¿Cómo se escribe un problema matemático para representar un objeto físico?
El siguiente video, y la primera parte de la lección a partir de entonces, describen diferentes desafíos que involucran modelar una caja creada cortando esquinas de una hoja plana de cartón y luego doblando los lados. En el video, el problema específico es identificar el tamaño del cartón necesario para dar como resultado un volumen dado. En la lección, el reto es identificar el mayor volumen posible a partir de una hoja de cartón de tamaño determinado.
¿Cómo modelarías matemáticamente un divisor para dividir el volumen de la caja descrita en la lección en múltiples espacios?
Modelos Cúbico
Las funciones cúbicas y las funciones por partes se pueden usar para modelar situaciones del mundo real, lo que le permite identificar los bits de información que faltan que pueda necesitar para completar un proyecto. Las funciones cúbicas se utilizan comúnmente para modelar objetos tridimensionales para permitirle identificar una cota faltante o explorar el resultado de cambios en una o más cotas.
Las funciones por partes se pueden usar para modelar las interacciones de múltiples elementos, cada uno previamente modelado por una función más simple.
Ejemplos
Ejemplo 1
Solución
Anteriormente, se le pidió que creara un modelo diferente que describiera la caja de cartón.
Hay una serie de posibilidades diferentes, por ejemplo:
En el caso de la caja en el video anterior:\(\ t(v)=v / h\) podría usarse para describir el área de la parte superior de la caja en función del volumen.
En el caso del cuadro en el texto de la lección: d (x) = (12−x) x o d (x) = (8−x) x podrían usarse para encontrar el área de un divisor recorriendo el camino largo o ancho a través de la caja en función de la longitud de un lado de los recortes de esquina cuadrada.
Ejemplo 2
Considera una situación en la que una pieza rectangular de cartón se pliega en una caja. El plegado es posible cortando cuadrados de las cuatro esquinas del cartón.
Calcula el volumen máximo posible de una caja hecha a partir de una hoja de cartón de 12" x 8".
La función\(\ v(x)=(12-2 x)(8-2 x) x\) podría ser utilizada para representar el volumen de la caja en función de x, la longitud lateral de los cuadrados recortados de las esquinas. Si multiplicamos los factores de esta función podemos verificar que se trata de una función cúbica:
Esta función podría ser utilizada para encontrar el máximo volumen posible de la caja. También podemos analizar la gráfica para entender cómo cambia el volumen en función de x.
Al analizar la función para determinar el volumen máximo de la caja, solo miramos la porción de la gráfica que parece “parabólica”. Esto se debe a que la función deja de modelar la situación si x es más de 4. Si cortamos cuadrados {4x4}, cortaríamos todo el lado corto del rectángulo de cartón, y no podríamos hacer una caja. Centrándonos luego en el intervalo (0, 4) podemos ver que el volumen de la caja aumenta, y luego disminuye.
Si estamos usando una calculadora gráfica y queremos conocer el volumen de una caja con dimensiones particulares, podemos trazar en la gráfica, ingresar valores en la tabla, o aprovechar que la gráfica esté en modo de rastreo. Es decir, si presiona GRAPH para ver la gráfica, y luego presiona TRACE, puede ingresar valores x. Por ejemplo, di que querías cortar cuadrados de 2.5 de longitud lateral. Presione TRACE, luego presione 2.5 y luego presione ENTRAR. En la parte inferior de la pantalla verás x = 2.5 e y = 52.5. Esto te dice que el volumen de la caja será de 52.5in 3.
Ejemplo 3
Usando la información dada en el Ejemplo 2 anterior, calcule el tamaño de las esquinas cuadradas a recortar para dar como resultado específicamente un volumen de 50 en 3.
Solución
Una forma de determinar el valor de x es graficar la función constante y = 50, y encontrar el punto donde la función de volumen se cruza con y = 50. Presione Y= e ingrese 50 en Y2. Ahora presione GRAPADO. Debería ver la línea horizontal y = 50 intersecando la función de volumen en varios lugares. Nos interesan los dos puntos de intersección en el intervalo (0, 4).
Para encontrar una buena aproximación de un punto de intersección, trazar cerca de uno de los dos puntos. Si trazas cerca del primer punto, verás que está alrededor de x = 0.8. Ahora presione 2 nd, CALC, y elija la opción 5, INTERSECT. La calculadora te enviará de vuelta a la pantalla gráfica, y te pedirá que elijas la primera curva. (La calculadora hace esto en caso de que tenga más de dos funciones gráficas al mismo tiempo). Deberías ver la ecuación cúbica en la parte superior de la pantalla. Presiona ENTRAR, y la calculadora te pedirá la segunda curva. Deberías ver y = 50 en la parte superior de la pantalla. Presione ENTRAR y luego ingrese una conjetura. (Si ya ha rastreado cerca de un punto de intersección, y solo tiene dos funciones gráficas, simplemente puede presionar ENTRAR tres veces). Ahora deberías ver las coordenadas del punto de intersección en la parte inferior de la pantalla: x es aproximadamente 0.723. (Puede utilizar el mismo proceso para estimar el otro punto de intersección.)
Una función cúbica se puede utilizar para modelar situaciones que involucran volumen, pero también se puede usar para modelar situaciones que siguen patrones de crecimiento particulares.
Ejemplo 4
Las funciones por partes se pueden usar para describir situaciones en las que las relaciones cuantitativas son diferentes en diferentes intervalos dentro del dominio de la función. Por ejemplo, considere una situación en la que un proveedor de servicios inalámbricos ofrece a los clientes un plan mensual que cuesta $50, pero luego cobra $0.40 centavos por minuto por cada minuto más de 1000 minutos diurnos incluidos.
Solución
Modele el costo mensual, C, del plan en función de m, el número de minutos diurnos que utiliza:
\ (\ C (m) =\ left\ {\ begin {array} {ll}
50, & m\ leq 1000\\
50+0.40 (m-1000), & m>1000
\ end {array}\ right.\)
Esta función está compuesta por una función constante, y una función lineal con pendiente 0.40. Si en un mes determinado usas 1000 minutos o menos, tu costo mensual es de $50 constantes. Si usas más de 1000, cada minuto adicional influye en el valor de C. Por ejemplo, si usas 1,020 minutos, tu costo es de:
C (1020) = 50 + 0.40 (1020 - 1000)
= 50 + 0.4 (20)
= 50 + 8
= $58.00
Es importante señalar que en este tipo de situaciones, el tiempo empleado puede redondearse al minuto más cercano. Entonces, por ejemplo, si usas 20.5 minutos, se te cobrará 21 minutos. Este es un ejemplo de una función no continua, o discontinua, donde hay pasos definidos de valor a valor en lugar de una línea suave que conecta todos los valores posibles.
Ejemplo 5
Las ganancias para un negocio se pueden determinar restando los costos de los ingresos. Supongamos que los ingresos de un negocio son modelados por la función R (x) =5x−0.01x 2, y los costos de fabricación del producto son modelados por C (x) =100+2x, donde x es el número de unidades del producto.
Escribir una función P (x) para modelar las ganancias de la empresa.
Gráfica P (x) y determina el beneficio máximo.
Solución
P (x) = R (x) - C (x) = -0.01 x2 + 3 x - 100
[Figura1]
El beneficio máximo es de 125 (¡generalmente en miles, u otra unidad más grande!)
Ejemplo 6
Expresa la siguiente situación como composición de funciones: Estás dirigiendo una pequeña empresa haciendo joyeros de madera. Te cuesta $5.00 por unidad producir cajas de madera, más una inversión inicial de $300 en otros materiales. Luego te cuesta $2.00 adicionales por caja para decorar las cajas.
Solución
Función de costo inicial: C 1 (x) = 5 x + 300
Segunda función de costo C 2 (x) = 2 x
Composición: C (x) = C 1 (C 2 (x)) = 5 (2 x) + 300 = 10 x + 300
Revisar
Una caja se va a hacer cortando cuadrados de las esquinas de una pieza rectangular de cartón. Las dimensiones del cartón son de n pulgadas por m pulgadas. Supongamos que n > m. a. Escriba un modelo para el volumen de la caja. b. ¿Cuál es el cuadrado más grande que se puede cortar de las esquinas del cartón?
Supongamos que te dijeron que podrías usar una sola hoja de papel para notas en tu final de matemáticas. El instructor dice que puedes usar cualquier hoja que te guste, pero la forma debe ser un cuadrilátero y el perímetro no puede superar los 45in. a) ¿Qué dimensiones debes usar para proporcionar el mayor área para tus notas? b) ¿Cómo ayuda una calculadora gráfica a simplificar esta pregunta?
¿Es\(\ f(x)=-3^{4 x}\) una función de potencia?
¿Es\(\ f(x)=\sqrt[3]{8 x^{5}}\) una función de potencia?
¿Es\(\ g(x)=7 \cdot 2^{x}\) una función de potencia? Si no, ¿por qué no?
¿Es\(\ h(x)=2 x^{-5}\) una función de potencia? Si no, ¿por qué no?
El volumen v de una esfera varía directamente como el cubo del radio r. Cuando el radio de una esfera es de 6 cm, el volumen es de 904.779cm 3. ¿Cuál es el radio de una esfera cuyo volumen es 268.083cm 3?
La fuerza de gravedad (F) que actúa sobre un objeto es inversamente proporcional al cuadrado de la distancia d desde el objeto hasta el centro de la tierra. Escribe una ecuación que modele esta situación.
Sue y Betty recopilaron los datos en la siguiente tabla usando una bombilla de 100 vatios y un Laboratorio Basado en Calculadora (CBL) con una sonda de intensidad de luz.
Datos de intensidad de luz para una bombilla de 100w
Distancia (m)
Intensidad (W/m 2)
1.0
7.95
1.5
3.53
2.0
2.01
2.5
1.27
3.0
0.90
Usa tu calculadora para encontrar el modelo de regresión de potencia de los datos.
Describir la relación entre la intensidad y la distancia modelada con la ecuación en Q #9
Utilice el modelo de regresión de Q #9 para predecir la intensidad de un objeto a 2.75 metros de distancia.
Número de nacimientos de mujeres en Estados Unidos menores de 15 años para los años 1990 - 2005
Año
% de cambio anual del IPC
Año
% de cambio anual del IPC
Año
% de cambio anual del IPC
1990
5.4
1996
3.0
2002
1.6
1991
4.2
1997
2.3
2003
2.3
1992
3.0
1998
1.6
2004
2.7
1993
3.0
1999
2.2
2005
3.4
1994
2.6
2000
3.4
1995
2.8
2001
2.8
Encuentra la función cúbica que modela los datos, donde (y) es el número de miles de nacimientos y (x) es el número de años a partir de 1970.
Utilizar la función para estimar el número de tales nacimientos ocurridos en 2005.
¿Cuándo sabemos que este modelo ya no es válido?
Reseña (Respuestas)
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vocabulario
Término
Definición
Modelo Cúbico
Un modelo cúbico es una función matemática que incluye un término x 3, utilizado para describir una situación del mundo real, como el volumen de un objeto tridimensional.
Modelo
Un modelo es una expresión o función matemática utilizada para describir un elemento o situación física.
funciones por piezas
Una función por partes es una función que junta dos o más partes de otras funciones para crear una nueva función.
[Figura1]