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8.1.4: Límites de Funciones Polinómicas

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    Racionalización para encontrar límites

    Algunos límites no pueden ser evaluados directamente por sustitución y ningún factor se cancela inmediatamente. En estas situaciones existe otra técnica algebraica para probar llamada racionalización. Con la racionalización, se hace racional el numerador y el denominador de una expresión utilizando las propiedades de los pares conjugados.

    ¿Cómo se evalúa el siguiente límite utilizando la racionalización?

    \(\ \lim _{x \rightarrow 16} \frac{\sqrt{x}-4}{x-16}\)


    Uso de la racionalización para encontrar límites

    La racionalización generalmente significa multiplicar una función racional por una forma inteligente de una para eliminar símbolos radicales o números imaginarios en el denominador. La racionalización es también una técnica utilizada para evaluar límites con el fin de evitar tener un cero en el denominador cuando se sustituye.

    Tod hacer esto, vas a utilizar las propiedades de los conjugados.

    Los conjugados se pueden utilizar para simplificar expresiones con un radical en el denominador:

    \(\ \frac{5}{1+\sqrt{3}}=\frac{5}{(1+\sqrt{3})} \cdot \frac{(1-\sqrt{3})}{(1-\sqrt{3})}=\frac{5-5 \sqrt{3}}{1-3}=\frac{5-5 \sqrt{3}}{-2}\)

    Los conjugados se pueden utilizar para simplificar números complejos con\(\ i\) en el denominador:

    \(\ \frac{4}{2+3 i}=\frac{4}{(2+3 i)} \cdot \frac{(2-3 i)}{(2-3 i)}=\frac{8-12 i}{4+9}=\frac{8-12 i}{13}\)

    Aquí, se pueden utilizar para transformar una expresión en un problema límite que no factoriza inmediatamente a uno que factoriza inmediatamente.

    \(\ \lim _{x \rightarrow 16} \frac{(\sqrt{x}-4)}{(x-16)} \cdot \frac{(\sqrt{x}+4)}{(\sqrt{x}+4)}=\lim _{x \rightarrow 16} \frac{(x-16)}{(x-16)(\sqrt{x}+4)}\)

    Ahora puedes cancelar los factores comunes en el numerador y denominador y usar la sustitución para terminar de evaluar el límite.

    La técnica de racionalización funciona porque cuando se manipula algebraicamente la expresión en el límite a una expresión equivalente, el límite resultante será el mismo. A veces se debe hacer una variedad de diferentes manipulaciones algebraicas para evitar un cero en el denominador al usar el método de sustitución.


    Ejemplos

    Ejemplo 1

    Para evaluar el límite de la siguiente expresión racional, es necesario multiplicar por una forma inteligente de 1 para que al sustituir ya no haya un factor cero en el denominador.

    \(\ \lim _{x \rightarrow 16} \frac{\sqrt{x}-4}{x-16}\)

    Solución

    \ (\\ comenzar {alineado}
    \ lim _ {x\ fila derecha 16}\ frac {\ sqrt {x} -4} {x-16} &=\ lim _ {x\ fila derecha 16}\ frac {(\ sqrt {x} -4)} {(x-16)}\ cdot\ frac {(\ sqrt {x} +4)} {(\ sqrt {x} +4)} {(\ sqrt {x} +4))}\\
    &=\ lim _ {x\ fila derecha 16}\ frac {(x-16)} {(x-16) (\ sqrt {x} +4)}\\
    &=\ lim _ {x\ fila derecha 16} (\ sqrt {x} +4)\\
    &=4+4\\
    &=8
    \ end {alineado}\)

    Ejemplo 2

    Evalúe el siguiente límite:\(\ \lim _{x \rightarrow 3} \frac{x^{2}-9}{\sqrt{x}-\sqrt{3}}\).

    Solución

    \ (\\ comenzar {alineado}
    \ lim _ {x\ fila derecha 3}\ frac {(x-3) (x+3)} {(\ sqrt {x} -\ sqrt {3})}\ cdot\ frac {(\ sqrt {x} +\ sqrt {3})} {(\ sqrt {x} +\ sqrt {3})} &=\ lim {x\ fila derecha 3}\ frac {(x-3) (x+3) (\ sqrt {x} +\ sqrt {3})} {(x-3)}\\
    &=\ lim _ {x\ fila derecha 3} (x+3) (\ sqrt {x} +\ sqrt {3})\\
    &=6\ cdot 2\ sqrt {3}\\
    &=12\ sqrt {3}
    \ end {alineado}\)

    Ejemplo 3

    Evalúe el siguiente límite:\(\ \lim _{x \rightarrow 7} \frac{\sqrt{x+2}-3}{x-7}\).

    Solución

    \ (\\ comenzar {alineado}
    \ lim _ {x\ fila derecha 7}\ frac {\ sqrt {x+2} -3} {x-7} &=\ lim _ {x\ fila derecha 7}\ frac {(\ sqrt {x+2} -3)} {(x-7)}\ cdot\ frac {(\ sqrt {x+2} +3)} {(\ sqrt {x+2} +3)}\\
    &=\ lim _ {x\ fila derecha 7}\ frac {(x+2-9)} {(x-7)\ cdot (\ sqrt {x+2} +3)}\\
    &=\ lim _ {x\ fila derecha 7}\ frac {(x-7)} {(x-7)\ cdot (\ sqrt {x+2} +3)}\\
    &=\ lim _ {x\ fila derecha 7}\ frac {1} {(\ sqrt {x+2} +3)}\\
    &=\ frac {1} {\ sqrt {7+2} +3}\\
    &=\ frac {1} {6}
    \ final {alineado}\)

    Ejemplo 4

    Evalúe el siguiente límite:\(\ \lim _{x \rightarrow 0} \frac{(2+x)^{-1}-2^{-1}}{x}\).

    Solución

    \ (\\ comenzar {alineado}
    \ lim _ {x\ fila derecha 0}\ frac {(2+x) ^ {-1} -2^ {-1}} {x} &=\ lim _ {x\ fila derecha 0}\ frac {\ frac {1} {x+2} -\ frac {1} {2}} {x}\ cdot\ frac {(x+2)\ punto 2} {(x+2)\ cdot 2}\\
    &=\ lim _ {x\ fila derecha 0}\ frac {2- (x+2)} {2 x (x+2)} {2 x (x+2)}\\
    &=\ lim _ {x\ fila derecha 0 }\ frac {-x} {2 x (x+2)}\\
    &=\ lim _ {x\ fila derecha 0}\ frac {-1} {2 (x+2)}\\
    &=-\ frac {1} {2 (0+2)}\\
    &=-\ frac {1} {4}
    \ final {alineado}\)

    Ejemplo 5

    Evalúe el siguiente límite:\(\ \lim _{x \rightarrow 0}\left(\frac{3}{x \sqrt{9-x}}-\frac{1}{x}\right)\)

    Solución

    \ (\\ comenzar {alineado}
    \ lim _ {x\ fila derecha 0}\ izquierda (\ frac {3} {x\ sqrt {9-x}} -\ frac {1} {x}\ derecha) &=\ lim _ {x\ fila derecha 0}\ izquierda (\ frac {3} {x\ sqrt {9-x}} -\ frac {\ sqrt {9-x}} {x\ sqrt {9-x}}\ derecha)\\
    &=\ lim _ {x\ fila derecha 0}\ izquierda (\ frac {3-\ sqrt {9-x}} {x\ sqrt {9-x}}\ derecha)\\
    &=\ lim _ {x\ fila derecha 0}\ izquierda (\ frac {(3-\ sqrt {9-x})} {x\ sqrt {9-x}}\ cdot\ frac {(3+\ sqrt {9-x})} {(3+\ sqrt {9-x})}\ derecha)\\
    &=\ lim _ {x\ fila derecha 0}\ izquierda (\ frac {9- (9-x)} {x\ sqrt {9-x}}\ derecha)\\
    &=\ lim _ {x\ fila derecha 0}\ frac {x} {x\ sqrt {9-x}}\\
    &=\ lim _ {x\ fila derecha 0}\ frac {1} {\ sqrt {9-x}}\\
    &=\ frac {1} {\ sqrt {9-0}}\\
    &=\ frac {1} {3}
    \ end {alineado}\)


    Revisar

    Evalúe los siguientes límites:

    1. \(\ \lim _{x \rightarrow 9} \frac{\sqrt{x}-3}{x-9}\)
    2. \(\ \lim _{x \rightarrow 4} \frac{\sqrt{x}-2}{x-4}\)
    3. \(\ \lim _{x \rightarrow 1} \frac{\sqrt{x+3}-2}{x-1}\)
    4. \(\ \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sqrt{x+3}-\sqrt{3}}{x}\)
    5. \(\ \lim _{x \rightarrow 4} \frac{\sqrt{3 x+4}-x}{4-x}\)
    6. \(\ \lim _{x \rightarrow 0} \frac{2-\sqrt{x+4}}{x}\)
    7. \(\ \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sqrt{x+7}-\sqrt{7}}{x}\)
    8. \(\ \lim _{x \rightarrow 16} \frac{16-x}{4-\sqrt{x}}\)
    9. \(\ \lim _{x \rightarrow 0} \frac{x^{2}}{\sqrt{x^{2}+12}-\sqrt{12}}\)
    10. \(\ \lim _{x \rightarrow 2} \frac{\sqrt{2 x+5}-\sqrt{x+7}}{x-2}\)
    11. \(\ \lim _{x \rightarrow 1} \frac{1-\sqrt{x}}{1-x}\)
    12. \(\ \lim _{x \rightarrow \frac{1}{9}} \frac{9 x-1}{3 \sqrt{x}-1}\)
    13. \(\ \lim _{x \rightarrow 4} \frac{4 x^{2}-64}{2 \sqrt{x}-4}\)
    14. \(\ \lim _{x \rightarrow 9} \frac{9 x^{2}-90 x+81}{9-3 \sqrt{x}}\)
    15. Cuando se le da un límite para evaluar, ¿cómo sabe cuándo utilizar la técnica de racionalización? ¿Cómo será la función?

    Reseña (Respuestas)

    Para ver las respuestas de Revisar, abra este archivo PDF y busque la sección 14.5.


    vocabulario

    Término Definición
    Conjugados Los conjugados son pares de binomios que son iguales aparte de las operaciones inversas entre ellos, por ejemplo (3+2x) y (3−2x).
    Continuo La continuidad para un punto existe cuando los límites de los lados izquierdo y derecho coinciden con la función evaluada en ese punto. Para que una función sea continua, la función debe ser continua en cada punto de un dominio ininterrumpido.
    límite Un límite es el valor que la salida de una función se acerca a medida que la entrada de la función se acerca a un valor dado.
    racionalización La racionalización generalmente significa multiplicar una función racional por una forma inteligente de una para eliminar símbolos radicales o números imaginarios en el denominador. La racionalización es también una técnica utilizada para evaluar límites con el fin de evitar tener un cero en el denominador cuando se sustituye.
    teorema Un teorema es una afirmación que puede demostrarse verdadera usando postulados, definiciones y otros teoremas que ya han sido probados.

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