1.9:30-60-90 Triángulos Rectos

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La hipotenusa equivale al doble de la pierna más pequeña, mientras que la pierna más grande\(sqrt{3}\) es por la menor.

Uno de los dos triángulos rectos especiales se llama triángulo 30-60-90, después de sus tres ángulos.

30-60-90 Teorema: Si un triángulo tiene medidas de ángulo\(30^{\circ}\),\(60^{\circ}\) y\(90^{\circ}\), entonces los lados están en la relación\(x: x\sqrt{3}:2x\).

La pierna más corta es siempre\(x\), la pierna más larga es siempre\(x\sqrt{3}\), y la hipotenusa es siempre\(2x\). Si alguna vez olvidas estos teoremas, aún puedes usar el Teorema de Pitágoras.

¿Y si te dieran un triángulo rectángulo 30-60-90 y la longitud de uno de sus lados? ¿Cómo podrías averiguar las longitudes de sus otros lados?

Ejemplo\(\PageIndex{1}\)

Encuentra el valor de\(x\) y\(y\).

f-d_f253e0915a3a06ec0d626be4e6d23bcd759bdf5480908ad2fcd50348+image_tiny+image_tiny.png — Figura\(\PageIndex{1}\)

Solución

Se nos da la pierna más larga.

\(\begin{aligned} x\sqrt{3} &=12 \\ x&=12\sqrt{3}\cdot \dfrac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}=12\dfrac{\sqrt{3}}{3}=4\sqrt{3} \\ \text{The hypotenuse is } y&=2(4\sqrt{3})=8\sqrt{3} \end{aligned}\)

Ejemplo\(\PageIndex{2}\)

Encuentra el valor de\(x\) y\(y\).

f-d_54966f54aaec43bfd1b984a46d9b523714d601e30028766637c91a37+image_tiny+image_tiny.png — Figura\(\PageIndex{2}\)

Solución

Se nos da la hipotenusa.

\(\begin{aligned} 2x&=16 \\ x&=8 \\ \text{The longer leg is } y&=8\cdot \sqrt{3}&=8\sqrt{3} \end{aligned} \)

Ejemplo\(\PageIndex{3}\)

Encuentra la longitud de los lados faltantes.

f-d_6cf56285ac6d4e253c51867d19ce5f1cf4dd5eb5ccd2c207bc43f65d+image_tiny+image_tiny.png — Figura\(\PageIndex{3}\)

Solución

Se nos da la pierna más corta. Si\(x=5\), entonces la pierna más larga,\(b=5\sqrt{3}\), y la hipotenusa,\(c=2(5)=10\).

Ejemplo\(\PageIndex{4}\)

Encuentra la longitud de los lados faltantes.

f-d_382c5686a01a4042d0dc31e15fa8fa9f0185f564b927cd65b93dc128+image_tiny+image_tiny.png — Figura\(\PageIndex{4}\)

Solución

Se nos da la hipotenusa. \(2x=20\), entonces la pierna más corta,\(f=\dfrac{20}{2}=10\), y la pierna más larga,\(g=10\sqrt{3}\).

Ejemplo\(\PageIndex{5}\)

Un rectángulo tiene lados 4 y\(4\sqrt{3}\). ¿Cuál es la longitud de la diagonal?

Solución

Si no te dan una imagen, dibuja una.

f-d_bfba1fae7bcbddafcff19d9ed2213028dcb883213bc48f78ea211ab7+image_tiny+image_tiny.png — Figura\(\PageIndex{5}\)

Las dos longitudes son\(x\),\(x\sqrt{3}\), entonces la diagonal sería\(2x\), o\(2(4)=8\).

Si no reconociste que este es un triángulo 30-60-90, también puedes usar el Teorema de Pitágoras.

\(\begin{aligned} 4^2+(4\sqrt{3})^2&=d^2 \\ 16+48&=d^2 \\ d=\sqrt{64}&=8 \end{aligned}\)

Revisar

En un triángulo 30-60-90, si la pierna más corta es 5, entonces la pierna más larga es __________ y la hipotenusa es ___________.
En un triángulo 30-60-90, si la pierna más corta es\(x\), entonces la pierna más larga es __________ y la hipotenusa es ___________.
Un rectángulo tiene lados de longitud 6 y\(6\sqrt{3}\). ¿Cuál es la longitud de la diagonal?
Dos lados (opuestos) de un rectángulo son 10 y la diagonal es 20. ¿Cuál es la longitud de los otros dos lados?

Para las preguntas 5-12, encuentra los largos de los lados faltantes. Simplifica todos los radicales.

Figura\(\PageIndex{6}\)
Figura\(\PageIndex{7}\)
Figura\(\PageIndex{8}\)
Figura\(\PageIndex{9}\)
Figura\(\PageIndex{10}\)
Figura\(\PageIndex{11}\)
Figura\(\PageIndex{12}\)
Figura\(\PageIndex{13}\)

Reseña (Respuestas)

Para ver las respuestas de Revisar, abra este archivo PDF y busque la sección 8.6.

Recursos

El vocabulario

Término	Definición
Teorema 30-60-90	Si un triángulo tiene medidas de ángulo de 30, 60 y 90 grados, entonces los lados están en la proporción\(x : x \sqrt{3} : 2x\)
Triángulo 30-60-90	Un triángulo 30-60-90 es un triángulo rectángulo especial con ángulos de\(30^{\circ}\),\(60^{\circ}\), y\(90^{\circ}\).
Hipotenusa	La hipotenusa de un triángulo rectángulo es el lado más largo del triángulo rectángulo. Está frente al ángulo recto.
Piernas de un triángulo rectángulo	Las patas de un triángulo rectángulo son los dos lados más cortos del triángulo rectángulo. Las patas están adyacentes al ángulo recto.
Teorema de Pitágoras	El Teorema de Pitágoras es una relación matemática entre los lados de un triángulo rectángulo\(a^2+b^2=c^2\), dada por, donde a y b son patas del triángulo y c es la hipotenusa del triángulo.
Radical	El signo\(\sqrt{}\), o raíz cuadrada,.