3.1.3: Identidades recíprocas
( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\)
Relación entre seno/coseno/tangente y cosecante/secante/cotangente.
Ya estás familiarizado con las identidades trigonométricas de seno, coseno y tangente. Como saben, cualquier fracción también tiene una inversa, que se encuentra invirtiendo las posiciones del numerador y denominador.
¿Puedes enumerar cuáles serían las proporciones para las tres funciones trigonométricas (seno, coseno y tangente) con los numeradores y denominadores invertidos?
Identidades recíprocas
Un recíproco de una fracción ab es la fracción ba. Es decir, encontramos el recíproco de una fracción intercambiando el numerador y el denominador, o volteando la fracción. Las seis funciones trig se pueden agrupar en pares como recíprocas.
Primero, considere la definición de la función sinusoidal para los ángulos de rotación:sinθ=yr. Consideremos ahora la función cosecante:cscθ=ry. En el círculo unitario, estos valores sonsinθ=y1=y ycscθ=1y. Estas dos funciones, por definición, son recíprocas. Por lo tanto, el valor sinusoidal de un ángulo es siempre el recíproco del valor cosecante, y viceversa. Por ejemplo, sisinθ=12, entoncescscθ=21=2.
Análogamente, la función coseno y la función secante son recíprocas, y la función tangente y cotangente son recíprocas:
\ (\ begin {alineado}
\ sec\ theta &=\ frac {1} {\ cos\ theta} &\ text {o} &\ cos\ theta=\ frac {1} {\ sec\ theta}\
\\ cot\ theta &=\ frac {1} {\ tan\ theta} &\ text {o} & tan\ theta=\ frac {1} {\ cot\ theta}
\ final {alineado}\)
Uso de identidades recíprocas
Encuentra el valor de las siguientes expresiones usando una identidad recíproca.
1. cosθ=.3,secθ=?
secθ=103
Estas funciones son recíprocas, así que sicosθ=.3, entoncessecθ=1.3. Es más fácil encontrar el recíproco si expresamos los valores como fracciones:cosθ=.3=310⇒secθ=103.
2. cotθ=43,tanθ=?
Estas funciones son recíprocas, y la recíproca de43 es34.
También podemos usar las relaciones recíprocas para determinar el dominio y el rango de funciones.
3. sinθ=12,cscθ=?
Estas funciones son recíprocas, y la recíproca de12 es 2.
Anteriormente, se le pidió que enumerara las proporciones para las tres funciones trigonométricas con los numeradores y denominadores invertidos.
Solución
Dado que las tres funciones trig regulares se definen como:
sin=oppositehypotenusecos=adjacenthypotenusetan=oppositeadjacent
entonces las tres funciones - llamadas “funciones recíprocas” son:
csc=hypotenuseoppositesec=hypotenuseadjacentcot=adjacentopposite
Declarar la función recíproca de cosecante.
Solución
La función recíproca de cosecante es seno.
Encuentra el valor de la expresión usando una identidad recíproca.
secθ=2π,cosθ=?
Solución
Estas funciones son recíprocas, y la recíproca de2π esπ2.
Encuentra el valor de la expresión usando una identidad recíproca.
cscθ=4,cosθ=?
Solución
Estas funciones son recíprocas, y la recíproca de 4 es14.
Revisar
- Declarar la función recíproca de secante.
- Declarar la función recíproca de la cotangente.
- Declarar la función recíproca del seno.
Encuentra el valor de la expresión usando una identidad recíproca.
- sinθ=12,cscθ=?
- cosθ=−√32,secθ=?
- tanθ=1,cotθ=?
- secθ=√2,cosθ=?
- cscθ=2,sinθ=?
- cotθ=−1,tanθ=?
- sinθ=√32,cscθ=?
- cosθ=0,secθ=?
- tanθ=undefined,cotθ=?
- cscθ=2√33,sinθ=?
- sinθ=−12ytanθ=√33,cosθ=?
- cosθ=√22ytanθ=1,sinθ=?
Reseña (Respuestas)
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El vocabulario
Término | Definición |
---|---|
dominio | El dominio de una función es el conjunto de valores x para los que se define la función. |
Rango | El rango de una función es el conjunto de valores y para los que se define la función. |
Función Trig Recíproca | Una función trigonométrica recíproca es una función que es la recíproca de una función trigonométrica típica. Por ejemplo, ya quesinx=oppositehypotenuse, la función recíproca escscx=hypotenuseopposite |