2.1.1: Trigonometría de Triángulo Recto

Seno, coseno, tangente y otras relaciones de lados de un triángulo rectángulo.

Seno, coseno y tangente

La trigonometría es el estudio de las relaciones entre los lados y los ángulos de los triángulos rectos. Las patas se denominan adyacentes u opuestas dependiendo del ángulo agudo que se esté utilizando.

Figura\(\PageIndex{1}\)

\(\begin{aligned} a \text{ is adjacent to } \angle B \qquad a \text{ is opposite } \angle A \\ b \text{ is adjacent to } \angle A \qquad b \text{ is opposite } \angle B\\ c \text{ is the hypotenuse }\end{aligned}\)

Las tres relaciones trigonométricas básicas se denominan seno, coseno y tangente. Para triángulo rectángulo ∆ABC, tenemos:

\ (\ begin {alineado}
\ text {seno Ratio:}\ dfrac {\ text {pierna opuesta}} {\ texto {hipotenusa}}\ qquad\ sin A=\ dfrac {a} {c}\ texto {o}\ sin B=\ dfrac {b} {c}\
\ text {coseno Ratio:}\ dfrac {\ texto {pierna adyacente}} {texto {hipotenusa}}\ qquad\ cos A=\ dfrac {b} {c}\ texto {o}\ cos B=\ dfrac {a} {c}\ \
\ texto {Relación tangente:}\ dfrac {\ texto {pierna opuesta}} {\ texto {pierna adyacente}}\ qquad\ tan A=\ dfrac {a} {b}\ texto {o}\ tan B=\ dfrac {b} {a}
\ end {alineado}\)

Una manera fácil de recordar las proporciones es usar SOH-CAH-TOA.

Figura\(\PageIndex{2}\)

Algunos puntos importantes:

• Siempre reduce las proporciones (fracciones) cuando puedas.
• Usa el Teorema de Pitágoras para encontrar el lado faltante (si lo hay).
• Si hay un radical en el denominador, racionalizar el denominador.

¿Y si te dieran un triángulo rectángulo y te dijeran que sus lados miden 3, 4 y 5 pulgadas? ¿Cómo podrías encontrar el seno, el coseno y la tangente de uno de los ángulos no rectos del triángulo?

Ejemplo\(\PageIndex{1}\)

Encuentra el seno, coseno y proporciones tangentes de\(\angle A\).

Figura\(\PageIndex{3}\)

Solución

Primero, necesitamos usar el Teorema de Pitágoras para encontrar la longitud de la hipotenusa.

\ (\ begin {alineado}
5^ {2} +12^ {2} &=c^ {2}\\
13 &=c\ end {alineado}\)

\ (\ begin {alineado}
\ sin A &=\ dfrac {l e g\ texto {opuesto}\ ángulo A} {\ texto {hipotenusa}} =\ dfrac {12} {13} &\ cos A=\ dfrac {\ texto {pierna adyacente a}\ ángulo A} {\ texto {hipotenusa}} =\ dfrac {5} {13},\
\ tan\ A &=\ dfrac {\ text {pierna opuesta}\ ángulo A} {\ texto {pierna adyacente a}\ ángulo A} =\ dfrac {12} {5}
\ final {alineado}\)

Ejemplo\(\PageIndex{2}\)

Encuentra el seno, coseno, y tangente de\(\angle B\).

Figura\(\PageIndex{4}\)

Encuentra la longitud del lado faltante.

Solución

\ (\ begin {alineado}
A C^ {2} +5^ {2} &=15^ {2}\
A C^ {2} &=200\\
A C &=10\ sqrt {2}\ end {alineado}\)

\ (\ begin {alineado}\ sin B &=\ dfrac {10\ sqrt {2}} {15} =\ dfrac {2\ sqrt {2}} {3}\ quad\ cos B=\ dfrac {5} {15} =\ dfrac {1} {3}\ quad\ tan B=\ dfrac {10\ sqrt {2}} {5} =2\ sqrt {2}
\ final {alineado}\)

Ejemplo\(\PageIndex{3}\)

Encuentra el seno, coseno y tangente de\(30^{\circ}\).

Figura\(\PageIndex{5}\)

Solución

Se trata de un triángulo 30-60-90. La pierna corta es de 6,\(y=6\sqrt{3}\) y\(x=12\).

\(\sin 30^{\circ}=\dfrac{6}{12}=\dfrac{1}{2} \qquad \cos30^{\circ}=\dfrac{6\sqrt{3}}{12}=\dfrac{\sqrt{3}}{2} \qquad \tan 30^{\circ}=\dfrac{6}{6\sqrt{3}}=\dfrac{1}{\sqrt{3}}\cdot \dfrac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}=\dfrac{\sqrt{3}}{3}\)

Ejemplo\(\PageIndex{4}\)

Contesta las preguntas sobre la siguiente imagen. Reducir todas las fracciones.

Figura\(\PageIndex{6}\)

¿Qué es\(\sin A\)\(\cos A\), y\(\tan A\)?

Solución

\ (\ begin {array} {l}
\ sin A=\ dfrac {16} {20} =\ dfrac {4} {5}\
\ cos A=\ dfrac {12} {20} =\ dfrac {3} {5}\
\ tan A=\ dfrac {16} {12} =\ dfrac {4} {3}
\ end {array}\)

Revisar

Usa el diagrama para rellenar los espacios en blanco a continuación.

Figura\(\PageIndex{7}\)

1. \(\tan D=\dfrac{?}{?}\)
2. \(\sin F=\dfrac{?}{?}\)
3. \(\tan F=\dfrac{?}{?}\)
4. \(\cos F=\dfrac{?}{?}\)
5. \(\sin D=\dfrac{?}{?}\)
6. \(\cos D=\dfrac{?}{?}\)

De las preguntas 1-6, podemos concluir lo siguiente. Rellene los espacios en blanco.

7. \(\cos \underline{\qquad}=\sin F\)y\(\sin \underline{\qquad}=\cos F\).
8. \(\tan D\)y\(\tan F\) son _________ el uno del otro.

Encuentra el seno, coseno y tangente de\(\angle A\). Reducir todas las fracciones y radicales.

9. 
   

   Figura\(\PageIndex{8}\)

10. 

    Figura\(\PageIndex{9}\)

11. 

    Figura\(\PageIndex{10}\)

12. 

    Figura\(\PageIndex{11}\)

13. Figura\(\PageIndex{12}\)

Reseña (Respuestas)

Para ver las respuestas de Revisar, abra este archivo PDF y busque la sección 8.7.

Recursos

El vocabulario

Término	Definición
Ángulo Agudo	Un ángulo agudo es un ángulo con una medida de menos de 90 grados.
Ángulos adyacentes	Dos ángulos son adyacentes si comparten un lado y un vértice. La palabra 'adyacente' significa 'al lado' o 'al lado de'.
Hipotenusa	La hipotenusa de un triángulo rectángulo es el lado más largo del triángulo rectángulo. Está frente al ángulo recto.
Patas de un Triángulo Recto	Las patas de un triángulo rectángulo son los dos lados más cortos del triángulo rectángulo. Las patas están adyacentes al ángulo recto.
opuesto	Lo contrario de un número\(x\) es\(−x\). Un número y su opuesto siempre suman a cero.
Teorema de Pitágoras	El Teorema de Pitágoras es una relación matemática entre los lados de un triángulo rectángulo\(a^2+b^2=c^2\), dada por, donde a y b son patas del triángulo y c es la hipotenusa del triángulo.
Radical	El signo\(\sqrt\), o raíz cuadrada,.
seno	El seno de un ángulo en un triángulo rectángulo es un valor que se encuentra dividiendo la longitud del lado opuesto al ángulo dado por la longitud de la hipotenusa.
Ratios trigonométricos	Ratios que nos ayudan a subestimar las relaciones entre lados y ángulos de triángulos rectos.

Recursos adicionales

Elemento Interactivo

Video: Introducción a las Funciones Trigonométricas U\ sin g Triángulos

Actividades: Seno, coseno, tangente Discusión Preguntas

Ayudas de estudio: Guía de estudio de relaciones trigonométricas

Práctica: Trigonometría de Triángulo Recto

Mundo real: Tangente de coseno