7.2.3: Resolución de problemas con sumas en serie

Última actualización
Guardar como PDF

Page ID: 108809

\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)\(\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}\)

Resolución de problemas con sumas en serie

Katrina acaba de comenzar su nuevo trabajo la semana pasada. Ella está ganando 60 dólares diarios, y ahorrando 10%. Su cuenta de ahorros se ha ido acumulando lentamente en 6 dólares diarios, y actualmente tiene 73 dólares en ella.

¿Cuánto dinero tendrá después de trabajar otros 15 días? ¿Cuánto después de otros 27 días?

Resolución de problemas con sumas en serie

En la lección anterior, discutimos la fórmula de Gauss para encontrar el total de los números en una serie. En esta lección, continuamos practicando eso, y también haciendo uso de la versión modificada de la fórmula de Gauss que se ve comúnmente en otros textos:

La suma de los primeros n términos en una serie aritmética es\(\ S_{n}=\frac{n\left(a_{1}+a_{n}\right)}{2}\).

Ejemplos

Ejemplo 1

Encuentra la suma de los primeros 50 términos de una serie aritmética si el primer término es 5 y la diferencia común es 3.

Solución

\(\ S_{50}=\frac{50\left(a_{1}+a_{n}\right)}{2}\)... Sustituir el número aplicable de términos en la secuencia

\(\ \frac{50(5+(5+49 \times 3))}{2}\)... Sustituir los valores por los términos primero y 50

\(\ \frac{50(157)}{2}=(25)(127)\)... Simplificar

3,175

¡Este método es claramente mucho más fácil que escribir y sumar 50 números!

Ejemplo 2

Encuentra la suma de los primeros 40 términos de una serie aritmética en la que el primer término es 8 y la diferencia común es 5.

Solución

Usa la fórmula\(\ S_{n}=\frac{n\left(a_{1}+a_{n}\right)}{2}\)

\(\ S_{40}=\frac{40(8+39 \cdot 5)}{2}\)... Sustituto en el número de términos, y el valor del primer y último término

\(\ S_{40}=\frac{40(8+195)}{2}\)... Simplificar

\(\ S_{40}=\frac{8120}{2}\)... Simplificar

\(\ S_{40}=4060\)

Ejemplo 3

Considera la serie:\(\ -13+-3+7+17+27+\ldots\)

Solución

¿Cuál es el ^término 25?
Se trata de una serie aritmética donde cada término sucesivo es 10 más que el último.

−13+24 (10) =227
¿Cuál es la suma de los primeros 25 términos?
Usa la fórmula\(\ S_{n}=\frac{n\left(a_{1}+a_{n}\right)}{2}\).

Esta es la suma de los primeros 25 términos de una serie aritmética con una diferencia común de 10

\(\ S_{25}=\frac{25(-13+227)}{2}\)... Sustituto en el número de términos, y el valor del primer y último término

\(\ S_{25}=\frac{25 \cdot 214}{2}\)... Simplificar

\(\ S_{25}=\frac{5350}{2}\)... Simplificar

\(\ S_{25}=2675\)

Ejemplo 4

Un alumno necesitaba encontrar la suma de los primeros 10 términos de la serie 4 + 12 + 36 +... y así escribió lo siguiente:

Solución

\(\ S_{10}=\frac{10\left(4+4 \times 3^{9}\right)}{2}=\frac{10(78,736)}{2}=393,680\)

¿Estás de acuerdo con el trabajo del alumno? Explique.

Debido a que la serie es geométrica, esta fórmula no es apropiada. El trabajo aquí no representa la suma de los primeros 10 términos. Usando una calculadora gráfica, puedes encontrar que la suma es 118,096.

Ejemplo 5

Dada una secuencia aritmética\(\ \left(a_{n}\right)\) determinada por\(\ a_{1}=143\) y\(\ d=-3\):

¿Cuál es el número 220 de la secuencia?

Solución

Encontramos la solución utilizando la siguiente fórmula:\(\ a_{n}=a+(n-1) d\).

\ (\\ begin {array} {l}
a_ {220} =a_ {1} +219 d\\
=143+219 (-3)\\
=-514
\ end {array}\)

Ejemplo 6

¿Cómo encontramos la suma de los primeros 220 números de la secuencia, dada la misma información que en el Ejemplo 5 anterior?

Solución

Utilizamos la siguiente fórmula:\(\ s_{n}=\frac{a_{1}+a_{n}}{2}(n)\). Nos fijamos\(\ n=220\).

Para encontrar la suma de los primeros 220 números:

\ (\\ begin {array} {l}
s_ {220} =\ frac {a_ {1} +a_ {220}} {2} (220)\\
s_ {220} =\ frac {143+ (-514)} {2} (220)\\
s_ {2 20} =\ frac {-371} {2}\ cdot 220
\ end {array}\)

La suma de los primeros 220 números de la secuencia es −40,810.

Revisar

Utilice la fórmula aritmética de series para resolver los siguientes problemas:

Dada la serie aritmética de números: 1, 4, 7, 10, 13... a) Encuentra el número 200 en la secuencia b) encuentra la suma de los primeros 200 números.
La suma de los cinco primeros números de una secuencia aritmética es -45. ¿Cuál es el valor del tercer número? (pista: encontrar\(\ a_{3}\) si\(\ s_{5}=-45\))
Tiene una serie aritmética de números definidos por:\(\ a_{1}=45\) y\(\ d=-5\) a) Determinar\(\ a_{150}\) b) Identificar la suma de:\(\ a_{1}+a_{2}+\ldots+a_{150}\)
La suma de los tres primeros números en una secuencia aritmética es 219. La suma de los primeros nueve números de la misma secuencia es 603. Cuál es el número 143 de la secuencia.
Los primeros ocho números de una secuencia aritmética suman 604. Los siguientes ocho números sumaron igual a 156. Encuentra el primer número y la diferencia común en la secuencia.
El primer número en una secuencia aritmética es 80. Encuentra la diferencia común si también sabemos que\(\ S_{9}\) es dieciocho veces\(\ a_{11}\)
Si\(\ a_{n}\) es una secuencia aritmética con\(\ a_{1}=1\). Encuentra el segundo número si sabemos que la suma de los cinco primeros números es un cuarto de la suma de los siguientes cinco números.
Dado\(\ \left(a_{n}\right)=78,75,72,69\)... Encuentra\(\ a_{150}\) y\(\ s_{150}\)
Dentro de una secuencia de números existen las siguientes condiciones:\(\ a_{50}=252\) y\(\ s_{50}=2800\). ¿Cuál es el primer número de la serie y cuál es la diferencia común?
¿Cuáles son los valores de\(\ a\) y\(\ d\), dado que\(\ \left(a_{n}\right)\) es una serie aritmética de números, si sabemos:\(\ a_{15}=62\) y\(\ s_{20}=700\)?
Dada la secuencia:\(\ a_{1}=-16\) y\(\ d=\frac{1}{3}\). Encuentra los valores de n, para que\(\ s_{n}=50\)
Si\(\ a_{1}=8\) y\(\ d=-3\). ¿Cuáles son los valores de\(\ a_{20}\) y\(\ s_{20}\)?
Si\(\ a_{34}=193\) y\(\ s_{17}=306\), encontrar\(\ a\) y\(\ d\).

Reseña (Respuestas)

Para ver las respuestas de Revisar, abra este archivo PDF y busque la sección 7.5.

El vocabulario

Término	Definición
series aritméticas	Una serie aritmética es la suma de una secuencia aritmética, una secuencia con una diferencia común entre cada dos términos consecutivos.
diferencia común	Cada secuencia aritmética tiene una diferencia común o constante entre términos consecutivos. Por ejemplo: En la secuencia 5, 8, 11, 14..., la diferencia común es “3".
serie infinita	Una serie infinita es la suma de los términos en una secuencia que tiene un número infinito de términos.
Inducción matemática	La inducción matemática es un método de prueba matemática que se usa típicamente para establecer que una declaración dada es verdadera para todos los enteros positivos.
suma parcial	Una suma parcial es la suma de los primeros términos “n” en una serie infinita, donde “n” es algún entero positivo.