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1.9:1.9 Asintotas y Comportamiento Final

  • Page ID
    107306
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    \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)

    La mayoría de las funciones continúan más allá de la ventana de visualización en nuestra calculadora o computadora. La gente suele dibujar una flecha junto a una línea punteada para indicar el patrón específicamente. ¿Cómo puedes reconocer estas asíntotas?

    Aíntotas y Comportamiento Final de Funciones

    Una asíntota vertical es una línea vertical como la\(x=1\) que indica dónde no se define una función y, sin embargo, se acerca infinitamente.

    Una asíntota horizontal es una línea horizontal como la\(y=4\) que indica dónde se aplana una función ya que\(x\) se vuelve muy grande o muy pequeña. Una función puede tocar o pasar a través de una asíntota horizontal.

    La función recíproca tiene dos asíntotas, una vertical y otra horizontal. La mayoría de las computadoras y calculadoras no dibujan las asíntotas y por lo tanto deben insertarse a mano como líneas punteadas.

    clipboard_e899913ab6765b5b54406240f10b0ff4e.png

    Muchos estudiantes tienen la idea errónea de que una asíntota es una línea a la que una función se acerca infinitamente pero no toca. Esto no es cierto. Tome la siguiente función:


    clipboard_e08a455d31dee9d80ddd9a586ddffdba5.png

    La gráfica parece aplanar a medida\(x\) que crece. Así, la asíntota horizontal es a\(y=0\) pesar de que la función pasa claramente por esta línea un número infinito de veces.

    La razón por la que las asíntotas son importantes es porque cuando tu perspectiva es alejada, las asíntotas se convierten esencialmente en la gráfica.

    clipboard_e3ae0d4b92cabb4924f8d3be91864dd57.png

    Para encontrar las asíntotas y el comportamiento final de la función a continuación, examine qué sucede\(x\) y a\(y\) medida que cada uno aumenta o disminuye.

    clipboard_e999fa6d3366a83494f1532555bdbf3f7.png

    La función tiene una asíntota horizontal\(y=2\) cuando se\(x\) acerca al infinito negativo. Hay una asíntota vertical en\(x=0\). El lado derecho parece disminuir para siempre y no tiene asíntota.

    Tenga en cuenta que las asíntotas inclinadas sí existen y se llaman asíntotas oblicuas.

    Ejemplos

    Ejemplo 1

    Anteriormente, se le preguntó cómo identificar asíntotas en una gráfica. Las asíntotas escritas a mano suelen identificarse con líneas punteadas junto a la función que indican cómo se comportará la función fuera de la ventana de visualización. Las ecuaciones de estas líneas punteadas verticales y horizontales son de la forma\(x\) =___ y\(y\) =____. Cuando los problemas te piden encontrar las asíntotas de una función, están pidiendo las ecuaciones de estas líneas horizontales y verticales.

    Ejemplo 2

    Identificar las asíntotas horizontales y verticales de la siguiente función.

    clipboard_efd73b668306b88aa1d5e4a7a3ca2e3c4.png

    Hay una asíntota vertical en\(x=0\). Como\(x\) se vuelve infinitamente pequeño, hay una asíntota horizontal en\(y=-1\). A medida que\(x\) se vuelve infinitamente grande, hay otra asíntota horizontal en\(y=1\).

    Ejemplo 3

    Identificar las asíntotas horizontales y verticales de la siguiente función.

    clipboard_e6c69435b9892fb65f3c02cd654e65123.png

    Hay una asíntota vertical en\(x=2 .\) As\(x\) se vuelve infinitamente pequeña hay una asíntota horizontal en\(y=-1\). A medida que\(x\) se vuelve infinitamente grande, hay una asíntota horizontal en\(y=1\).

    Ejemplo 4

    Identificar las asíntotas horizontales y verticales de la siguiente función por partes:

    \(f(x)=\left\{\begin{array}{ll}e^{x}-1 & x \leq 0 \\ \sin x & 0<x\end{array}\right.\)

    clipboard_e2f42cc0c8b77b361adb5ceabca67d91a.png

    Hay una asíntota horizontal en\(y=-1\) como\(x\) se vuelve infinitamente pequeña. Esto se debe a que\(e\) elevado a la potencia de un número muy pequeño se convierte\(0.000000 \ldots\) y básicamente se convierte en cero.

    Ejemplo 5

    Identificar las asíntotas y el comportamiento final de la siguiente función.

    clipboard_ec3132bc9a8d7482e26a93089b6d61b08.png

    Hay una asíntota vertical en\(x=0\). El comportamiento final del lado derecho e izquierdo de esta función no coincide. La asíntota horizontal como se\(x\) acerca al infinito negativo es\(y=0\) y la asíntota horizontal como se\(x\) acerca\(y=4 .\) al infinito positivo es En este punto sólo se pueden estimar estas alturas porque no se le dio la función o las herramientas para encontrar estos valores analíticamente.

    Revisar

    Identificar las asíntotas y el comportamiento final de las siguientes funciones.]

    1. \(y=x\)

    clipboard_e630b24e33eb657b10bf8f5dbfccd2390.png

    2. \(y=x^{2}\)

    clipboard_e69ab94386f37de0f2d72df56e403005d.png

    3. \(y=x^{3}\)

    clipboard_ec779c8593a9ad11257bec562eeea9a79.png

    4. \(y=\sqrt{x}\)

    clipboard_ea17a47cf50f8797de1639c8692a6bfc9.png

    5. \(y=\frac{1}{x}\)

    clipboard_e985e49ae7cf2b24f1676e8822976e8ad.png

    6. \(y=e^{x}\)

    clipboard_e23232b51c30563fb52209ea9ffb912d0.png

    7. \(y=\ln (x)\)

    clipboard_e47584791bb71c5c5f6818055008e9fb1.png

    8. \(y=\frac{1}{1+e^{-x}}\)

    clipboard_e75b60354c888188bfd8c7001494a86e3.png

    9.

    clipboard_e1f37a20b3d1147a0cd335d3655c17f42.png

    10.

    clipboard_e28b50a420c72fa04978cc531ef4d8d88.png

    11.

    clipboard_ea925e29446ed8bb37ea37e4e367fef01.png

    12. Las asíntotas verticales ocurren en\(x\) valores donde no se define una función. Explique por qué tiene sentido que\(y=\frac{1}{x}\) tenga una asíntota vertical en\(x=0\).

    13. Las asíntotas verticales ocurren en\(x\) valores donde no se define una función. Explique por qué tiene sentido que\(y=\frac{1}{x+3}\) tenga una asíntota vertical en\(x=-3\).

    14. Utilizar la técnica del problema anterior para determinar la asíntota vertical para la función\(y=\frac{1}{x-2}\)

    15. Usa la técnica del problema #13 para determinar la asíntota vertical para la función\(y=\frac{2}{x+4}\)

    c


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