la ecuación de una parábola que se abre a la derecha con ancho focal de (6, -7) a (6,12)\(?\) El foco está en la mitad del ancho focal. El foco es\(\left(6, \frac{5}{2}\right)\). El ancho focal es 19 que es cuatro veces la distancia focal por lo que la distancia focal debe ser\(\frac{19}{4}\). El vértice debe ser una distancia focal a la izquierda del foco, por lo que el vértice está en\(\left(6-\frac{19}{4}, \frac{5}{2}\right)\). Esta es información suficiente para escribir la ecuación de la parábola.
\(\left(y-\frac{5}{2}\right)^{2}=4 \cdot \frac{19}{4} \cdot\left(x-6+\frac{19}{4}\right)\)
Esboce la siguiente cónica poniéndola en forma gráfica e identificando información importante.
\(y^{2}-4 y+12 x-32=0\)
\(\begin{aligned} y^{2}-4 y &=-12 x+32 \\ y^{2}-4 y+4 &=-12 x+32+4 \\ (y-2)^{2} &=-12(x-3) \\ (y-2)^{2} &=-4 \cdot 3 \cdot(x-3) \end{aligned}\)
El vértice está en (3,2). El foco está en (0,2). La directrix está en\(x=6\).
1. ¿Cuál es la ecuación de una parábola con enfoque en (1,4) y directriz en\(y=-2 ?\)
2. ¿Cuál es la ecuación de una parábola que se abre a la izquierda con ancho focal de (-2,5) a (-2, -7)\(?\)
3. ¿Cuál es la ecuación de una parábola que se abre a la derecha con vértice en (5,4) y ancho focal de\(12 ?\)
4. ¿Cuál es la ecuación de una parábola con vértice en (1,8) y directriz en\(y=12\)?
5. ¿Cuál es la ecuación de una parábola con enfoque en (-2,4) y directriz en\(x=4 ?\)
6. ¿Cuál es la ecuación de una parábola que se abre hacia abajo con un ancho focal de (-4,9) a (16,9)\(?\)
7. ¿Cuál es la ecuación de una parábola que se abre hacia arriba con vértice en (1,11) y ancho focal de\(4 ?\)
Esboce las siguientes parábolas poniéndolas en forma gráfica e identificando información importante.
8. \(y^{2}+2 y-8 x+33=0\)
9. \(x^{2}-8 x+20 y+36=0\)
10. \(x^{2}+6 x-12 y-15=0\)
11. \(y^{2}-12 y+8 x+4=0\)
12. \(x^{2}+6 x-4 y+21=0\)
13. \(y^{2}+14 y-2 x+59=0\)
14. \(x^{2}+12 x-\frac{8}{3} y+\frac{92}{3}=0\)
15. \(x^{2}+2 x-\frac{4}{5} y+1=0\)