8.6 Matrices Aumentadas
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\(5 x+y=6\)
\(x+y=10\)
Rúbrica Resolver sistemas de ecuaciones con matrices aumentadas
Para representar un sistema como una ecuación matricial, primero escribe todas las ecuaciones en forma estándar para que los coeficientes de las variables se alineen en columnas. Después copie solo los coeficientes en una matriz de matriz de coeficientes. A continuación, copie las variables en una matriz de variables y las constantes en una matriz constante.
\(x+y+z=9\)
\(x+2 y+3 z=22\)
\(2 x+3 y+4 z=31\)
\(\left[\begin{array}{lll}1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 3 \\ 2 & 3 & 4\end{array}\right] \cdot\left[\begin{array}{l}x \\ y \\ z\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}9 \\ 22 \\ 31\end{array}\right]\)
La razón por la que esto funciona es por la forma en que se define la multiplicación matricial.
\(\left[\begin{array}{lll}1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 3 \\ 2 & 3 & 4\end{array}\right] \cdot\left[\begin{array}{l}x \\ y \\ z\end{array}\right]=\left[\begin{array}{l}1 x+1 y+1 z \\ 1 x+2 y+3 z \\ 2 z+3 y+4 z\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}9 \\ 22 \\ 31\end{array}\right]\)
Observe cómo poner corchetes alrededor de las dos matrices de la derecha hace muy poco para ocultar el hecho de que este es solo un sistema regular de 3 ecuaciones y 3 variables.
Una vez que tengas tu sistema representado como una matriz puedes resolverlo usando una matriz aumentada. Una matriz aumentada son dos matrices que se unen entre sí y se operan como si fueran una sola matriz. En el caso de resolver un sistema, es necesario aumentar la matriz de coeficientes y la matriz constante. La línea vertical indica la separación entre la matriz de coeficientes y la matriz constante.
\(\left[\begin{array}{lll|c}1 & 1 & 1 & 9 \\ 1 & 2 & 3 & 22 \\ 2 & 3 & 4 & 31\end{array}\right]\)
Para resolver, reduzca la matriz a una forma de escalón de fila reducida.
\(\left[\begin{array}{lll|c}1 & 1 & 1 & 9 \\ 1 & 2 & 3 & 22 \\ 2 & 3 & 4 & 31\end{array}\right]\)
\(R_{1} \cdot-1+R_{2} \rightarrow\left[\begin{array}{lll|c}1 & 1 & 1 & 9 \\ 0 & 1 & 2 & 13 \\ 2 & 3 & 4 & 31\end{array}\right]\)
\(R_{1} \cdot-2+R_{3} \rightarrow\left[\begin{array}{lll|c}1 & 1 & 1 & 9 \\ 0 & 1 & 2 & 13 \\ 0 & 1 & 2 & 13\end{array}\right]\)
\(R_{2} \cdot-1+R_{3} \rightarrow\left[\begin{array}{lll|c}1 & 1 & 1 & 9 \\ 0 & 1 & 2 & 13 \\ 0 & 0 & 0 & 0\end{array}\right]\)
Debido a que la última fila es toda 0, este sistema es dependiente. Por lo tanto, hay un número infinito de soluciones.
Ejemplos
Anteriormente, se le preguntó cómo escribir un sistema de ecuaciones como una ecuación matricial. Si escribieras el sistema como una ecuación matricial, podrías escribir:
\(\begin{aligned} 5 x+y &=6 \\ x+y &=10 \\\left[\begin{array}{ll}5 & 1 \\ 1 & 1\end{array}\right] \cdot\left[\begin{array}{l}x \\ y\end{array}\right] &=\left[\begin{array}{c}6 \\ 10\end{array}\right] \end{aligned}\)
Resuelve el siguiente sistema usando una matriz aumentada.
\(x+y+z=6\)
\(x-y-z=-4\)
\(x+2 y+3 z=14\)
\(\left[\begin{array}{ccc|c}1 & 1 & 1 & 6 \\ 1 & -1 & -1 & -4 \\ 1 & 2 & 3 & 14\end{array}\right]\)
\(R_{1} \cdot-1+R_{2} \rightarrow\left[\begin{array}{ccc|c}1 & 1 & 1 & 6 \\ 0 & -2 & -2 & -10 \\ 1 & 2 & 3 & 8\end{array}\right]\)
\(R_{1} \cdot-1+R_{3} \rightarrow\left[\begin{array}{ccc|c}1 & 1 & 1 & 6 \\ 0 & -2 & -2 & -10 \\ 0 & 1 & 2 & 8\end{array}\right]\)
\(R_{3} \cdot-1+R_{1} \rightarrow\left[\begin{array}{ccc|c}1 & 0 & -1 & -2 \\ 0 & -2 & -2 & -10 \\ 0 & 1 & 2 & 8\end{array}\right]\)
\(R_{3} \cdot 3+R_{2} \rightarrow\left[\begin{array}{ccc|c}1 & 0 & -1 & -2 \\ 0 & 1 & 4 & 14 \\ 0 & 1 & 2 & 8\end{array}\right]\)
\(R_{2} \cdot-1+R_{3} \rightarrow\left[\begin{array}{ccc|c}1 & 0 & -1 & -2 \\ 0 & 1 & 4 & 14 \\ 0 & 0 & -2 & -6\end{array}\right]\)
\(R_{3} \div-2 \rightarrow\left[\begin{array}{ccc|c}1 & 0 & -1 & -2 \\ 0 & 1 & 4 & 14 \\ 0 & 0 & 1 & 3\end{array}\right]\)
\(R_{3}+R_{1} \rightarrow\left[\begin{array}{ccc|c}1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 4 & 14 \\ 0 & 0 & 1 & 3\end{array}\right]\)
\(R_{3} \cdot-4+R_{2} \rightarrow\left[\begin{array}{lll|l}1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & 3\end{array}\right]\)
Cada matriz puede ser interpretada como su propio sistema lineal. La matriz aumentada final se puede interpretar como:
\(1 x+0 y+0 z=1\)
\(0 x+1 y+0 z=2\)
\(0 x+0 y+1 z=3\)
Lo que significa\(x=1, y=2, z=3\).
Resuelve el siguiente sistema usando Matrices Aumentadas.
\(w+x+z=11\)
\(w+x=9\)
\(x+y=7\)
\(y+z=5\)
Si bien la sustitución funcionaría en este problema, la idea es demostrar cómo funcionarán las matrices aumentadas incluso con matrices más grandes.
\(\left[\begin{array}{llll|c}1 & 1 & 0 & 1 & 11 \\ 1 & 1 & 0 & 0 & 9 \\ 0 & 1 & 1 & 0 & 7 \\ 0 & 0 & 1 & 1 & 5\end{array}\right]\)
Conmutador\(R_{2}, R_{3},\) y\(R_{4} \rightarrow\left[\begin{array}{cccc|c}1 & 1 & 0 & 1 & 11 \\ 0 & 1 & 1 & 0 & 7 \\ 0 & 0 & 1 & 1 & 5 \\ 1 & 1 & 0 & 0 & 9\end{array}\right]\)
\(R_{1} \cdot-1+R_{4} \rightarrow\left[\begin{array}{cccc|c}1 & 1 & 0 & 1 & 11 \\ 0 & 1 & 1 & 0 & 7 \\ 0 & 0 & 1 & 1 & 5 \\ 0 & 0 & 0 & -1 & -2\end{array}\right]\)
\(R_{4} \cdot-1 \rightarrow\left[\begin{array}{llll|c}1 & 1 & 0 & 1 & 11 \\ 0 & 1 & 1 & 0 & 7 \\ 0 & 0 & 1 & 1 & 5 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 2\end{array}\right]\)
\(R_{4} \cdot-1+R_{1} \rightarrow\left[\begin{array}{llll|l}1 & 1 & 0 & 0 & 9 \\ 0 & 1 & 1 & 0 & 7 \\ 0 & 0 & 1 & 1 & 5 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 2\end{array}\right]\)
\(R_{4} \cdot-1+R_{3} \rightarrow\left[\begin{array}{llll|l}1 & 1 & 0 & 0 & 9 \\ 0 & 1 & 1 & 0 & 7 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 2\end{array}\right]\)
\(R_{3} \cdot-1+R_{2} \rightarrow\left[\begin{array}{llll|l}1 & 1 & 0 & 0 & 9 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 4 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 2\end{array}\right]\)
\(R_{2} \cdot-1+R_{1} \rightarrow\left[\begin{array}{llll|c}1 & 0 & 0 & 0 & 5 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 4 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 2\end{array}\right]\)
Por lo tanto,\(w=5, x=4, y=3, z=2\)
Utilice una matriz aumentada para resolver el siguiente sistema.
\(3 x+y=-15\)
\(x+2 y=15\)
No se muestran los pasos de reducción de filas, solo las matrices aumentadas inicial y final.
\(\left[\begin{array}{cc|c}3 & 1 & -15 \\ 1 & 2 & 15\end{array}\right] \rightarrow\left[\begin{array}{cc|c}1 & 0 & -9 \\ 0 & 1 & 12\end{array}\right]\)
Utilice una matriz aumentada para resolver el siguiente sistema.
\(\begin{aligned}-a+b-c &=0 \\ 2 a-2 b-3 c &=25 \\ 3 a-4 b+3 c &=2 \end{aligned}\)
No se muestran los pasos de reducción de filas, solo las matrices aumentadas inicial y final.
\(\left[\begin{array}{ccc|c}-1 & 1 & -1 & 0 \\ 2 & -2 & -3 & 25 \\ 3 & -4 & 3 & 2\end{array}\right] \rightarrow\left[\begin{array}{ccc|c}1 & 0 & 0 & 3 \\ 0 & 1 & 0 & -2 \\ 0 & 0 & 1 & -5\end{array}\right]\)
Resolver los siguientes sistemas de ecuaciones utilizando matrices aumentadas. Si no existe una solución, explique por qué no.
\[\begin{array}{c} 4 x-2 y &=-20 \\ x-3 y &=-15 \end{array}\]
\[\begin{array}{c} 3 x+5 y &=33 \\ -x &-2 y=-13 \end{array}\]
\[\begin{array}{c} x+4 y=11 \\ 3 x+12 y=33 \end{array}\]
\[\begin{array}{c} -3 x+y=-7 \\ -x+4 y=5 \end{array}\]
\[\begin{array}{c} 3 x+y &=6 \\ -6 x-2 y &=10 \end{array}\]
\[\begin{array}{c} 2 x-y+z &=4 \\ 4 x+7 y-z &=38 \\ -x+3 y+2 z &=23 \end{array}\]
\[\begin{array}{c} 4 x+y-z &=-16 \\ -3 x+4 y+z &=18 \\ x+y-3 z &=-17 \end{array}\]
\[\begin{array}{c} 3 x+2 y-3 z &=7 \\ -x+5 y+2 z &=29 \\ x+2 y+z &=15 \end{array}\]
\[\begin{array}{c} 2 x+y-2 z &=4 \\ -4 x-2 y+4 z &=-8 \\ 3 x+y-z &=5 \end{array}\]
\[\begin{array}{c} -x+3 y+z=11 \\ 3 x+y+2 z=27 \\ 5 x-y-z=5 \end{array}\]
\[\begin{array}{c} 3 x+2 y+4 z &=21 \\ -2 x+3 y+z &=-11 \\ x+2 y-3 z &=-3 \end{array}\]
\[\begin{array}{c} -x+2 y-6 z=4 \\ 8 x+5 y+3 z=-8 \\ 2 x-4 y+12 z=5 \end{array}\]
\[\begin{array}{c} 3 x+5 y+8 z &=37 \\ -6 x+3 y+z &=42 \\ x+3 y-2 z &=5 \end{array}\]
\[\begin{array}{c} 4 x+y-6 z &=-38 \\ 2 x+7 y+8 z &=108 \\ -3 x+2 y-3 z &=-15 \end{array}\]
\[\begin{array}{c} 6 x+3 y-2 z &=-22 \\ -4 x-2 y+4 z &=28 \\ 3 x+3 y+2 z &=7 \end{array}\]