7.9: Similitud SAS
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Los triángulos son similares si dos pares de lados son proporcionales y los ángulos incluidos son congruentes.
Teorema de similitud SAS
Por definición, dos triángulos son similares si todos sus ángulos correspondientes son congruentes y sus lados correspondientes son proporcionales. No es necesario revisar todos los ángulos y lados para saber si dos triángulos son similares. De hecho, si solo sabes que dos pares de lados son proporcionales y sus ángulos incluidos son congruentes, esa es información suficiente para saber que los triángulos son similares. Esto se llama Teorema de Similaridad SAS.
Teorema de similitud SAS: Si dos lados en un triángulo son proporcionales a dos lados en otro triángulo y el ángulo incluido en ambos son congruentes, entonces los dos triángulos son similares.
Si\(\dfrac{AB}{XY}=\dfrac{AC}{XZ}\) y\(\angle A\cong \angle X\), entonces\(\Delta ABC\sim \Delta XYZ\).
¿Y si te dieran un par de triángulos, las longitudes de dos de sus lados y la medida del ángulo entre esos dos lados? ¿Cómo podría usar esta información para determinar si los dos triángulos son similares?
Ejemplo\(\PageIndex{1}\)
Determinar si los siguientes triángulos son similares. Si es así, escriba el teorema de similitud y la declaración.
Solución
Podemos ver eso\(\angle B\cong \angle F\) y estos son ambos ángulos incluidos. Sólo tenemos que comprobar que los lados alrededor de los ángulos son proporcionales.
\(\begin{aligned} \dfrac{AB}{DF} &=\dfrac{12}{8}=\dfrac{3}{2} \\ \dfrac{BC}{FE}&=\dfrac{24}{16}=\dfrac{3}{2} \end{aligned}\)
Dado que las proporciones son las mismas\(\Delta ABC\sim \Delta DFE\) según el Teorema de Similitud SAS.
Ejemplo\(\PageIndex{2}\)
Determinar si los siguientes triángulos son similares. Si es así, escriba el teorema de similitud y la declaración.
Solución
Los triángulos no son similares porque el ángulo no es el ángulo incluido para ambos triángulos.
Ejemplo\(\PageIndex{3}\)
¿Los dos triángulos son similares? ¿Cómo lo sabes?
Solución
Eso lo sabemos\(\angle B\cong \angle Z\) porque ambos son ángulos rectos y\(\dfrac{10}{15}=\dfrac{24}{36}\). Entonces,\(\dfrac{AB}{XZ}=\dfrac{BC}{ZY}\) y\(\Delta ABC\sim \Delta XZY\) por SAS.
Ejemplo\(\PageIndex{4}\)
¿Hay algún triángulo similar en la figura? ¿Cómo lo sabes?
Solución
\(\angle A\)es compartido por\(\Delta EAB\) y\(\Delta DAC\), por lo que es congruente consigo mismo. Veamos si\(\dfrac{AE}{AD}=\dfrac{AB}{AC}\).
\(\begin{aligned} \dfrac{9}{9+3}&=\dfrac{12}{12+5} \\ \dfrac{9}{12}&=\dfrac{3}{4}\neq \dfrac{12}{17}\qquad \text{ The two triangles are not similar. }\end{aligned}\)
Ejemplo\(\PageIndex{5}\)
Del Ejemplo 4, ¿qué debe ser\(BC\) igual\(\Delta EAB\sim \Delta DAC\)?
Solución
La proporción con la que terminamos fue\(\dfrac{9}{12}=\dfrac{3}{4}\neq \dfrac{12}{17}\). AC necesita igualar 16, para que\(\dfrac{12}{16}=dfrac{3}{4}\). \(AC=AB+BC\)y\(16=12+BC\). \(BC\)debe ser igual a 4.
Revisar
Rellene los espacios en blanco.
- Si dos lados en un triángulo son _________________ a dos lados en otro y los ángulos ________________ son _________________, entonces los triángulos son ______________.
Determinar si los siguientes triángulos son similares. Si es así, escriba el teorema de similitud y la declaración.
Encuentra el valor de las variables faltantes que hacen que los dos triángulos sean similares.
Determinar si los triángulos son similares. Si es así, escriba el teorema de similitud y la declaración.
- \(\Delta ABC\)es un triángulo rectángulo con patas que miden 3 y 4. \(\Delta DEF\)es un triángulo rectángulo con patas que miden 6 y 8.
- \(\Delta GHI\)es un triángulo rectángulo con una pierna que mide 12 y una hipotenusa que mide 13. \(\Delta JKL\)es un triángulo rectángulo con patas que miden 1 y 2.
- \(\overline{AC}=3\)
\(\overline{DF}=6\)
Reseña (Respuestas)
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Recursos
El vocabulario
Término | Definición |
---|---|
Postulado de similitud AA | Si dos ángulos en un triángulo son congruentes con dos ángulos en otro triángulo, entonces los dos triángulos son similares. |
Congruente | Las figuras congruentes son idénticas en tamaño, forma y medida. |
Dilatación | Reducir o agrandar una figura según un factor de escala es una dilatación. |
SAS | SAS significa lado, ángulo, lado, y se refiere al hecho de que se conocen dos lados y el ángulo incluido de un triángulo. |
Teorema de similitud SAS | El Teorema de Similitud SAS establece que si dos lados en un triángulo son proporcionales a dos lados en otro triángulo y el ángulo incluido en ambos son congruentes, entonces los dos triángulos son similares. |
Transformación de similitud | Una transformación de similitud es una o más transformaciones rígidas seguidas de una dilatación. |
Recursos adicionales
Elemento interactivo
Video: Triángulos Congruentes y Similares
Actividades: SAS Similaridad Discusión Preguntas
Ayudas de estudio: Guía de estudio de similitud poligonal
Práctica: Similitud SAS
Mundo Real: Similitud de Triángulos