9.4 Elipses

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Una elipse se conoce comúnmente como óvalo. Las elipses son tan comunes como las parabolas en el mundo real con sus propios usos. Las habitaciones que tienen techos de forma elíptica se llaman salas susurrantes porque si te paras en un punto de enfoque y susurras, alguien parado en el otro punto de enfoque podrá escucharte.

Las elipses se parecen a los círculos, pero hay algunas diferencias clave entre estas formas. Las elipses tienen tanto un\(x\) radio -como un\(y\) radio -mientras que los círculos tienen un solo radio. Otra diferencia entre círculos y elipses es que una elipse se define como la colección de puntos que están a una distancia establecida de dos puntos de enfoque mientras que los círculos se definen como la colección de puntos que están a una distancia establecida desde un punto central. Una tercera diferencia entre elipses y círculos es que no todas las elipses son similares entre sí mientras que todos los círculos son similares entre sí. Algunas elipses son estrechas y algunas son casi circulares. ¿Cómo se mide la forma extraña que tiene una elipse?

Gráfica de elipses

Una elipse tiene dos focos. Por cada punto de la elipse, la suma de las distancias a cada foco es constante. Esto es lo que define una elipse. Otra forma de pensar sobre la definición de una elipse es asignar una cantidad determinada de cuerda y fijar los dos extremos de la cuerda para que haya algo de holgura entre ellos. Luego usa un lápiz para tirar de la cuerda enseñada y trazar la curva alrededor de ambos puntos fijos. Trazarás una elipse y los puntos finales fijos de la cuerda serán los focos. Focos es la forma plural de enfoque. En la imagen de abajo,\((h, k)\) está el centro de la elipse y los otros dos puntos marcados son los focos.

El eje mayor es la distancia más larga de extremo a extremo de una elipse y es el doble de largo que el semieje mayor. El semieje mayor es la distancia desde el centro de la elipse hasta el punto más alejado de la elipse y el semieje menor es la distancia desde el centro hasta el borde de la elipse en el eje que es perpendicular al semieje mayor.

La ecuación general para una elipse es:

\(\frac{(x-h)^{2}}{a^{2}}+\frac{(y-k)^{2}}{b^{2}}=1\)

En este caso el eje mayor es horizontal porque\(a,\) el\(x\) -radio, es mayor. Si el\(y\) radio -fuera mayor, entonces\(a\) y\(b\) revertiría. Es decir, el coeficiente\(a\) siempre viene de la longitud del semieje mayor (el más largo) y el coeficiente\(b\) siempre viene de la longitud del eje semi menor (el más corto).

Para encontrar las ubicaciones de los dos focos, necesitará encontrar el radio focal representado\(c\) usando la siguiente relación:

\(a^{2}-b^{2}=c^{2}\)

Una vez que tenga el radio focal, mida desde el centro a lo largo del eje mayor para ubicar los focos. La forma general de una elipse se mide usando excentricidad. La excentricidad es una medida de cuán ovalada o circular es la forma. Las elipses pueden tener una excentricidad entre 0 y 1 donde un número cercano a 0 es extremadamente circular y un número cercano a 1 es menos circular. La excentricidad se calcula por:

\(e=\frac{c}{a}\)

Las elipses también tienen dos líneas directrix que corresponden a cada foco pero en el exterior de la elipse. La distancia desde el centro de la elipse a cada línea directrix es\(\frac{a^{2}}{c}\)

Ejemplos

Ejemplo 1

Anteriormente, se le preguntó cómo mide cuán extraña tiene la forma de una elipse. Las elipses se miden usando su excentricidad. Aquí hay tres elipses con excentricidad estimada para que las compare.

La excentricidad es la relación entre el radio focal y el semieje mayor:\(e=\frac{c}{a}\)

Ejemplo 2

Encuentra los vértices (extremos del eje mayor), focos y excentricidad de la siguiente elipse.

\(\frac{(x-2)^{2}}{4}+\frac{(y+1)^{2}}{16}=1\)

El centro de la elipse está en (2, -1). El eje mayor es vertical, lo que significa que el semieje mayor es\(a=4\). Los vértices son (2,3) y (2, -5)

\(\begin{aligned} 16^{2}-4^{2} &=c^{2} \\ 4 \sqrt{15}=\sqrt{240} &=c \end{aligned}\)

Así los focos son\((2,-1+4 \sqrt{15})\) y\((2,-1-4 \sqrt{15})\)

Ejemplo 3

Esboce la siguiente elipse.

\(\frac{(y-1)^{2}}{16}+\frac{(x-2)^{2}}{9}=1\)

Trazar los focos suelen ser importantes, pero en este caso la pregunta simplemente te pide bosquejar la elipse. Todo lo que necesitas es el centro,\(x\) -radio y\(y\) -radio.

Ejemplo 4

Pon en forma gráfica la siguiente cónica.

\(25 x^{2}-150 x+36 y^{2}+72 y-639=0\)

\(\begin{aligned} 25 x^{2}-150 x+36 y^{2}+72 y-639 &=0 \\ 25\left(x^{2}-6 x\right)+36\left(y^{2}+2 y\right) &=639 \\ 25\left(x^{2}-6 x+9\right)+36\left(y^{2}+2 y+1\right) &=639+225+36 \\ 25(x-3)^{2}+36(y+1)^{2} &=900 \\ \frac{25(x-3)^{2}}{900}+\frac{36(y+1)^{2}}{900} &=\frac{900}{900} \\ \frac{(x-3)^{2}}{36}+\frac{(y+1)^{2}}{25}=1 & \end{aligned}\)

Ejemplo 5

Pon en forma gráfica la siguiente cónica.

\(9 x^{2}-9 x+4 y^{2}+12 y+\frac{9}{4}=-8\)

\(9 x^{2}-9 x+\frac{9}{4}+4 y^{2}+12 y=-8\)

\(9\left(x^{2}-x-\frac{1}{4}\right)+4\left(y^{2}+3 y\right)=-8\)

\(9\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}+4\left(y^{2}+3 y+\frac{9}{4}\right)=-8+4 \cdot \frac{9}{4}\)

\(9\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}+4\left(y+\frac{3}{2}\right)^{2}=1\)

\(\frac{\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}}{\frac{1}{9}}+\frac{\left(y+\frac{3}{2}\right)^{2}}{\frac{1}{4}}=1\)

Revisar

Encuentra los vértices, focos y excentricidad para cada una de las siguientes elipses.

1. \(\frac{(x-1)^{2}}{4}+\frac{(y+5)^{2}}{16}=1\)

2. \(\frac{(x+1)^{2}}{9}+\frac{(y+2)^{2}}{4}=1\)

3. \((x-2)^{2}+\frac{(y-1)^{2}}{4}=1\)

Ahora esboza cada una de las siguientes elipses (nótese que son las mismas que las elipses en #1 - #3).

4. \(\frac{(x-1)^{2}}{4}+\frac{(y+5)^{2}}{16}=1\)

5. \(\frac{(x+1)^{2}}{9}+\frac{(y+2)^{2}}{4}=1\)

6. \((x-2)^{2}+\frac{(y-1)^{2}}{4}=1\)

Ponga en forma gráfica cada una de las siguientes ecuaciones.

7. \(x^{2}+2 x+4 y^{2}+56 y+197=16\)

8. \(x^{2}-8 x+9 y^{2}+18 y+25=9\)

9. \(9 x^{2}-36 x+4 y^{2}+16 y+52=36\)

Encuentra la ecuación para cada elipse basada en la descripción.

10. Una elipse con vértices (4, -2) y (4,8) y eje menor de longitud\(6 .\)

11. Una elipse con eje menor de (4, -1) a (4,3) y eje mayor de longitud 12.

12. Una elipse con eje menor de (-2,1) a (-2,7) y un foco en (2,4).

13. Una elipse con un vértice en\((6,-15),\) y focos en (6,10) y (6, -14)

Se va a construir un puente sobre una calzada con su fondo la forma de una semielipse de 100 pies de ancho y 25 pies de alto en el centro. La calzada debe tener 70 pies de ancho.

14. Encuentra una posible ecuación de la elipse que modele la parte inferior del puente.

15. ¿Cuál es el espacio libre entre la calzada y el paso elevado al borde de la calzada?

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