4.5: Ley de Cosinos

La Ley de Cosinos es un Teorema de Pitágoras generalizado que permite resolver por los lados y ángulos faltantes de un triángulo aunque no sea un triángulo rectángulo. Supongamos que tienes un triángulo con lados 11, 12 y 13. ¿Cuál es la medida del ángulo opuesto al 11?

La ley de los cosenos

La Ley de Cosinos es:

\(c^{2}=a^{2}+b^{2}-2 a b \cdot \cos C\)

Es importante entender la prueba:

Conoces cuatro hechos de la imagen:

\ [
a=a_ {1} +a_ {2}
\]

\ [
b^ {2} =a_ {1} ^ {2} +h^ {2}
\]

\ [
c^ {2} =a_ {2} ^ {2} +h^ {2}
\]

\ [
\ cos C=\ frac {a_ {1}} {b}
\]

Una vez que verifiques por ti mismo que estás de acuerdo con cada uno de estos hechos, comprueba algebraicamente que estos dos siguientes hechos deben ser ciertos.

\ [
a_ {2} =a-a_ {1}
\]

\ [
a_ {1} =b\ cdot\ cos C
\]

Ahora la Ley de Cosinos está lista para ser probada usando sustitución, FOIL, más sustitución y reescritura para obtener el orden de los términos correcto.

\(c^{2}=a_{2}^{2}+h^{2} \quad(3\)de nuevo\()\)
\(c^{2}=\left(a-a_{1}\right)^{2}+h^{2} \quad(\) sustituir usando 5\()\)
\(c^{2}=a^{2}-2 a \cdot a_{1}+a_{1}^{2}+h^{2} \quad(\mathrm{FOIL})\)
\(c^{2}=a^{2}-2 a \cdot b \cdot \cos C+a_{1}^{2}+h^{2} \quad(\) sustituto usando 6\()\)
\(c^{2}=a^{2}-2 a \cdot b \cdot \cos C+b^{2} \quad(\) sustituto usando 2\()\)
\(c^{2}=a^{2}+b^{2}-2 a b \cdot \cos C \quad\) (reorganizar términos)

Sólo hay dos tipos de problemas en los que resulta apropiado utilizar la Ley de Cosinos. El primero es cuando se le dan los tres lados de un triángulo y se le pide que encuentre un ángulo desconocido. Esto se llama SSS (lado-lado-lado) en geometría. La segunda situación en la que usarás la Ley de Cosinos es cuando te dan dos lados y el ángulo incluido y necesitas encontrar el tercer lado. Esto se llama SAS (lado ángulo lateral).

Toma el siguiente triángulo.

Falta la medida del ángulo\(D\) y se puede encontrar utilizando la Ley de los cosenos. Es necesario configurar la ecuación de Ley de cosenos con mucho cuidado con\(D\) correspondiente al lado opuesto de\(230 .\) Las letras no son\(A B C\) como en la prueba, pero esas letras siempre se pueden cambiar para que coincidan con el problema siempre y cuando el ángulo en el coseno corresponda al lado utilizado en el lado izquierdo de la ecuación.

\(\begin{aligned} c^{2} &=a^{2}+b^{2}-2 a b \cdot \cos C \\ 230^{2} &=120^{2}+150^{2}-2 \cdot 120 \cdot 150 \cdot \cos D \\ 230^{2}-120^{2}-150^{2} &=-2 \cdot 120 \cdot 150 \cdot \cos D \\ \frac{230^{2}-120^{2}-150^{2}}{-2 \cdot 120 \cdot 150} &=\cos D \\ D &=\cos ^{-1}\left(\frac{230^{2}-120^{2}-150^{2}}{-2 \cdot 120 \cdot 150}\right) \approx 116.4^{\circ} \approx 2.03 \text { radians } \end{aligned}\)

Ejemplos

Ejemplo 1

Antes, se le dio un triángulo con lados 11, 12 y 13 y le preguntaron cuál es la medida del ángulo opuesto al 11. Un triángulo que tiene lados 11, 12 y 13 no va a ser un triángulo rectángulo. Para resolver por el ángulo faltante es necesario utilizar la Ley de Cosinos porque se trata de una situación de SSS.

\(\begin{aligned} c^{2} &=a^{2}+b^{2}-2 a b \cdot \cos C \\ 11^{2} &=12^{2}+(13)^{2}-2 \cdot 12 \cdot 13 \cdot \cos C \\ C &=\cos ^{-1}\left(\frac{11^{2}-12^{2}-13^{2}}{-2 \cdot 12 \cdot 13}\right) \approx 52.02^{\circ} \end{aligned}\)

Ejemplo 2

Determinar la longitud del lado\(p\).

\(\begin{aligned} c^{2} &=a^{2}+b^{2}-2 a b \cdot \cos C \\ p^{2} &=212^{2}+388^{2}-2 \cdot 212 \cdot 388 \cdot \cos 82^{\circ} \\ p^{2} & \approx 172592.354815 \\ p & \approx 415.44 \end{aligned}\)

Ejemplo 3

Determinar la medida del grado de ángulo\(N\).

Este problema se debe hacer en dos partes. Primero aplicar la Ley de cosenos para determinar la longitud del lado\(m\). Esta es una situación SAS como Ejemplo B. Una vez que tengas los tres lados estarás en la situación de SSS como en Ejemplo\(A\) y podrás aplicar nuevamente la Ley de cosenos para encontrar el ángulo desconocido\(N\).

\(\begin{aligned} c^{2} &=a^{2}+b^{2}-2 a b \cdot \cos C \\ m^{2} &=38^{2}+40^{2}-2 \cdot 38 \cdot 40 \cdot \cos 93^{\circ} \\ m^{2} & \approx 3203.1 \\ m & \approx 56.59 \end{aligned}\)

Ahora que tienes los tres lados puedes aplicar nuevamente la Ley de cosenos para encontrar el ángulo desconocido\(N\). Recuerda hacer coincidir el ángulo\(N\) con la longitud lateral correspondiente de 38 pulgadas. También es mejor almacenar\(m\) en su calculadora y usar el número no redondeado en sus cálculos futuros.

\(\begin{aligned} c^{2} &=a^{2}+b^{2}-2 a b \cdot \cos C \\ 38^{2} &=40^{2}+(56.59)^{2}-2 \cdot 40 \cdot(56.59) \cdot \cos N \\ 38^{2}-40^{2}-(56.59)^{2} &=-2 \cdot 40 \cdot(56.59) \cdot \cos N \\ \frac{38^{2}-40^{2}-(56.59)^{2}}{-2 \cdot 40 \cdot(56.59)} &=\cos N \\ N &=\cos ^{-1}\left(\frac{38^{2}-40^{2}-(56.59)^{2}}{-2 \cdot 40 \cdot(56.59)}\right) \approx 42.1^{\circ} \end{aligned}\)

Para los siguientes dos ejemplos, usa el triángulo de abajo.

Ejemplo 4

Determinar la longitud del lado\(r\).

\(r^{2}=36^{2}+42^{2}-2 \cdot 36 \cdot 42 \cdot \cos 63\)

\(r \approx 41.07\)

Ejemplo 5

Determinar la longitud del lado\(r\).

\(r^{2}=36^{2}+42^{2}-2 \cdot 36 \cdot 42 \cdot \cos 63\)

\(r \approx 41.07\)

Revisar

Para todos los problemas, encuentra ángulos en grados redondeados a un decimal.

En\(\Delta A B C, a=12, b=15,\) y\(c=20\)

1. Encuentra la medida del ángulo\(A\).

2. Encuentra la medida del ángulo\(B\).

3. Encuentra la medida del ángulo\(C\).

4. Encuentra la medida del ángulo\(C\) de una manera diferente.

En\(\Delta D E F, d=20, e=10,\) y\(f=16\)

5. Encuentra la medida del ángulo\(D\).

6. Encuentra la medida del ángulo\(E\).

7. Encuentra la medida del ángulo\(F\).

En\(\Delta G H I, g=19, \angle H=55^{\circ},\) y\(i=12\)

8. Encuentra la longitud de\(h\).

9. Encuentra la medida del ángulo\(G\).

10. Encuentra la medida del ángulo\(I\).

11. Explicar por qué la Ley de los cosenos está conectada con el Teorema de Pitágoras.

12. ¿Cuáles son los dos tipos de problemas donde podrías usar la Ley de los cosenos?

Utilizar la Ley de cosenos para determinar si cada triángulo es posible o no.

13. \(a=5, b=6, c=15\)

14. \(a=1, b=5, c=4\)

15. \(a=5, b=6, c=10\)

...