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8.5 Operaciones de Fila y Formularios de Escalón de Fila

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    \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)

    Aplicar operaciones de fila para reducir una matriz es una habilidad procedimental que requiere mucha escritura, reescritura y aritmética cuidadosa. El beneficio por poder transformar una matriz en una forma simplificada se aclarará más adelante. Por ahora, ¿qué significa la forma simplificada para una matriz?

    Operaciones de fila de encabezamiento y formularios de escalón de filas

    Sólo hay tres operaciones que están permitidas para actuar sobre matrices. Son exactamente las mismas operaciones que se permiten al resolver un sistema de ecuaciones.

    Agrega un múltiplo de una fila a otra fila.

    Escala una fila multiplicando por una constante distinta de cero.

    Intermuta dos filas.

    Usando estas tres operaciones, su trabajo es simplificar las matrices en forma de escalón de filas. La forma de escalón de fila debe cumplir con tres requisitos.

    1. El coeficiente inicial de cada fila debe ser uno.

    2. Todas las entradas en una columna debajo de una inicial deben ser cero.

    3. Todas las filas que solo contienen ceros están en la parte inferior de la matriz.

    Aquí hay algunos ejemplos de matrices en forma de escalón de filas:

    \(\left[\begin{array}{cc}1 & 14 \\ 0 & 1\end{array}\right],\left[\begin{array}{ccc}1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 4\end{array}\right],\left[\begin{array}{ccccc}1 & 2 & 3 & 5 & 6 \\ 0 & 0 & 1 & 4 & 7 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & -2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0\end{array}\right]\)

    La forma de escalón de fila reducida también tiene una estipulación adicional en comparación con la forma de escalón de fila.

    4. Cada coeficiente inicial de 1 debe ser el único elemento distinto de cero en esa columna.

    Aquí hay algunos ejemplos de matrices en forma de escalón de fila reducida:

    \(\left[\begin{array}{ll}1 & 0 \\ 0 & 1\end{array}\right],\left[\begin{array}{lll}1 & 0 & 3 \\ 0 & 1 & 4\end{array}\right],\left[\begin{array}{ccccc}1 & 2 & 0 & 0 & 6 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 7 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & -2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0\end{array}\right]\)

    Poner una matriz en forma de escalón de fila reducida es el resultado de realizar la eliminación de Gauss-Jordan. El proceso ilustrado en este concepto lleva el nombre de esos dos matemáticos.

    Para poner la matriz a en forma de escalón de fila reducida, use las operaciones de fila para cambiar la matriz. Tome la siguiente matriz:

    \(\left[\begin{array}{ll}3 & 7 \\ 2 & 5\end{array}\right]\)

    En cada paso de reducción de la matriz, solo se utilizará una de las tres operaciones de fila. Se introducirá taquigrafía específica.

    \(\left[\begin{array}{ll}3 & 7 \\ 2 & 5\end{array}\right]\)

    \(3 R_{2} \rightarrow\left[\begin{array}{cc}3 & 7 \\ 6 & 15\end{array}\right]\)

    \(-2 R_{1}+R_{2} \rightarrow\left[\begin{array}{ll}3 & 7 \\ 0 & 1\end{array}\right]\)

    \(-7 R_{2}+R_{1} \rightarrow\left[\begin{array}{ll}3 & 0 \\ 0 & 1\end{array}\right]\)

    \(\frac{1}{3} R \rightarrow\left[\begin{array}{ll}1 & 0 \\ 0 & 1\end{array}\right]\)

    Tenga en cuenta que el\(3 R_{2}\) indica que la segunda fila de la matriz se escala por un factor de\(3 .\) El\(-2 R_{1}+R_{2}\) antes de la tercera matriz indica que la segunda fila tiene dos veces la primera fila restada de ella.

    La reducción de filas de una\(2 \times 2\) matriz para convertirse en la matriz de identidad ilustra el hecho de que las filas de la matriz original son linealmente independientes.

    Ejemplos

    Ejemplo 1

    Anteriormente, se le preguntó qué significa que se simplifique una matriz. Hay dos formas de una matriz que son las más simplificadas. Lo más importante es la forma de escalón de fila reducida que sigue las cuatro estipulaciones de la sección de orientación. Un ejemplo de una matriz en forma de escalón de fila reducida es:

    \(\left[\begin{array}{ccccc}1 & 0 & 0 & 2 & 43 \\ 0 & 1 & 0 & 2 & 3 \\ 0 & 0 & 1 & 98 & 5\end{array}\right]\)

    Ejemplo 2

    Ponga la siguiente matriz en forma de escalón de fila reducida.

    \(\left[\begin{array}{lll}2 & 4 & 0 \\ 0 & 3 & 1 \\ 1 & 2 & 4\end{array}\right]\)

    \(\left[\begin{array}{lll}2 & 4 & 0 \\ 0 & 3 & 1 \\ 1 & 2 & 4\end{array}\right]\)

    \(R_{1} \cdot-\frac{1}{2}+R_{3} \rightarrow\left[\begin{array}{lll}2 & 4 & 0 \\ 0 & 3 & 1 \\ 0 & 0 & 4\end{array}\right]\)

    \(R_{3} \div 4 \rightarrow\left[\begin{array}{lll}2 & 4 & 0 \\ 0 & 3 & 1 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right]\)

    \(R_{1} \div 2, R_{2} \div 3 \rightarrow\left[\begin{array}{lll}1 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & \frac{1}{3} \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right]\)

    \(R_{3} \cdot-\frac{1}{3}+R_{2} \rightarrow\left[\begin{array}{lll}1 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right]\)

    \(R_{2} \cdot-2+R_{1} \rightarrow\left[\begin{array}{lll}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right]\)

    Obsérvese que se utilizaron dos operaciones en la cuarta fila para producir la cuarta matriz. Esto es aceptable cuando las operaciones no interfieren ni interactúan entre sí.

    Nuevamente, la reducción de filas de una\(3 \times 3\) matriz para convertirse en la matriz de identidad es solo un ejercicio que ilustra el hecho de que las filas eran linealmente independientes.

    Ejemplo 3

    Reduzca la siguiente matriz a una forma de escalón de fila reducida.

    \(\left[\begin{array}{lll}0 & 4 & 5 \\ 2 & 6 & 8\end{array}\right]\)

    \(\left[\begin{array}{lll}0 & 4 & 5 \\ 2 & 6 & 8\end{array}\right]\)

    Cambiar filas\(\rightarrow\left[\begin{array}{lll}2 & 6 & 8 \\ 0 & 4 & 5\end{array}\right]\)

    \(R_{1} \div 2 \rightarrow\left[\begin{array}{lll}1 & 3 & 4 \\ 0 & 4 & 5\end{array}\right]\)

    \(R_{2} \cdot \frac{1}{4} \rightarrow\left[\begin{array}{lll}1 & 3 & 4 \\ 0 & 1 & \frac{5}{4}\end{array}\right]\)

    \(R_{2} \cdot-3+R_{1} \rightarrow\left[\begin{array}{lll}1 & 0 & \frac{1}{4} \\ 0 & 1 & \frac{5}{4}\end{array}\right]\)

    Ejemplo 4

    Reduzca la siguiente matriz a la forma de escalón de filas.

    \(\left[\begin{array}{cc}3 & 6 \\ 2 & 4 \\ 5 & 17\end{array}\right]\)

    \(\left[\begin{array}{cc}3 & 6 \\ 2 & 4 \\ 5 & 17\end{array}\right]\)

    \(R_{1} \div 3, R_{2} \div 2 \rightarrow\left[\begin{array}{cc}1 & 2 \\ 1 & 2 \\ 5 & 17\end{array}\right]\)

    \(R_{1} \cdot-1+R_{2} \rightarrow\left[\begin{array}{cc}1 & 2 \\ 0 & 0 \\ 5 & 17\end{array}\right]\)

    \(R_{1} \cdot-5+R_{3} \rightarrow\left[\begin{array}{ll}1 & 2 \\ 0 & 0 \\ 0 & 7\end{array}\right]\)

    Conmutador\(R_{2}\) y\(R_{3} \rightarrow\left[\begin{array}{ll}1 & 2 \\ 0 & 7 \\ 0 & 0\end{array}\right]\)

    \(R_{2} \div 7 \rightarrow\left[\begin{array}{ll}1 & 2 \\ 0 & 1 \\ 0 & 0\end{array}\right]\)

    \(R_{2} \cdot-2+R_{1} \rightarrow\left[\begin{array}{ll}1 & 0 \\ 0 & 1 \\ 0 & 0\end{array}\right]\)

    Ejemplo 5

    Reduzca la siguiente matriz a una forma de escalón de fila reducida.

    \(\left[\begin{array}{cccc}3 & 4 & 1 & 0 \\ 5 & -1 & 0 & 1\end{array}\right]\)

    \(\left[\begin{array}{cccc}3 & 4 & 1 & 0 \\ 5 & -1 & 0 & 1\end{array}\right]\)

    \(R_{1} \cdot 5 \rightarrow\left[\begin{array}{cccc}15 & 20 & 5 & 0 \\ 5 & -1 & 0 & 1\end{array}\right]\)

    \(R_{2} \cdot 3 \rightarrow\left[\begin{array}{cccc}15 & 20 & 5 & 0 \\ 15 & -3 & 0 & 3\end{array}\right]\)

    \(R_{2}-R_{1} \rightarrow\left[\begin{array}{cccc}15 & 20 & 5 & 0 \\ 0 & -23 & -5 & -3\end{array}\right]\)

    \(R_{1} \div 15 \rightarrow\left[\begin{array}{cccc}1 & \frac{4}{3} & \frac{1}{3} & 0 \\ 0 & -23 & -5 & 3\end{array}\right]\)

    \(R_{2} \div-23 \rightarrow\left[\begin{array}{cccc}1 & \frac{4}{3} & \frac{1}{3} & 0 \\ 0 & 1 & \frac{5}{23} & -\frac{3}{23}\end{array}\right]\)

    \(R_{2} \cdot-\frac{4}{3}+R_{1} \rightarrow\left[\begin{array}{cccc}1 & 0 & \frac{1}{23} & \frac{4}{23} \\ 0 & 1 & \frac{5}{23} & -\frac{3}{23}\end{array}\right]\)

    Observe cómo se evitaron las fracciones hasta el paso final. Sumar y restar números grandes en una matriz es más fácil de manejar que sumar y restar números pequeños porque entonces no es necesario encontrar un denominador común.

    Revisar

    1. Dé un ejemplo de una matriz en forma de escalón de filas.

    2. Dé un ejemplo de una matriz en forma de escalón de fila reducida.

    3. ¿Cuáles son las operaciones de tres filas que se le permite realizar al reducir una matriz?

    4. Si una matriz cuadrada se reduce a la matriz de identidad, ¿qué significa eso de las filas de la matriz original?

    Utilice la siguiente matriz para\(5-6\)

    \(A=\left[\begin{array}{ccc}-3 & -4 & -12 \\ 4 & 4 & 12 \\ -11 & -12 & -35\end{array}\right]\)

    5. Reducir la forma\(A\) de escalón de matriz a fila.

    6. Reduce la matriz\(A\) a una forma de escalón de fila reducida. ¿Las filas de la matriz son\(A\) linealmente independientes?

    Utilice la siguiente matriz para\(7-8\).

    \(B=\left[\begin{array}{ccc}3 & -4 & 8 \\ 9 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & -2\end{array}\right]\)

    7. Reducir la forma\(B\) de escalón de matriz a fila.

    8. Reduce la matriz\(B\) a una forma de escalón de fila reducida. ¿Las filas de la matriz son\(B\) linealmente independientes?

    Utilice la siguiente matriz para\(9-10 .\)

    \(C=\left[\begin{array}{cccc}0 & 0 & -1 & -1 \\ 3 & 6 & -3 & 1 \\ 6 & 12 & -7 & 0\end{array}\right]\)

    9. Reducir la forma\(C\) de escalón de matriz a fila.

    10. Reduce la matriz\(C\) a una forma de escalón de fila reducida. ¿Las filas de la matriz son\(C\) linealmente independientes?

    Utilice la siguiente matriz para\(11-12\).

    \(D=\left[\begin{array}{ll}1 & 1 \\ 3 & 4 \\ 2 & 3\end{array}\right]\)

    11. Reducir la forma\(D\) de escalón de matriz a fila.

    12. Reduce la matriz\(D\) a una forma de escalón de fila reducida. ¿Las filas de la matriz son\(D\) linealmente independientes?

    Utilice la siguiente matriz para\(13-14\)

    \(E=\left[\begin{array}{ccc}-5 & -6 & -12 \\ -1 & -1 & -2 \\ 2 & 2 & 4\end{array}\right]\)

    13. Reducir la forma\(E\) de escalón de matriz a fila.

    14. Reduce la matriz\(E\) a una forma de escalón de fila reducida. ¿Las filas de la matriz son\(E\) linealmente independientes?

    Utilice la siguiente matriz para\(15-16 .\)

    \(F=\left[\begin{array}{ccc}-23 & 6 & 3 \\ 2 & -\frac{1}{2} & 0 \\ -8 & 2 & 1\end{array}\right]\)

    15. Reducir la forma\(F\) de escalón de matriz a fila.

    16. Reduce la matriz\(F\) a una forma de escalón de fila reducida. ¿Las filas de la matriz son\(F\) linealmente independientes?


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