3.1.3: Identidades recíprocas
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Ya estás familiarizado con las identidades trigonométricas de seno, coseno y tangente. Como saben, cualquier fracción también tiene una inversa, que se encuentra invirtiendo las posiciones del numerador y denominador.
¿Puedes enumerar cuáles serían las proporciones para las tres funciones trigonométricas (seno, coseno y tangente) con los numeradores y denominadores invertidos?
Identidades recíprocas
Un recíproco de una fracción ab es la fracción ba. Es decir, encontramos el recíproco de una fracción intercambiando el numerador y el denominador, o volteando la fracción. Las seis funciones trig se pueden agrupar en pares como recíprocas.
Primero, considere la definición de la función sinusoidal para los ángulos de rotación:\(\sin \theta =\dfrac{y}{r}\). Consideremos ahora la función cosecante:\(\csc \theta=\dfrac{r}{y}\). En el círculo unitario, estos valores son\(\sin \theta =\dfrac{y}{1}=y\) y\(\csc \theta=\dfrac{1}{y}\). Estas dos funciones, por definición, son recíprocas. Por lo tanto, el valor sinusoidal de un ángulo es siempre el recíproco del valor cosecante, y viceversa. Por ejemplo, si\(\sin \theta =\dfrac{1}{2}\), entonces\(\csc \theta=\dfrac{2}{1}=2\).
Análogamente, la función coseno y la función secante son recíprocas, y la función tangente y cotangente son recíprocas:
\ (\ begin {alineado}
\ sec\ theta &=\ frac {1} {\ cos\ theta} &\ text {o} &\ cos\ theta=\ frac {1} {\ sec\ theta}\
\\ cot\ theta &=\ frac {1} {\ tan\ theta} &\ text {o} & tan\ theta=\ frac {1} {\ cot\ theta}
\ final {alineado}\)
Uso de identidades recíprocas
Encuentra el valor de las siguientes expresiones usando una identidad recíproca.
1. \(\cos \theta=.3\),\(\sec \theta=?\)
\(\sec \theta=\dfrac{10}{3}\)
Estas funciones son recíprocas, así que si\(\cos \theta=.3\), entonces\(\sec \theta=1.3\). Es más fácil encontrar el recíproco si expresamos los valores como fracciones:\(\cos \theta=.3=\dfrac{3}{10} \Rightarrow \sec \theta=103\).
2. \(\cot \theta=\dfrac{4}{3}\),\(\tan \theta=?\)
Estas funciones son recíprocas, y la recíproca de\(\dfrac{4}{3}\) es\(\dfrac{3}{4}\).
También podemos usar las relaciones recíprocas para determinar el dominio y el rango de funciones.
3. \(\sin \theta =\dfrac{1}{2}\),\(\csc \theta=?\)
Estas funciones son recíprocas, y la recíproca de\(\dfrac{1}{2}\) es 2.
Anteriormente, se le pidió que enumerara las proporciones para las tres funciones trigonométricas con los numeradores y denominadores invertidos.
Solución
Dado que las tres funciones trig regulares se definen como:
\(\begin{aligned} \sin&=\dfrac{\text{opposite}}{\text{hypotenuse}} \\ \cos&=\dfrac{\text{adjacent}}{\text{hypotenuse}} \\ \tan&=\dfrac{\text{opposite}}{\text{adjacent}} \end{aligned}\)
entonces las tres funciones - llamadas “funciones recíprocas” son:
\(\begin{aligned}\csc&=\dfrac{\text{hypotenuse}}{\text{opposite}} \\ \sec&=\dfrac{\text{hypotenuse}}{\text{adjacent}}\\ \cot&=\dfrac{\text{adjacent}}{\text{opposite}}\end{aligned}\)
Declarar la función recíproca de cosecante.
Solución
La función recíproca de cosecante es seno.
Encuentra el valor de la expresión usando una identidad recíproca.
\(\sec \theta=\dfrac{2}{\pi}\),\(\cos \theta=?\)
Solución
Estas funciones son recíprocas, y la recíproca de\(\dfrac{2}{\pi}\) es\(\dfrac{\pi}{2}\).
Encuentra el valor de la expresión usando una identidad recíproca.
\(\csc \theta=4\),\(\cos \theta=?\)
Solución
Estas funciones son recíprocas, y la recíproca de 4 es\(\dfrac{1}{4}\).
Revisar
- Declarar la función recíproca de secante.
- Declarar la función recíproca de la cotangente.
- Declarar la función recíproca del seno.
Encuentra el valor de la expresión usando una identidad recíproca.
- \(\sin \theta =\dfrac{1}{2}\),\(\csc \theta=?\)
- \(\cos \theta=\dfrac{−\sqrt{3}}{2}\),\(\sec \theta=?\)
- \(\tan \theta=1\),\(\cot \theta=?\)
- \(\sec \theta=\sqrt{2}\),\(\cos \theta=?\)
- \(\csc \theta=2\),\(\sin \theta =?\)
- \(\cot \theta=−1\),\(\tan \theta=?\)
- \(\sin \theta =\dfrac{\sqrt{3}}{2}\),\(\csc \theta=?\)
- \(\cos \theta=0\),\(\sec \theta=?\)
- \(\tan \theta=\text{undefined}\),\(\cot \theta=?\)
- \(\csc \theta=\dfrac{2\sqrt{3}}{3}\),\(\sin \theta =?\)
- \(\sin \theta =\dfrac{−1}{2}\)y\(\tan \theta=\dfrac{\sqrt{3}}{3}\),\(\cos \theta=?\)
- \(\cos \theta=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\)y\(\tan \theta=1\),\(\sin \theta =?\)
Reseña (Respuestas)
Para ver las respuestas de Revisar, abra este archivo PDF y busque la sección 1.21.
El vocabulario
| Término | Definición |
|---|---|
| dominio | El dominio de una función es el conjunto de valores x para los que se define la función. |
| Rango | El rango de una función es el conjunto de valores y para los que se define la función. |
| Función Trig Recíproca | Una función trigonométrica recíproca es una función que es la recíproca de una función trigonométrica típica. Por ejemplo, ya que\(\sin x=\dfrac{\text{opposite}}{\text{hypotenuse}}\), la función recíproca es\(\csc x=\dfrac{\text{hypotenuse}}{\text{opposite}}\) |