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Precálculo
1: Funciones y Gráficas
1.8:1.8 Ceros e Intercepciones de Funciones

1.8:1.8 Ceros e Intercepciones de Funciones

Última actualización

30 oct 2022
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- 1.7:1.7 Aumentando y disminuyendo
- 1.9:1.9 Asintotas y Comportamiento Final

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Una intercepción en matemáticas es donde una función cruza el $y$ eje $x$ o. ¿Cuáles son
las intercepciones de esta función?

Intercepciones X e Y

El primer tipo de intercepción que puede haber aprendido es la $y$ -intercepción cuando aprendió la forma de intercepción de pendiente de una línea: $y=m x+b$ . A $y$ -intercept es el punto único donde una función cruza el $y$ eje. Se puede encontrar algebraicamente estableciendo $x=0$ y resolviendo para $y$ .

$x$ -intercepciones son donde las funciones cruzan el $x$ eje y donde la altura de la función es cero. También se les llama raíces, soluciones y ceros de una función. Se encuentran algebraicamente estableciendo $y=0$ y resolviendo para $x$ . Vea los videos a continuación para practicar:

Ejemplos

Ejemplo 1

Anteriormente, se le preguntó cuáles son las intercepciones de la gráfica a continuación.

Gráficamente la función tiene ceros en -2 y 3 con una $y$ intercepción aproximadamente $-1.1 .$
Nota: Para que una función pase la prueba de línea vertical, solo debe tener una $y$ -intercepción, pero puede tener múltiples $x$ -intercepciones.

Ejemplo 2

Cuáles son los ceros e $y$ -intercepciones de la parábola $y=x^{2}-2 x-3 ?$
Usando una gráfica:

Los ceros están en (-1,0) y (3,0). El $y$ -intercepto está en (0, -3).
Usando Álgebra:

Sustituye 0 por $y$ para encontrar ceros.
$0=x^{2}-2 x-3=(x-3)(x+1)$
$y=0, x=3,-1$

Sustituye 0 por $x$ para encontrar la $y$ -intercepción.
$y=(0)^{2}-2(0)-3=-3$
$x=0, y=-3$

Ejemplo 3

Identificar los ceros e $y$ intercepciones para la función sinusoidal.

El $y$ -intercepto es (0,0). Hay cuatro ceros visibles en esta parte de la gráfica. Una cosa que sabes de la gráfica sinusoidal es que es periódica y se repite para siempre en ambas direcciones. Para capturar cada $x$ -intercepción, debes identificar un patrón en lugar de intentar escribir cada uno.

Las $x$ intercepciones visibles son $0, \pi, 2 \pi, 3 \pi$ . El patrón es que hay una $x$ -intercepción cada múltiplo de $\pi$ incluyendo múltiplos negativos. Para describir todos estos valores debes escribir:

Los $x$ -intercepts son $\pm n \pi$ donde $n$ es un entero $\{0,\pm 1,\pm 2, \ldots\}$ .

Ejemplo 4

Identificar las intercepciones y ceros de la función: $f(x)=\frac{1}{100}(x-3)^{3}(x+2)^{2}$

Para encontrar la $y$ -intercepción, sustituya o por $x$ :

$y=\frac{1}{100}(0-3)^{3}(0+2)^{2}=\frac{1}{100}(-27)(4)=-\frac{108}{100}=-1.08$

Para encontrar las $x$ -intercepciones, sustituya 0 por $y$ :

$0=\frac{1}{100}(x-3)^{3}(x+2)^{2}$

$x=3,-2$

Así, la $y$ -intercepción es (0, -1.08) y las $x$ -intercepciones son (3,0) y (-2,0)

Ejemplo 5

Determinar gráficamente las intercepciones de la siguiente función.

El $y$ -intercepto es aproximadamente (0, -1). Las $x$ -intercepciones son aproximadamente (-2.3,0), (-0.4,0) y $(0.7,0) .$ Al encontrar valores gráficamente, las respuestas son siempre aproximadas. Las respuestas exactas deben encontrarse analíticamente.

Revisar

1. Determinar los ceros y $y$ -interceptar la siguiente función usando álgebra:

$f(x)=(x+1)^{3}(x-4)$

2. Determinar las raíces y $y$ -interceptar la siguiente función usando álgebra o una gráfica:

3. Determine gráficamente las intercepciones de la siguiente función:

Encuentra las intercepciones para cada una de las siguientes funciones.

4. $y=x^{2}$
5. $y=x^{3}$
6. $y=\ln (x)$
7. $y=\frac{1}{x}$
8. $y=e^{x}$
9. $y=\sqrt{x}$
10. ¿Hay alguna función sin una $y$ intercepción? Explicar.
11. ¿Hay alguna función sin una $x$ intercepción? Explicar.
12. Explique por qué tiene sentido que una $x$ -intercepción de una función también se llame
“cero” de la función.

Determinar las intercepciones de las siguientes funciones utilizando álgebra o una gráfica.
13. $h(x)=x^{3}-6 x^{2}+3 x+10$
14. $j(x)=x^{2}-6 x-7$
15. $k(x)=4 x^{4}-20 x^{3}-3 x^{2}+14 x+5$