7.2.1: Sumas Parciales

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Sumas Parciales

En el siglo XVIII, el matemático Leonhard Euler resolvió uno de los problemas de series infinitas más importantes de su época al examinar la serie\(\ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{2}{n(n+1)}\).

Encuentra las primeras cinco sumas parciales de esta serie y haz una observación sobre la suma de la serie infinita.

Fuente: Plus Magazine

Sumas Parciales

Una serie infinita es una serie con un número infinito de términos. Es decir, el valor de los\(\ n\) aumentos sin encuadernación como se muestra en la serie siguiente.

\ (\\ comenzar {alineado}
\ suma_ {n=1} ^ {\ infty} 3 n+1 &=4+7+10+13+\ ldots\
\\ sum_ {n=1} ^ {\ infty} 4 (2) ^ {n-1} &=4+8+16+32+\ ldots\
\ suma_ {n=1} ^ {\ infty} 8\ izquierda (\ frac {1} {2}\ derecha) ^ {n-1} &=8+4+2+1+\ frac {1} {2} +\ ldots
\ end {alineado}\)

Estas sumas continúan para siempre y pueden aumentar sin ataduras.

Como no podemos encontrar las sumas de estas series sumando todos los términos, podemos analizar su comportamiento observando patrones dentro de sus sumas parciales. Una suma parcial es la suma de un número finito de términos en la serie. Podemos mirar una serie de estas sumas para observar el comportamiento de la suma infinita. Cada una de estas sumas parciales se denota por\(\ S_{n}\) donde\(\ n\) denota el índice del último término en la suma. Por ejemplo,\(\ S_{6}\) es la suma de los primeros 6 términos en una serie infinita.

Encontremos las primeras cinco sumas parciales de\(\ \sum_{n=1}^{\infty} 2 n-1\) y hagamos una observación sobre la suma de la serie infinita.

Las primeras cinco sumas parciales son\(\ S_{1}, S_{2}, S_{3}, S_{4}\) y\(\ S_{5}\). Para encontrar cada una de estas sumas necesitaremos los cinco primeros términos de la secuencia: 1, 3, 5, 7, 9. No podemos encontrar las sumas parciales como se muestra:

\ (\\ begin {array} {l}
S_ {1} =a_ {1} =1\\
S_ {2} =a_ {1} +a_ {2} =1+3=4\\
S_ {3} =a_ {1} +a_ {2} +a_ {3} =1+3+5=9\\
S_ {4} =a_ {1} +a_ {2} +a_ {3} +a_ {4} =1+3+5+7=16\\
S_ {5} =a_ {1} +a_ {2} +a_ {3} +a_ {4} +a_ {5} =1+3+5+7+9=25
\ end {array}\)

Observe que cada suma también se puede encontrar sumando el n ^º término a la suma anterior:\(\ S_{n}=S_{n-1}+a_{n}\).

Por ejemplo:\(\ S_{5}=S_{4}+a_{4}=16+9=25\)

La secuencia de las cinco primeras sumas parciales es de 1, 4, 9, 16, 25. Este patrón continuará y los términos seguirán creciendo sin ataduras. En otras palabras, las sumas parciales siguen creciendo y la suma infinita no se puede determinar ya que es infinitamente grande.

Ahora, encontremos las primeras cinco sumas parciales de\(\ \sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{1}{2}\right)^{n-1}\) y hagamos una observación sobre la suma de la serie infinita.

Los primeros cinco términos de esta secuencia son:\(\ 1, \frac{1}{2}, \frac{1}{4}, \frac{1}{8}, \frac{1}{16}\). Las sumas parciales son así:

\ (\\ begin {array} {l}
S_ {1} =1\\
S_ {2} =1.5\\
S_ {3} =1.75\\
S_ {4} =1.875\\
S_ {5} =1.9375
\ end {array}\)

Considera lo que sucede con cada término posterior: Empezamos con 1 y agregamos\(\ \frac{1}{2}\) poniéndonos a mitad de camino entre 1 y 2. Después agregamos\(\ \frac{1}{4}\), poniéndonos a mitad de camino entre 1.5 y 2. Cada vez que agregamos otro término, estamos recortando la distancia entre nuestra suma actual y 2 a la mitad. Si se continúa este patrón, nos acercaremos cada vez más a 2 pero nunca llegaremos a dos. Por lo tanto, se dice que la suma “converge a” o “se aproxima” 2.

Para apoyar aún más nuestra conjetura, podemos usar la calculadora para encontrar la 50 ^a suma parcial:\(\ S_{50}=2\). Eventualmente, si sumamos suficientes términos, la calculadora nos dará el valor al que se acerca la suma debido al redondeo.

Por último, encontremos las primeras cinco sumas parciales de\(\ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}\), la “serie armónica” y hagamos una observación sobre la suma de la serie infinita. (Es posible que necesite encontrar sumas parciales de suma para ver el comportamiento de la serie infinita).

Usa la calculadora para encontrar las siguientes sumas:

\ (\\ begin {array} {l}
S_ {1} =\ nombreoperador {suma} (\ nombreoperador {seq} (1/x, x, 1,1)) =1\\
S_ {2} =\ nombreoperador {suma} (\ nombreoperador {seq} (1/x, x, 1,2)) =1.5\\
S_ {3} =\ nombreoperador {suma} (\ nombreoperador {seq} (1/x, x, 1,3)) =1.833\\
S_ {4} =\ nombreoperador {suma} (\ nombreoperador {seq} (1/x, x, 1,4)) =2.083\\
S_ {5} =\ nombreoperador {suma} (\ nombreoperador {seq} (1/x, x, 1,5)) =2.283
\ fin {array}\)

En esta serie, el comportamiento no es tan claro. Considere algunas sumas parciales adicionales:

\ (\\ comenzar {alineado}
S_ {50} &=4.499\\
S_ {100} &=5.187\\
S_ {500} &=6.793
\ end {alineado}\)

En este caso, las sumas parciales no parecen tener un límite. Seguirán creciendo y por lo tanto no hay suma finita.

Ejemplos

Ejemplo 1

Anteriormente, se le pidió encontrar las primeras cinco sumas parciales de la serie\(\ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{2}{n(n+1)}\), y hacer una observación sobre la suma de la serie infinita.

Solución

Los primeros cinco términos de esta secuencia son:\(\ 1, \frac{1}{3}, \frac{1}{6}, \frac{1}{10}, \frac{1}{15}\). Las sumas parciales son así:

\ (\\ begin {array} {l}
S_ {1} =1\\
S_ {2} =1.333\\
S_ {3} =1.5\\
S_ {4} =1.6\\
S_ {5} =1.6666
\ end {array}\)

Si se continúa este patrón, nos acercaremos cada vez más a 2 pero nunca llegaremos a dos. Por lo tanto, se dice que la suma “converge a” o “se aproxima” 2.

Encuentra las primeras cinco sumas parciales de la serie infinita a continuación y sumas parciales adicionales si es necesario para determinar el comportamiento de la serie infinita. Usa la calculadora para encontrar las sumas parciales.

Ejemplo 2

\(\ \sum_{n=1}^{\infty} 4\left(\frac{3}{2}\right)^{n-1}\)

Solución

S ₁ =4; S ₂ =10; S ₃ =19; S ₄ =32.5; S ₅ =52.75; Las sumas parciales van creciendo con velocidad creciente y así las series infinitas no tendrán límite.

Ejemplo 3

\(\ \sum_{n=1}^{\infty} 500\left(\frac{2}{3}\right)^{n-1}\)

Solución

S ₁ =500; S ₂ =833.333; S ₃ =1055.556; S ₄ =1203.704; S ₅ =1302.469; Aquí las sumas parecen estar creciendo en cantidades menores cada vez. Fíjese en la suma sumas parciales adicionales para ver si existe un límite superior aparente para su crecimiento.

S ₅₀ =1499.9999... =1500; S ₁₀₀ =1500. La suma se acerca claramente a 1500 y así la serie infinita tiene una suma finita.

Ejemplo 4

\(\ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{5}{6 n}\)

Solución

S ₁ =0.833; S ₂ =1.25; S ₃ =1.528; S ₄ =1.736; S ₅ =1.903; Esta secuencia de sumas parciales está creciendo lentamente, pero ¿se acercará a un valor finito o continuará creciendo? Observe las sumas parciales adicionales: S ₅₀ =3.749; S ₁₀₀ =4.323; S ₅₀₀ =5.661. En este caso, las sumas siguen creciendo sin ataduras por lo que la serie infinita no tendrá ningún límite.

Revisar

Encuentra las primeras cinco sumas parciales y sumas parciales adicionales según sea necesario para discutir el comportamiento de cada serie infinita. Usa tu calculadora para encontrar las sumas parciales.

\(\ \sum_{n=1}^{\infty} 5\left(\frac{1}{2}\right)^{n-1}\)
\(\ \sum_{n=1}^{\infty} 2\left(\frac{3}{4}\right)^{n-1}\)
\(\ \sum_{n=1}^{\infty} 10(0.9)^{n-1}\)
\(\ \sum_{n=1}^{\infty} 8(1.03)^{n-1}\)
\(\ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2} n\)
\(\ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{10}{n}\)
\(\ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2}\left(\frac{3}{4}\right)^{n-1}\)
\(\ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{2}}\)
\(\ \sum_{n=1}^{\infty} 6(0.1)^{n-1}\)
\(\ \sum_{n=1}^{\infty} 0.01 n+5\)
\(\ \sum_{n=1}^{\infty} 2\left(\frac{7}{8}\right)^{n-1}\)
¿Cuáles de las series anteriores son aritméticas? ¿Alguno de ellos tiene una suma finita? ¿Puedes explicar por qué?
¿Cuáles de las series anteriores son geométricas? ¿Alguno de ellos tiene una suma finita? ¿Puedes explicar por qué?
¿Cuál es la diferencia entre las series que convergen y divergen?
Haz una conjetura sobre la serie convergente en este conjunto de problemas.

Respuestas para problemas de revisión

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