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9.4: Mala prensa

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    151012
  • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)\(\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}\)

    Digamos que un banco quiere asegurarse de que su nuevo comercial los haga quedar bien al público, por lo que reclutan a 7 personas para que vean el comercial como un grupo focal. Los miembros del grupo focal rellenan un breve cuestionario sobre cómo ven a la empresa, luego ven el comercial y rellenan el mismo cuestionario por segunda vez. El banco realmente quiere encontrar resultados significativos, por lo que prueban para un cambio en\(α\) = 0.10. No obstante, usan una prueba de 2 colas ya que saben que los comerciales pasados no han ido bien con el público, y quieren asegurarse de que el nuevo no sea contraproducente. Deciden probar su hipótesis usando un intervalo de confianza para ver qué tan dispersas están las opiniones. Como veremos, los intervalos de confianza funcionan de la misma manera que antes, al igual que con el estadístico de prueba.

    Paso 1: Indicar las Hipótesis Como siempre, comenzamos con hipótesis:

    \(H_0\): No hay ningún cambio en la forma en que la gente ve el banco

    \(H_0: μD = 0\)

    \(H_A\): Hay un cambio en la forma en que la gente ve el banco

    \(H_A: μD ≠ 0\)

    Paso 2: Encontrar los valores críticos Al igual que con nuestro procedimiento regular de prueba de hipótesis, necesitaremos valores críticos del nivel apropiado de significancia y grados de libertad para formar nuestro intervalo de confianza. Debido a que tenemos 7 participantes, nuestros grados de libertad son\(df\) = 6. De nuestra tabla t, encontramos que el valor crítico correspondiente a este df en este nivel de significancia es\(t*\) = 1.943.

    S tep 3: Calcular el Intervalo de Confianza Los datos recopilados antes (tiempo 1) y después (tiempo 2) que los participantes vieron el comercial se presentan en la Tabla\(\PageIndex{1}\). Para construir nuestro intervalo de confianza, primero tendremos que calcular la media y la desviación estándar de las puntuaciones de diferencia, que también están en Tabla\(\PageIndex{1}\). Como recordatorio, las puntuaciones de diferencia se calculan como Tiempo 2 — Tiempo 1.

    Tabla\(\PageIndex{1}\): Opiniones del banco
    Tiempo 1 Tiempo 2 \(X_{D}\)
    3 2 \ (X_ {D}\) ">-1
    3 6 \ (X_ {D}\) ">3
    5 3 \ (X_ {D}\) ">-2
    8 4 \ (X_ {D}\) ">-4
    3 9 \ (X_ {D}\) ">6
    1 2 \ (X_ {D}\) ">1
    4 5 \ (X_ {D}\) ">1

    La media de las puntuaciones de diferencia es:

    \[\overline{X_{D}}=\dfrac{\sum X_{D}}{n}=\dfrac{4}{7}=0.57 \nonumber \]

    La desviación estándar se resolverá primero usando la Tabla Suma de Cuadrados:

    Tabla\(\PageIndex{2}\): Suma de Cuadrados
    \(X_{D}\) \(X_{D}-\overline{X_{D}}\) \((X_{D}-\overline{X_{D}})^2\)
    \ (X_ {D}\) ">-1 \ (X_ {D} -\ overline {X_ {D}}\) ">-1.57 \ ((X_ {D} -\ overline {X_ {D}}) ^2\) ">2.46
    \ (X_ {D}\) ">3 \ (X_ {D} -\ overline {X_ {D}}\) ">2.43 \ ((X_ {D} -\ overline {X_ {D}}) ^2\) ">5.90
    \ (X_ {D}\) ">-2 \ (X_ {D} -\ overline {X_ {D}}\) ">-2.57 \ ((X_ {D} -\ overline {X_ {D}}) ^2\) ">6.60
    \ (X_ {D}\) ">-4 \ (X_ {D} -\ overline {X_ {D}}\) ">-4.57 \ ((X_ {D} -\ overline {X_ {D}}) ^2\) ">20.88
    \ (X_ {D}\) ">6 \ (X_ {D} -\ overline {X_ {D}}\) ">5.43 \ ((X_ {D} -\ overline {X_ {D}}) ^2\) ">29.48
    \ (X_ {D}\) ">1 \ (X_ {D} -\ overline {X_ {D}}\) ">0.43 \ ((X_ {D} -\ overline {X_ {D}}) ^2\) ">0.18
    \ (X_ {D}\) ">1 \ (X_ {D} -\ overline {X_ {D}}\) ">0.43 \ ((X_ {D} -\ overline {X_ {D}}) ^2\) ">0.18
    \ (X_ {D}\) ">\(\Sigma=4\) \ (X_ {D} -\ overline {X_ {D}}\) ">\(\Sigma=0\) \ ((X_ {D} -\ overline {X_ {D}}) ^2\) ">\(\Sigma=65.68\)

    \[s_{D}=\sqrt{\dfrac{S S}{d f}}=\sqrt{\dfrac{65.68}{6}}=\sqrt{10.95}=3.31 \nonumber \]

    Finalmente, encontramos el error estándar:

    \[s_{\overline{X_{D}}}=^{S_{D}} / \sqrt{n}=3.31 / \sqrt{7}=1.25 \nonumber \]

    Ahora tenemos todas las piezas necesarias para calcular nuestro intervalo de confianza:

    \[\begin{array}{c}{95 \% C I=\overline{X_{D}} \pm t^{*}\left(s_{\bar{X}_{D}}\right)} \\ {95 \% C I=0.57 \pm 1.943(1.25)}\end{array} \nonumber \]

    \[\begin{aligned} \text {Upper Bound} &=0.57+1.943(1.25) \\ U B &=0.57+2.43 \\ U B &=3.00 \end{aligned} \nonumber \]

    \[\begin{aligned} \text {Lower Bound} &=0.57-1.943(1.25) \\ L B=& 0.57-2.43 \\ L B &=-1.86 \end{aligned} \nonumber \]

    \[95 \% C I=(-1.86,3.00) \nonumber \]

    Paso 4: Tomar la Decisión Recuerde que el intervalo de confianza representa un rango de valores que parecen plausibles o razonables con base en nuestros datos observados. El intervalo abarca -1.86 a 3.00, lo que incluye 0, nuestro valor de hipótesis nulo. Debido a que el valor de hipótesis nula está en el intervalo, se considera un valor razonable, y por ser un valor razonable, no tenemos evidencia en su contra. No podemos rechazar la hipótesis nula.

    No Rechazar\(H_0\). Con base en nuestro grupo focal de 7 personas, no podemos decir que el cambio promedio de opinión (\(\overline{X_{D}}\)= 0.57) fue mejor o peor después de ver el comercial, CI: (-1.86, 3.00).

    Al igual que antes, solo reportamos el intervalo de confianza para indicar cómo realizamos la prueba.


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