3.4.1: Fórmulas de ángulo doble y medio

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Seno, coseno y tangente de ángulos distintos de múltiplos de 30, 45 y 60 grados.

Desea encontrar el valor exacto de\(\tan \dfrac{ 3 \pi}{8}\). ¿Cómo podrías encontrar este valor sin u\ sin g una calculadora?

Fórmulas de ángulo doble y medio ángulo

En este concepto, aprenderemos a encontrar los valores exactos de las funciones trig para ángulos que son la mitad o el doble de otros ángulos. Aquí presentaremos las\(\left(\dfrac{a}{2}\right)\) Fórmulas de Doble Ángulo\((2a)\) y Medio Ángulo.

Fórmulas de doble ángulo y medio ángulo

\ (\ begin {alineado}
\ cos 2 a &=\ cos ^ {2} a-\ sin ^ {2} a &\ sin 2 a&=2\ sin a\ cos a\\
&=2\ cos ^ {2} a-1 &\ tan 2 a&=\ dfrac {2\ tan a} {1-\ tan ^ {2} a}\\
&=1-\ sin ^ {2} a\\
\ sin\ dfrac {a} {2} &=\ pm\ sqrt {\ dfrac {1-\ cos a} {2}} & amp;\ tan\ dfrac {a} {2} &=\ dfrac {1-\ cos a} {\ sin a}\\ cos
\ dfrac {a} {2} &=\ pm\ sqrt {\ dfrac {\ dfrac {1+\ cos a} {2}} & &=\ dfrac {\ sin a} {1+\ cos a}
\ end {alineado}\)

Los signos de\(\sin \dfrac{a}{2}\) y\(\cos \dfrac{a}{2}\) dependen de qué cuadrante\(\dfrac{a}{2}\) se encuentra. Para\(\cos 2a\) y\(\tan \dfrac{a}{2}\) cualquier fórmula se puede utilizar para resolver el valor exacto.

Encontremos el valor exacto de\(\cos \dfrac{\pi}{8}\).

\(\dfrac{\pi}{8}\)es la mitad de\(\dfrac{\pi}{4}\) y en el primer cuadrante.

\(\begin{aligned} \cos \left(\dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{\pi}{4}\right)&=\sqrt{\dfrac{1+\cos \dfrac{\pi}{4}}{2}}\\&=\sqrt{\dfrac{1+\dfrac{\sqrt{2}}{2}}{2}}\\&=\sqrt{\dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{2+\sqrt{2}}{2}} \\&=\dfrac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2}\end{aligned}\)

Ahora, encontremos el valor exacto de\(\sin 2a\) if\(\cos a=−\dfrac{4}{5}\) y\(\dfrac{3 \pi}{2}\leq a<2\pi\).

Para usar la fórmula de doble ángulo sinusoidal, también necesitamos encontrar\(\sin a\), que sería\(\dfrac{3}{5}\) porque a está en el\(4^{th}\) cuadrante.

\(\begin{aligned} \sin 2a&=2\sin a\cos a \\ &=2\cdot \dfrac{3}{5}\cdot −\dfrac{4}{5} \\ &=−\dfrac{24}{25}\end{aligned}\)

Por último, encontremos el valor exacto\(a\) de\(\tan 2a\) for del problema anterior.

Utilizar\(\tan a=\sin a\cos a=\dfrac{\dfrac{3}{5}}{−\dfrac{4}{5}}=−\dfrac{3}{4}\) para resolver para\(\tan 2a\).

\(\tan 2a=\dfrac{2\cdot −\dfrac{3}{4}}{1−\left(−\dfrac{3}{4}\right)^2}=\dfrac{−\dfrac{3}{2}}{\dfrac{7}{16}}=−\dfrac{3}{2}\cdot \dfrac{16}{7}=−\dfrac{24}{7}\)

Ejemplo\(\PageIndex{1}\)

Anteriormente, se le pidió que encontrara el valor de\(\tan \dfrac{ 3 \pi}{8}\) sin calculadora.

Solución

\(\dfrac{ 3 \pi}{8}=\dfrac{1}{2}\cdot \dfrac{3\pi }{4}\)para que podamos usar la fórmula\(\tan \dfrac{a}{2}=\dfrac{\sin a}{1+\cos a }\) para\(a=\dfrac{3\pi }{4}\)

\(\begin{aligned} \tan \dfrac{ 3 \pi}{8}&=\dfrac{\sin \dfrac{3\pi }{4}}{1+\cos \dfrac{3\pi }{4}}\\&=\dfrac{\dfrac{\sqrt{2}}{2}}{1+\dfrac{−\sqrt{2}}{2}} \end{aligned}\)

Si simplificamos esta expresión, obtenemos\(\sqrt{2} +1\).

Ejemplo\(\PageIndex{2}\)

Encuentra el valor exacto de\(\cos \left(−\dfrac{5 \pi}{8}\right)\).

Solución

\(−\dfrac{5 \pi}{8}\)está en el\(3^{rd}\) cuadrante.

\(\begin{aligned} −\dfrac{5 \pi}{8}=\dfrac{1}{2}\left(−\dfrac{5 \pi}{4}\right) &\rightarrow \cos \dfrac{1}{2}\left(−\dfrac{5 \pi}{4}\right)=−\sqrt{\dfrac{1+\cos \left(−\dfrac{5 \pi}{4}\right)}{2}} \\ &=−\dfrac{1−\dfrac{\sqrt{2}}{2}}{2}=\sqrt{\dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{2−\sqrt{2}}{2}}=\dfrac{\sqrt{2−\sqrt{2}}}{2} \end{aligned}\)

Ejemplo\(\PageIndex{3}\)

Dada la función\(\cos a=\dfrac{4}{7}\) y\(0\leq a<\dfrac{\pi}{2}\), encontrar\(\sin 2a\).

Solución

Primero, encuentra\(\sin a\). \(4^2+y^2=7^2 \rightarrow y=\sqrt{33}\), entonces\(\sin a=\dfrac{\sqrt{33}}{7}\)

\(\sin 2a=2\cdot \dfrac{\sqrt{33}}{7} \cdot \dfrac{4}{7}=\dfrac{8\sqrt{33}}{49}\)

Ejemplo\(\PageIndex{4}\)

Dada la función\(\cos a=\dfrac{4}{7}\) y\(0\leq a<\dfrac{\pi}{2}\), encontrar\(\tan \dfrac{a}{2}\).

Solución

Puedes usar cualquiera de las dos\(\tan \dfrac{a}{2}\) fórmulas.

\(\tan \dfrac{a}{2}=\dfrac{1−\dfrac{4}{7}}{\dfrac{\sqrt{33}}{7}}=\dfrac{3}{7} \cdot \dfrac{7}{\sqrt{33}}=\dfrac{3}{\sqrt{33}}=\dfrac{\sqrt{33}}{11}\)

Revisar

Encuentra el valor exacto de los siguientes ángulos.

\(\sin 105^{\circ}\)
\(\tan \dfrac{\pi}{8}\)
\(\cos \dfrac{ 5 \pi}{12}\)
\(\cos 165^{\circ}\)
\(\sin \dfrac{ 3 \pi}{8}\)
\(\tan \left(−\dfrac{ \pi}{12}\right)\)
\(\sin \dfrac{11 \pi}{8}\)
\(\cos \dfrac{19 \pi}{12}\)

El\(\cos a=\dfrac{5}{13}\) y\(\dfrac{3 \pi}{2}\leq a<2\pi \). Encuentra:

\(\sin 2a\)
\(\cos \dfrac{a}{2}\)
\(\tan \dfrac{a}{2}\)
\(\cos 2a\)

El\(\sin a=\dfrac{8}{11}\) y\(\dfrac{\pi }{2} \leq a<\pi \). Encuentra:

\(\tan 2a\)
\(\sin \dfrac{a}{2}\)
\(\cos \dfrac{a}{2}\)
\(\sin 2a\)

Respuestas para problemas de revisión

Para ver las respuestas de Revisar, abra este archivo PDF y busque la sección 14.15.

Recursos adicionales

Elemento interactivo

Práctica: Fórmulas de ángulo doble y medio