5.5: Regla de la Cadena

La regla de la cadena nos permite diferenciar una función compuesta fg Pero, ¿por qué es necesario tener una forma especial de determinar la derivada de una función compuesta? Intuitivamente, se debe a que la variación del dominio de f ahora se rige por la función g (x) en lugar de solo por x, y la tasa de cambio de g con respecto a x de alguna manera debe tenerse en cuenta. Antes de continuar, vea si encuentra efecto de g comparando la derivada de f (x) =x ² con la derivada de f (x) =( 5x) ² donde g (x) =5x.

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La regla de la cadena

Queremos derivar una regla para la derivada de una función compuesta de la forma fg en términos de las derivadas de f y g. Esta regla nos permitiría diferenciar funciones complicadas en términos de derivadas conocidas de funciones más simples.

La regla que habilita esto se llama Regla de Cadena:

Si g es una función diferenciable en x, y f es diferenciable en g (x), entonces la función de composición fg=f (g (x)) es diferenciable en x. La derivada de la función compuesta es:

\[ (f∘g)′(x)=f′(g(x))g′(x) \nonumber\]

O una declaración equivalente:

Si u=u (x) y f=f (u), entonces\[ \frac{d}{dx}[f(u)]=f′(u)\frac{du}{dx} \nonumber\]

O otra declaración equivalente:

Si y es una función de u, y u es una función de x, entonces

\[ \frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}⋅\frac{du}{dx} \nonumber\]

Aplicar la regla de la cadena para encontrar la derivada de\[ f(x)=(2x^3−4x^2+5)^2\nonumber\]

Usando la regla de la cadena, vamos\[ u=2x^3−4x^2+5.\nonumber\] Entonces

\[ \frac{d}{dx}[(2x^2−4x^2+5)^2]=\frac{d}{dx}[u^2] \nonumber\]

\[ =2u\frac{du}{dx} \nonumber\]

\[ =2(2x^3−4x^2+5)(6x^2−8x) \nonumber\]

El problema anterior es uno de los tipos más comunes de funciones compuestas. Es una función de potencia del tipo

\[ y=[u(x)]^n \nonumber\]

La regla para diferenciar tales funciones es el caso especial de la Regla de Cadena llamada Regla General del Poder:

Si\[ y=[u(x)]^n \nonumber\], entonces\[\frac{dy}{dx}=n[u(x)]^{n−1}\frac{d}{dx}u(x) \nonumber\]

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Ejemplos

Ejemplo 1

Anteriormente, se le preguntó si encuentra el efecto de g en la derivada comparando la derivada de f (x) =x ² con la derivada de f (x) =( 5x) ² donde g (x) =5x. La derivada de f (x) =x ² es f′ (x) =2x, y la derivada de f (x) =( 5x) ² es f′ (x) =2 (5x) 5=2x25. El efecto de g en la función compuesta es modificar la tasa de cambio de f (x) =x ².

Ejemplo 2

¿Cuál es la pendiente de la línea tangente a la función\[ y=\sqrt{x^2−3x+2} \nonumber\] que pasa por el punto x=3?

Podemos escribir\[ y=(x2−3x+2)^{\frac{1}{2}} \nonumber\] Este ejemplo ilustra el punto de que n puede ser cualquier número real incluyendo fracciones. Usando la Regla General del Poder,

\[ \frac{dy}{dx}=\frac{1}{2}(x^2−3x+2)^{\frac{1}{2}-1}(2x−3) \nonumber\]

\[ =\frac{1}{2}(x^2−3x+2)^{−\frac{1}{2}}(2x−3) \nonumber\]

\[ =\frac{(2x−3)}{2\sqrt{x^2−3x+2}} \nonumber\]

Para encontrar la pendiente de la línea tangente, simplemente sustituimos x=3 en la derivada:

\[ \frac{dy}{dx}|_{x=3}=\frac{2(3)−3}{2\sqrt{3^2−3(3)+2}}=\frac{3}{2\sqrt{2}}=\frac{3\sqrt{2}}{4} \nonumber\]

Ejemplo 3

Buscar\[\frac{dy}{dx} \nonumber\] para\[ y=sin^3x \nonumber\]

La función se puede escribir como y= [sinx] 3. Así

\[ \frac{dy}{dx}=\frac{d}{dx}[sinx]^3 \nonumber\]

\[ =3[sinx]^2[cosx] \nonumber\]

\[ =3sinx^2cosx \nonumber\]

Ejemplo 4

Buscar\[\frac{dy}{dx} \nonumber\] para\[ y=[cos(πx^2)]^3 \nonumber\]

Este ejemplo mostrará la aplicación de la regla de cadena varias veces porque hay varias funciones incrustadas una dentro de la otra.

La función y se puede escribir en la forma

\[ y=(u(w))^3 \nonumber\]donde

\[u(w)=cos(w) \nonumber\]

\[w(x)=πx^2 \nonumber\]

Estos son los pasos para la solución:

\[ \frac{dy}{dx}=\frac{d}{dx}[u(w)^3] \nonumber\]

... Usar sustituciones u y w

\[ =3⋅u(w)^2⋅\frac{du}{dx} \nonumber\]

. ... Después de usar la Regla General del Poder

\[ =3⋅u(w)^2⋅(\frac{du}{dw}⋅\frac{dw}{dx}) \nonumber\]

... Después de usar la Regla de Cadena para ^du/_dx

\[ =3⋅u(w)^2⋅[−sin(w)⋅2πx] \nonumber\]

... Después de evaluar dudw y dwdx

\[ =3[cos(πx^2)]^2⋅(−sin(πx^2)⋅2πx) \nonumber\]

... Después de sustituir por u y w

\[ =−6πx[cos(πx^2)]^2sin(πx^2) \nonumber\]

. ... Después de la simplificación.

Observe que primero usamos la Regla General del Poder y luego usamos la Regla de Cadena, en el último paso, tomamos la derivada del argumento.

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Revisar

Para #1 -11, encuentra f′ (x).

1. \[ f(x)=(2x^2−3x)^{39} \nonumber\]
2. \[ f(x)=(x^3−\frac{5}{x^2})^{−3} \nonumber\]
3. \[ f(x)=\frac{1}{\sqrt{3x^2−6x+2}} \nonumber\]
4. \[ f(x)=sin^3x \nonumber\]
5. \[ f(x)=sinx^3 \nonumber\]
6. \[ f(x)=sin^3x^3 \nonumber\]
7. \[ f(x)=tan(4x^5) \nonumber\]
8. \[ f(x)=\frac{4x−sin^2}{2x} \nonumber\]
9. \[ f(x)=\frac{sinx}{cos(3x−2)} \nonumber\]
10. \[ f(x)=(5x+8)^3(x^3+7x)^{13} \nonumber\]
11. \[ f(x)=(\frac{x−3}{2x−5})^3 \nonumber\]
12. Buscar\[ \frac{dy}{dx} \nonumber\] para\[ y=5cos(3x^2−1) \nonumber\]
13. Encuentra la derivada de\[ \sqrt{x^3+x^5+89} \nonumber\]
14. Encuentra la derivada del pecado (sin (sin (x))).
15. Por definición, cualquier función compuesta con su inversa es solo la identidad: f (f ⁻¹ (x)) =x. diferenciar ambos lados de esta ecuación y resolver algebraicamente para la derivada de la inversa.

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Reseña (Respuestas)

Para ver las respuestas de Revisar, abra este archivo PDF y busque la sección 3.8.

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El vocabulario

Término	Definición
regla de la cadena	La regla de la cadena es el método para calcular la derivada de una función compuesta. Afirma que para las funciones f (x) y g (x), (fg) ′ (x) =f′ (g (x)) g′ (x).
función compuesta	Una función compuesta es una función h (x) formada usando la salida de una función g (x) como entrada de otra función f (x). Las funciones compuestas se escriben en la forma h (x) =f (g (x)) o h=fg.
derivado	La derivada de una función es la pendiente de la línea tangente a la función en un punto dado de la gráfica. Las notaciones para derivadas incluyen f′ (x), ^dy/dx, y′, ^df/dx y\ frac {df (x)} {dx}.

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Recursos adicionales

PLIX - Jugar, Aprender, Interactuar, Explorar - Diferenciación: Regla en Cadena

Video: Introducción a la regla de la cadena

Práctica: Regla en cadena

Mundo real: Adiós a las olas