1.1.3: Simetría

Simetría

Algunas funciones, como la función seno, la función de valor absoluto y la función de cuadratura, tienen simetría de reflexión a través de la línea x=0. Otras funciones como la función de cubo y la función recíproca tienen simetría rotacional sobre el origen.

¿Por qué el primer grupo se categoriza como funciones pares mientras que el segundo grupo se categoriza como funciones impares?

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Funciones pares e impares

Incluso Funciones

Las funciones simétricas a través de la línea x=0 (el eje y) se llaman pares. Incluso las funciones tienen la propiedad de que cuando un valor negativo es sustituido por x, produce el mismo valor que cuando el valor positivo es sustituido por x En otras palabras, la ecuación f (−x) =f (x) es verdadera para las funciones pares.

Para mostrar que la función f (x) =3x ⁴ −5x ² +1 es par, muestra que f (−x) =f (x).

f (−x) =3 (−x) ⁴ −5 (−x) ² +1

=3x ⁴ −5x ² +1

=f (x)

La propiedad de que tanto los números positivos como los negativos elevados a una potencia par sean siempre positivos es la razón por la que se utiliza el término par. No importa que los coeficientes sean pares o impares, solo los exponentes.

Funciones impares

Las funciones que tienen simetría rotacional sobre el origen se denominan funciones impares. Las funciones impares tienen la propiedad de que cuando se sustituye un valor x negativo en la función, produce una versión negativa de la función evaluada en un valor positivo. En otras palabras, la ecuationf (−x) =−f (x) es verdadera para las funciones impares.

Esta propiedad adquiere cada vez más importancia en problemas y pruebas de Cálculo y más allá, pero por ahora es suficiente identificar funciones que son pares, extrañas o ninguna y mostrar por qué.

Para mostrar que f (x) =4x ³ −x es impar, muestra que f (−x) =−f (x).

f (−x) =4 (−x) ³ −x

=−4x ³ +x

=− (4x ³ +x)

=−f (x)

Al igual que se nombran las funciones pares, las funciones impares se nombran porque los signos negativos no desaparecen y siempre se pueden factorizar a partir de funciones impares.

Las funciones pares e impares describen diferentes tipos de simetría, pero ambas derivan su nombre de las propiedades de los exponentes. Un número negativo elevado a un número par siempre será positivo. Un número negativo elevado a un número impar siempre será negativo.

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Ejemplos

Ejemplo 1

¿Cuáles de las funciones básicas son pares, cuáles son impares y cuáles no?

Solución

Funciones pares: La función de cuadratura y la función de valor absoluto.

Funciones impares: La función de identidad, la función de cubo, la función recíproca, la función sinusoidal.

Ninguno: La función raíz cuadrada, la función exponencial y la función log. La función logística tampoco es ni porque es rotacionalmente simétrica alrededor del punto (0,\(\ 1\over 2\)) en contraposición al origen.

[Figura1]

Ejemplo 2

Supongamos que h (x) es una función par y g (x) es una función impara. f (x) =h (x) +g (x). ¿Es f (x) par o impar?

Solución

Si h (x) es par entonces h (−x) =h (x). Si g (x) es impar entonces g (−x) =−g (x).

Por lo tanto: f (−x) =h (−x) +g (−x) =h (x) −g (x)

Esto no coincide con f (x) =h (x) +g (x) ni concuerda con −f (x) =−h (x) −g (x).

Esta es una prueba que muestra la suma de una función par y una función impar nunca será en sí misma par o impar.

Ejemplo 3

Determina si la siguiente función es par, impar o ninguna.

f (x) =x (x ² −1) (x ⁴ +1)

Identificar si la función es par, impar o ninguna y explicar por qué.

Solución

f (x) =x (x ² −1) (x ⁴ +1)

f (−x) = (−x) ((−x) ² −1) ((−x) ⁴ +1)

=−x (x ² −1) (x ⁴ +1)

=−f (x)

La función es impar porque f (−x) =−f (x) es verdadera.

f (x) =4x ³ −|x|

f (−x) =4 (−x) ³ −x

=−4x ³ −x

Esto no parece coincidir ni con f (x) =4x ³ −|x| ni −f (x) =−4x ³ +|x|. Por lo tanto, esta función no es ni par ni impar.

Nota

Esta función es una diferencia de una función impar y una función par. Esto debería ser una pista de que la función resultante no es ni par ni impar.

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Revisar

Determina si las siguientes funciones son pares, impares o ninguna.

1. f (x) =−4x ² +1

2. g (x) =5x ³ −3x

3. h (x) =2x ² −x

4. j (x) = (x−4) (x−3) ³

5. k (x) =x (x2−1) ²

6. f (x) =2x ³ −5x ² −2x+1

7. g (x) =2x ² −4x+2

8. h (x) =−5x ⁴ +x ² +2

9. Supongamos que h (x) es par y g (x) es impar. Mostrar que f (x) =h (x) −g (x) no es ni par ni impar.

10. Supongamos que h (x) es par y g (x) es impar. Demostrar que\(\ f(x)=\frac{h(x)}{g(x)}\) es extraño.

11. Supongamos que h (x) es par y g (x) es impar. Mostrar que f (x) =h (x) g (x) es impar.

12. ¿La suma de dos funciones pares es siempre una función par? Explique.

13. ¿La suma de dos funciones impares es siempre una función impar? Explique.

14. ¿Por qué algunas funciones no son ni pares ni impares?

15. Si sabes que una función es par o impar, ¿qué te dice eso sobre la simetría de la función?

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Reseña (Respuestas)

Para ver las respuestas de Revisar, abra este archivo PDF y busque la sección 1.6.

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El vocabulario

Término	Definición
Función Incluso	Una función par es una función con una gráfica que es simétrica con respecto al eje y y tiene la propiedad de que f (−x) =f (x).
simetría de reflexión	Una figura tiene simetría de reflexión si se puede reflejar a través de una línea y se ve exactamente igual que antes de la reflexión.
Simetría de rotación	Una figura tiene simetría rotacional si se puede girar menos de 360° alrededor de su punto central y se ve exactamente igual que antes de la rotación.

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Atribuciones de imagen

1. [Figura 1]
   Crédito: Fundación CK-12; Paula Evans; Rob Young
   Fuente: https://www.flickr.com/photos/rob-young/1149735229/; https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Will_%26_Grace_Apartment _Edificio_ (1149735229) .jpg
   Licencia: CC BY-SA; CC BY-NC-SA