3.1.2: Identidades de cocientes

Tangente es igual a seno dividido por coseno.

Estás trabajando en clase de matemáticas un día cuando tu amigo se inclina y te pregunta qué tienes para el seno y el coseno de un ángulo particular.

“Tengo\(\dfrac{1}{2}\) por el seno, y\(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\) por el coseno. ¿Por qué?” usted pregunta.

“Parece que se supone que debo calcular la función tangente para el mismo ángulo que acabas de hacer, pero no puedo recordar la relación para tangente. ¿Qué debo hacer?” dice.

¿Sabes cómo puedes ayudar a tu amigo a encontrar la respuesta, aunque tanto tú como él no recuerden la relación por tangente?

Identidades de cocientes

Las definiciones de las funciones trig nos llevaron a las identidades recíprocas, lo que se puede ver en el Concepto sobre ese tema. También nos llevan a otro conjunto de identidades, el cociente de identidades.

Considere primero las funciones seno, coseno y tangente. Para los ángulos de rotación (no necesariamente en el círculo unitario) estas funciones se definen de la siguiente manera:

\(\begin{aligned}\sin \theta&=\dfrac{y}{r}\\ \cos \theta&=\dfrac{x}{r}\\ \tan \theta &=\dfrac{y}{x}\end{aligned}\)

Dadas estas definiciones, podemos demostrar que\(\tan \theta =\dfrac{\sin \theta}{\cos \theta}\), siempre y cuando\(\cos \theta \neq 0\):

\(\dfrac{\sin \theta}{\cos \theta} =\dfrac{\dfrac{y}{r}}{\dfrac{x}{r}}=\dfrac{y}{r}\times \dfrac{r}{x}=\dfrac{y}{x}=\tan \theta\).

Por lo tanto, la ecuación\(\tan \theta =\dfrac{\sin \theta}{\cos \theta}\) es una identidad que podemos usar para encontrar el valor de la función tangente, dado el valor del seno y el coseno.

Echemos un vistazo a algunos problemas que involucran identidades de cocientes.

1. Encuentra el valor de\(\tan \theta\)?

Si\(\cos \theta =\dfrac{5}{13}\) y\(\sin \theta =\dfrac{12}{13}\), ¿cuál es el valor de\(\tan \theta \)?

\(\tan \theta =\dfrac{12}{5}\)

\(\tan \theta =\dfrac{\sin \theta}{\cos \theta} =\dfrac{\dfrac{12}{13}}{\dfrac{5}{13}}=\dfrac{12}{13}\times \dfrac{13}{5}=\dfrac{12}{5}\)

2. Demostrar que\(\cot \theta =\dfrac{\cos \theta}{\sin \theta}\)

\(\cos \theta \sin \theta =\dfrac{\dfrac{x}{r}}{\dfrac{y}{r}}=\dfrac{x}{r}\times\dfrac{r}{y}=\dfrac{x}{y}=\cot \theta\)

3. ¿Cuál es el valor de\(\cot \theta\)?

Si\(\cos \theta =\dfrac{7}{25}\) y\(\sin \theta =\dfrac{24}{25}\), ¿cuál es el valor de\(\cot \theta\)?

\(\cot \theta =\dfrac{7}{24}\)

\(\cot \theta =\dfrac{\cos \theta}{\sin \theta}=\dfrac{\dfrac{7}{25}}{\dfrac{24}{25}}=\dfrac{7}{25}\times \dfrac{25}{24}=\dfrac{7}{24}\)

Ejemplo\(\PageIndex{1}\)

Anteriormente, te preguntaron si puedes ayudar a tu amigo a encontrar la respuesta.

Solución

Desde ahora sabes que:

\(\tan \theta =\dfrac{\sin \theta}{\cos \theta}\)

puedes usar este conocimiento para ayudar a tu amigo con los valores de seno y coseno que has medido por ti mismo antes:

\(\tan \theta =\dfrac{\sin \theta}{\cos \theta} =\dfrac{\dfrac{1}{2}}{\dfrac{\sqrt{3}}{2}}=\dfrac{1}{\sqrt{3}}\)

Ejemplo\(\PageIndex{2}\)

Si\(\cos \theta =\dfrac{17}{145}\) y\(\sin \theta =\dfrac{144}{145}\), ¿cuál es el valor de\(\tan \theta\)?

Solución

\(\tan \theta =\dfrac{144}{17}\). Podemos ver esto a partir de la relación para la función tangente:

\(\tan \theta =\dfrac{\sin \theta}{\cos \theta} =\dfrac{\dfrac{144}{145}}{\dfrac{17}{145}}=\dfrac{144}{145} \times \dfrac{145}{17}=\dfrac{144}{17}\)

Ejemplo\(\PageIndex{3}\)

Si\(\sin \theta =\dfrac{63}{65}\) y\(\cos \theta =\dfrac{16}{65}\), ¿cuál es el valor de\(\tan \theta\)?

Solución

\(\tan \theta =\dfrac{63}{16}\). Podemos ver esto a partir de la relación para la función tangente:

\(\tan \theta =\dfrac{\sin \theta}{\cos \theta}=\dfrac{\dfrac{63}{65}}{\dfrac{16}{65}}=\dfrac{63}{65}\times \dfrac{65}{16}=\dfrac{63}{16}\)

Ejemplo\(\PageIndex{4}\)

Si\(\tan \theta =\dfrac{40}{9}\) y\(\cos \theta =\dfrac{9}{41}\), ¿cuál es el valor de\(\sin \theta\)?

Solución

\(\sin \theta =\dfrac{40}{41}\). Podemos ver esto a partir de la relación para la función tangente:

\(\begin{aligned} \tan \theta &= \dfrac{\sin \theta}{\cos \theta} \\ \sin \theta &=(\tan \theta )(\cos \theta ) \\ \sin \theta&=\dfrac{40}{9}\times \dfrac{9}{41} \\ \sin \theta &=\dfrac{40}{41}\end{aligned}\)

Revisar

Rellena cada pieza en blanco con una función trigonométrica.

1. \(\tan \theta =\dfrac{\sin \theta}{?}\)
2. \(\cos \theta =\dfrac{\sin \theta}{?}\)
3. \(\cot \theta = \dfrac{?}{\sin \theta}\)
4. \(\cos \theta =(\cot \theta )\cdot (?)\)
5. Si\(\cos \theta =\dfrac{5}{13}\) y\(\sin \theta =\dfrac{1}{13}\), ¿cuál es el valor de\(\tan \theta \)?
6. Si\(\sin \theta =\dfrac{3}{5}\) y\(\cos \theta =\dfrac{4}{5}\), ¿cuál es el valor de\(\tan \theta \)?
7. Si\(\cos \theta =\dfrac{7}{25}\) y\(\sin \theta =\dfrac{24}{25}\), ¿cuál es el valor de\(\tan \theta \)?
8. Si\(\sin \theta =\dfrac{12}{37}\) y\(\cos \theta =\dfrac{35}{37}\), ¿cuál es el valor de\(\tan \theta \)?
9. Si\(\cos \theta =\dfrac{20}{29}\) y\(\sin \theta =\dfrac{21}{29}\), ¿cuál es el valor de\(\tan \theta \)?
10. Si\(\sin \theta =\dfrac{39}{89}\) y\(\cos \theta =\dfrac{80}{89}\), ¿cuál es el valor de\(\tan \theta \)?
11. Si\(\cos \theta =\dfrac{48}{73}\) y\(\sin \theta =\dfrac{55}{73}\), ¿cuál es el valor de\(\tan \theta \)?
12. Si\( \sin \theta =\dfrac{65}{97}\) y\(\cos \theta =\dfrac{72}{97}\), ¿cuál es el valor de\(\tan \theta \)?
13. Si\(\cos \theta =\dfrac{1}{2}\) y\(\cot \theta =\dfrac{\sqrt{3}}{3}\), ¿cuál es el valor de\(\sin \theta \)?
14. Si\(\tan \theta =0\) y\(\cos \theta =−1\), ¿cuál es el valor de\(\sin \theta\)?
15. Si\(\cot \theta =−1\) y\(\sin \theta =−\dfrac{\sqrt{2}}{2}\), ¿cuál es el valor de\(\cos \theta \)?

Reseña (Respuestas)

Para ver las respuestas de Revisar, abra este archivo PDF y busque la sección 1.23.

El vocabulario

Término	Definición
Identidad del cociente	La identidad del cociente es una identidad que relaciona la tangente de un ángulo con el seno del ángulo dividido por el coseno del ángulo.

Recursos adicionales

Video: El recíproco, el cociente y las identidades pitagóreas