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4.3: Valor medio o esperado y desviación estándar

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    153181
  • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)\(\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}\)

    El valor esperado a menudo se conoce como el promedio o media “a largo plazo”. Esto significa que a largo plazo de hacer un experimento una y otra vez, se esperaría este promedio.

    Usted arroja una moneda y registra el resultado. ¿Cuál es la probabilidad de que el resultado sea cabezas? Si volteas una moneda dos veces, ¿la probabilidad te dice que estas volteretas resultarán en una cabeza y una cola? Podrías arrojar diez veces una moneda justa y grabar nueve cabezas. Como aprendiste en el Capítulo 3, la probabilidad no describe los resultados a corto plazo de un experimento. Da información sobre lo que se puede esperar a largo plazo. Para demostrarlo, ¡Karl Pearson una vez arrojó una moneda justa 24,000 veces! Registró los resultados de cada lanzamiento, obteniendo cabezas 12,012 veces. En su experimento, Pearson ilustró la Ley de los Grandes Números.

    La Ley de Grandes Números establece que, a medida que aumenta el número de ensayos en un experimento de probabilidad, la diferencia entre la probabilidad teórica de un evento y la frecuencia relativa se acerca a cero (la probabilidad teórica y la frecuencia relativa se acercan cada vez más). Al evaluar los resultados a largo plazo de experimentos estadísticos, a menudo queremos conocer el resultado “promedio”. Este “promedio a largo plazo” se conoce como el valor medio o esperado del experimento y se denota con la letra griega\(\mu\). En otras palabras, después de realizar muchos ensayos de un experimento, se esperaría este valor promedio.

    Para encontrar el valor esperado o promedio a largo plazo,\(\mu\), simplemente multiplique cada valor de la variable aleatoria por su probabilidad y sume los productos.

    Ejemplo\(\PageIndex{1}\)

    Un equipo de fútbol masculino juega fútbol cero, uno o dos días a la semana. La probabilidad de que jueguen cero días es 0.2, la probabilidad de que jueguen un día es 0.5, y la probabilidad de que jueguen dos días es 0.3. Encuentra el promedio a largo plazo o valor esperado\(\mu\),, del número de días por semana que el equipo masculino de futbol juega futbol.

    Solución

    Para hacer el problema, primero dejar que la variable aleatoria\(X =\) el número de días que el equipo masculino de futbol juega futbol por semana. \(X\)toma los valores 0, 1, 2. Construye una tabla PDF agregando una columna\(x*P(x)\). En esta columna, multiplicarás cada\(x\) valor por su probabilidad.

    Tabla de valores esperados Esta tabla se denomina tabla de valores esperados. La tabla te ayuda a calcular el valor esperado o promedio a largo plazo.
    \(x\) \(P(x)\) \(x*P(x)\)
    \ (x\) ">0 \ (P (x)\) ">0.2 \ (x*P (x)\) "> (0) (0.2) = 0
    \ (x\) ">1 \ (P (x)\) ">0.5 \ (x*P (x)\) "> (1) (0.5) = 0.5
    \ (x\) ">2 \ (P (x)\) ">0.3 \ (x*P (x)\) "> (2) (0.3) = 0.6

    Agrega la última columna\(x*P(x)\) para encontrar el promedio a largo plazo o el valor esperado:

    \[(0)(0.2) + (1)(0.5) + (2)(0.3) = 0 + 0.5 + 0.6 = 1.1. \nonumber\]

    El valor esperado es 1.1. El equipo de futbol varonil esperaría, en promedio, jugar futbol 1.1 días a la semana. El número 1.1 es el promedio a largo plazo o valor esperado si el equipo masculino de futbol juega futbol semana tras semana tras semana. Nosotros decimos\(\mu = 1.1\).

    Ejemplo\(\PageIndex{2}\)

    Encuentra el valor esperado de la cantidad de veces que el llanto de un bebé recién nacido despierta a su madre después de medianoche. El valor esperado es el número esperado de veces a la semana que el llanto de un bebé recién nacido despierta a su madre después de la medianoche. Calcular también la desviación estándar de la variable.

    Se espera que un recién nacido despierte a su madre después de la medianoche 2.1 veces por semana, en promedio.

    \(x\) \(P(x)\) \(x*P(x)\) (x —\(\mu)^{2} ⋅ P(x)\)
    \ (x\)” style="vertical-align:middle; ">0 \ (P (x)\)” style="vertical-align:middle; ">\(P(x = 0) = \dfrac{2}{50}\) \ (x*p (x)\)” style="vertical-align:middle; ">\((0)\left(\dfrac{2}{50}\right) = 0\) \ (\ mu) ^ {2} ⋅ P (x)\)” style="vertical-align:middle; "> (0 — 2.1) 2 ⋅ 0.04 = 0.1764
    \ (x\)” style="vertical-align:middle; ">1 \ (P (x)\)” style="vertical-align:middle; ">\(P(x = 1) = \dfrac{11}{50}\) \ (x*p (x)\)” style="vertical-align:middle; ">\((1)\left(\dfrac{11}{50}\right) = \dfrac{11}{50}\) \ (\ mu) ^ {2} ⋅ P (x)\)” style="vertical-align:middle; "> (1 — 2.1) 2 ⋅ 0.22 = 0.2662
    \ (x\)” style="vertical-align:middle; ">2 \ (P (x)\)” style="vertical-align:middle; ">\(P(x = 2) = \dfrac{23}{50}\) \ (x*p (x)\)” style="vertical-align:middle; ">\((2)\left(\dfrac{23}{50}\right) = \dfrac{46}{50}\) \ (\ mu) ^ {2} ⋅ P (x)\)” style="vertical-align:middle; "> (2 — 2.1) 2 ⋅ 0.46 = 0.0046
    \ (x\)” style="vertical-align:middle; ">3 \ (P (x)\)” style="vertical-align:middle; ">\(P(x = 3) = \dfrac{9}{50}\) \ (x*p (x)\)” style="vertical-align:middle; ">\((3)\left(\dfrac{9}{50}\right) = \dfrac{27}{50}\) \ (\ mu) ^ {2} ⋅ P (x)\)” style="vertical-align:middle; "> (3 — 2.1) 2 ⋅ 0.18 = 0.1458
    \ (x\)” style="vertical-align:middle; ">4 \ (P (x)\)” style="vertical-align:middle; ">\(P(x = 4) = \dfrac{4}{50}\) \ (x*p (x)\)” style="vertical-align:middle; ">\((4)\left(\dfrac{4}{50}\right) = \dfrac{16}{50}\) \ (\ mu) ^ {2} ⋅ P (x)\)” style="vertical-align:middle; "> (4 — 2.1) 2 ⋅ 0.08 = 0.2888
    \ (x\)” style="vertical-align:middle; ">5 \ (P (x)\)” style="vertical-align:middle; ">\(P(x = 5) = \dfrac{1}{50}\) \ (x*p (x)\)” style="vertical-align:middle; ">\((5)\left(\dfrac{1}{50}\right) = \dfrac{5}{50}\) \ (\ mu) ^ {2} ⋅ P (x)\)” style="vertical-align:middle; "> (5 — 2.1) 2 ⋅ 0.02 = 0.1682

    Suma los valores en la tercera columna de la tabla para encontrar el valor esperado de\(X\):

    \[\mu = \text{Expected Value} = \dfrac{105}{50} = 2.1 \nonumber\]

    \(\mu\)Úselo para completar la tabla. La cuarta columna de esta tabla proporcionará los valores que necesita para calcular la desviación estándar. Para cada valor\(x\), multiplique el cuadrado de su desviación por su probabilidad. (Cada desviación tiene el formato\(x – \mu\).

    Suma los valores en la cuarta columna de la tabla:

    \[0.1764 + 0.2662 + 0.0046 + 0.1458 + 0.2888 + 0.1682 = 1.05 \nonumber\]

    La desviación estándar de\(X\) es la raíz cuadrada de esta suma:\(\sigma = \sqrt{1.05} \approx 1.0247\)

    La media, μ, de una función de probabilidad discreta es el valor esperado.

    \[μ=∑(x∙P(x))\nonumber\]

    La desviación estándar, σ, del PDF es la raíz cuadrada de la varianza.

    \[σ=\sqrt{∑[(x – μ)2 ∙ P(x)]}\nonumber\]

    Cuando todos los resultados en la distribución de probabilidad son igualmente probables, estas fórmulas coinciden con la media y desviación estándar del conjunto de posibles resultados.

    Ejercicio\(\PageIndex{2}\)

    Un investigador del hospital está interesado en la cantidad de veces que el paciente posoperatorio promedio llamará a la enfermera durante un turno de 12 horas. Para una muestra aleatoria de 50 pacientes, se obtuvo la siguiente información. ¿Cuál es el valor esperado?

    \(x\) \(P(x)\)
    \ (x\)” style="vertical-align:middle; ">0 \ (P (x)\)” style="vertical-align:middle; ">\(P(x = 0) = \dfrac{4}{50}\)
    \ (x\)” style="vertical-align:middle; ">1 \ (P (x)\)” style="vertical-align:middle; ">\(P(x = 1) = \dfrac{8}{50}\)
    \ (x\)” style="vertical-align:middle; ">2 \ (P (x)\)” style="vertical-align:middle; ">\(P(x = 2) = \dfrac{16}{50}\)
    \ (x\)” style="vertical-align:middle; ">3 \ (P (x)\)” style="vertical-align:middle; ">\(P(x = 3) = \dfrac{14}{50}\)
    \ (x\)” style="vertical-align:middle; ">4 \ (P (x)\)” style="vertical-align:middle; ">\(P(x = 4) = \dfrac{6}{50}\)
    \ (x\)” style="vertical-align:middle; ">5 \ (P (x)\)” style="vertical-align:middle; ">\(P(x = 5) = \dfrac{2}{50}\)
    Responder

    El valor esperado es 2.24

    \[(0)\dfrac{4}{50} + (1)\dfrac{8}{50} + (2)\dfrac{16}{50} + (3)\dfrac{14}{50} + (4)\dfrac{6}{50} + (5)\dfrac{2}{50} = 0 + \dfrac{8}{50} + \dfrac{32}{50} + \dfrac{42}{50} + \dfrac{24}{50} + \dfrac{10}{50} = \dfrac{116}{50} = 2.32\]

    Ejemplo\(\PageIndex{2}\)

    Supongamos que juegas un juego de azar en el que se eligen cinco números entre 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Una computadora selecciona aleatoriamente cinco números de cero a nueve con reemplazo. Usted paga $2 para jugar y podría ganar $100,000 si coincide con los cinco números en orden (obtiene sus $2 de vuelta más $100,000). A largo plazo, ¿cuál es su beneficio esperado de jugar al juego?

    Para hacer este problema, configura una tabla de valores esperados para la cantidad de dinero que puedas sacar provecho.

    Deja que\(X =\) la cantidad de dinero que beneficies. Los valores de no\(x\) son 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Dado que está interesado en su ganancia (o pérdida), los valores de\(x\) son 100,000 dólares y −2 dólares.

    Para ganar, debes conseguir los cinco números correctos, en orden. La probabilidad de elegir un número correcto se\(\dfrac{1}{10}\) debe a que hay diez números. Puedes elegir un número más de una vez. La probabilidad de elegir los cinco números correctamente y en orden es

    \[\begin{align*} \left(\dfrac{1}{10}\right) \left(\dfrac{1}{10}\right) \left(\dfrac{1}{10}\right) \left(\dfrac{1}{10}\right) \left(\dfrac{1}{10}\right) &= (1)(10^{-5}) \\[5pt] &= 0.00001. \end{align*}\]

    Por lo tanto, la probabilidad de ganar es 0.00001 y la probabilidad de perder es

    \[1−0.00001=0.99999.1−0.00001 = 0.99999.\nonumber\]

    La tabla de valores esperados es la siguiente:

    αdd la última columna. —1.99998 + 1 = —0.99998

    \(x\) \(P(x)\) \(xP(x)\)
    Pérdida \ (x\) ">—2 \ (P (x)\) ">0.99999 \ (xP (x)\) "> (—2) (0.99999) = —1.99998
    Beneficio \ (x\) ">100.000 \ (P (x)\) ">0.00001 \ (xP (x)\) "> (100000) (0.00001) = 1

    Dado que —0.99998 es aproximadamente —1, esperarías, en promedio, perder aproximadamente $1 por cada juego que juegues. Sin embargo, cada vez que juegas, o pierdes $2 o ganas 100.000 dólares. El $1 es la pérdida promedio o esperada por juego después de jugar este juego una y otra vez.

    Ejercicio\(\PageIndex{3}\)

    Estás jugando un juego de azar en el que se extraen cuatro cartas de una baraja estándar de 52 cartas. Adivina el palo de cada carta antes de que se dibuje. Las cartas son reemplazadas en la baraja en cada sorteo. Pagas $1 por jugar. Si adivinas el traje adecuado cada vez, te devuelves tu dinero y 256 dólares. ¿Cuál es su beneficio esperado de jugar el juego a largo plazo?

    Responder

    Deja que\(X =\) la cantidad de dinero que beneficies. \(x\)Los valores -son —$1 y $256.

    La probabilidad de adivinar el palo correcto cada vez es\(\left(\dfrac{1}{4}\right) \left(\dfrac{1}{4}\right) \left(\dfrac{1}{4}\right) \left(\dfrac{1}{4}\right) = \dfrac{1}{256} = 0.0039\)

    La probabilidad de perder es\(1 – \dfrac{1}{256} = \dfrac{255}{256} = 0.9961\)

    \((0.0039)256 + (0.9961)(–1) = 0.9984 + (–0.9961) = 0.0023\)o\(0.23\) centavos.

    Ejemplo\(\PageIndex{4}\)

    Supongamos que juegas un juego con una moneda sesgada. Juegas cada juego arrojando la moneda una vez. \(P(\text{heads}) = \dfrac{2}{3}\)y\(P(\text{tails}) = \dfrac{1}{3}\). Si le das una cabeza, pagas $6. Si arrojas una cola, ganas $10. Si juegas a este juego muchas veces, ¿saldrías adelante?

    1. Definir una variable aleatoria\(X\).
    2. Complete la siguiente tabla de valores esperados.
    3. ¿Cuál es el valor esperado,\(\mu\)? ¿Usted sale adelante?

    Soluciones

    a.

    \(X\)= cantidad de ganancia

    \(x\) ____ ____
    GANAR \ (x\)” class="lt-estadas-739">10 \(\dfrac{1}{3}\) ____
    PERDER \ (x\)” class="lt-estadas-739">____ ____ \(\dfrac{-12}{3}\)

    b.

    \(x\) \(P(x)\) \(xP(x)\)
    GANAR \ (x\)” class="lt-estadas-739">10 \ (P (x)\)” class="lt-stats-739">\(\dfrac{1}{3}\) \ (xP (x)\)” class="lt-stats-739">\(\dfrac{10}{3}\)
    PERDER \ (x\)” class="lt-estados-739">—6 \ (P (x)\)” class="lt-stats-739">\(\dfrac{2}{3}\) \ (xP (x)\)” class="lt-stats-739">\(\dfrac{-12}{3}\)

    c.

    Añadir la última columna de la tabla. El valor esperado\(\mu = \dfrac{-2}{3}\). Pierdes, en promedio, alrededor de 67 centavos cada vez que juegas el juego para que no salgas adelante.

    Ejercicio\(\PageIndex{4}\)

    Supongamos que juegas un juego con un spinner. Juegas cada juego haciendo girar el spinner una vez. \(P(\text{red}) = \dfrac{2}{5}\),\(P(\text{blue}) = \dfrac{2}{5}\), y\(P(\text{green}) = \dfrac{1}{5}\). Si aterrizas en rojo, pagas $10. Si aterrizas en azul, no pagas ni ganas nada. Si aterrizas en verde, ganas $10. Complete la siguiente tabla de valores esperados.

    \(x\) \(P(x)\)
    Rojo \ (x\) "> \ (P (x)\) "> \(-\dfrac{20}{5}\)
    Azul \ (x\) "> \ (P (x)\) ">\(\dfrac{2}{5}\)
    Verde \ (x\) ">10 \ (P (x)\) ">
    Responder
    \(x\) \(P(x)\) \(x*P(x)\)
    Rojo \ (x\) ">—10 \ (P (x)\) ">\(\dfrac{2}{5}\) \ (x*p (x)\) ">\(-\dfrac{20}{5}\)
    Azul \ (x\) ">0 \ (P (x)\) ">\(\dfrac{2}{5}\) \ (x*p (x)\) ">\(\dfrac{0}{5}\)
    Verde \ (x\) ">10 \ (P (x)\) ">\(\dfrac{1}{5}\) \ (x*p (x)\) ">\(\dfrac{1}{5}\)

    Al igual que los datos, las distribuciones de probabilidad tienen desviaciones estándar. Para calcular la desviación estándar (σ) de una distribución de probabilidad, encontrar cada desviación de su valor esperado, cuadrarla, multiplicarla por su probabilidad, sumar los productos y tomar la raíz cuadrada. Para entender cómo hacer el cálculo, mira en la tabla el número de días a la semana que un equipo de futbol masculino juega futbol. Para encontrar la desviación estándar, agregue las entradas en la columna etiquetada\((x) – \mu^{2}P(x)\) y tome la raíz cuadrada.

    \(x\) \(P(x)\) \(x*P(x)\) \((x – \mu)^{2}P(x)\)
    \ (x\) ">0 \ (P (x)\) ">0.2 \ (x*P (x)\) "> (0) (0.2) = 0 \ ((x —\ mu) ^ {2} P (x)\) "> (0 — 1.1) 2 (0.2) = 0.242
    \ (x\) ">1 \ (P (x)\) ">0.5 \ (x*P (x)\) "> (1) (0.5) = 0.5 \ ((x —\ mu) ^ {2} P (x)\) "> (1 — 1.1) 2 (0.5) = 0.005
    \ (x\) ">2 \ (P (x)\) ">0.3 \ (x*P (x)\) "> (2) (0.3) = 0.6 \ ((x —\ mu) ^ {2} P (x)\) "> (2 — 1.1) 2 (0.3) = 0.243

    Agrega la última columna de la tabla. \(0.242 + 0.005 + 0.243 = 0.490\). La desviación estándar es la raíz cuadrada de 0.49, o\(\sigma = \sqrt{0.49} = 0.7\)

    Generalmente para distribuciones de probabilidad, utilizamos una calculadora o una computadora para calcular\(\mu\) y\(\sigma\) reducir el error de redondeo. Para algunas distribuciones de probabilidad, hay fórmulas de atajo para calcular\(\mu\) y\(\sigma\).

    Ejemplo\(\PageIndex{5}\)

    Lanza dos veces un dado justo de seis lados. Let\(X\) = el número de caras que muestran un número par. Construir una tabla como Tabla y calcular la media\(\mu\) y desviación estándar\(\sigma\) de\(X\).

    Solución

    El lanzamiento de un dado justo de seis lados dos veces tiene el mismo espacio de muestra que lanzar dos dados justos de seis lados. El espacio muestral tiene 36 resultados:

    (1, 1) (1, 2) (1, 3) (1, 4) (1, 5) (1, 6)
    (2, 1) (2, 2) (2, 3) (2, 4) (2, 5) (2, 6)
    (3, 1) (3, 2) (3, 3) (3, 4) (3, 5) (3, 6)
    (4, 1) (4, 2) (4, 3) (4, 4) (4, 5) (4, 6)
    (5, 1) (5, 2) (5, 3) (5, 4) (5, 5) (5, 6)
    (6, 1) (6, 2) (6, 3) (6, 4) (6, 5) (6, 6)

    Utilice el espacio de muestreo para completar la siguiente tabla:

    Cálculo\(\mu\) y\(\sigma\).

    \(x\) \(P(x)\) \(xP(x)\) \((x – \mu)^{2} ⋅ P(x)\)
    \ (x\)” style="vertical-align:middle; ">0 \ (P (x)\)” style="vertical-align:middle; ">\(\dfrac{9}{36}\) \ (xP (x)\)” style="vertical-align:middle; ">0 \ ((x —\ mu) ^ {2} ⋅ P (x)\)” style="vertical-align:middle; ">\((0 – 1)^{2} ⋅ \dfrac{9}{36} = \dfrac{9}{36}\)
    \ (x\)” style="vertical-align:middle; ">1 \ (P (x)\)” style="vertical-align:middle; ">\(\dfrac{18}{36}\) \ (xP (x)\)” style="vertical-align:middle; ">\(\dfrac{18}{36}\) \ ((x —\ mu) ^ {2} ⋅ P (x)\)” style="vertical-align:middle; ">\((1 – 1)^{2} ⋅ \dfrac{18}{36} = 0\)
    \ (x\)” style="vertical-align:middle; ">2 \ (P (x)\)” style="vertical-align:middle; ">\(\dfrac{9}{36}\) \ (xP (x)\)” style="vertical-align:middle; ">\(\dfrac{18}{36}\) \ ((x —\ mu) ^ {2} ⋅ P (x)\)” style="vertical-align:middle; ">\((1 – 1)^{2} ⋅ \dfrac{9}{36} = \dfrac{9}{36}\)

    Suma los valores en la tercera columna para encontrar el valor esperado:\(\mu\) =\(\dfrac{36}{36}\) = 1. Utilice este valor para completar la cuarta columna.

    Suma los valores en la cuarta columna y toma la raíz cuadrada de la suma:

    \[\sigma = \sqrt{\dfrac{18}{36}} \approx 0.7071.\]

    Ejemplo\(\PageIndex{6}\)

    El 11 de mayo de 2013 a las 9:30 PM, la probabilidad de que la actividad sísmica moderada (un sismo moderado) ocurriera en las siguientes 48 horas en Irán fue de alrededor de 21.42%. Supongamos que hace una apuesta a que ocurrirá un sismo moderado en Irán durante este periodo. Si ganas la apuesta, ganas $50. Si pierdes la apuesta, pagas $20. Dejar X = la cantidad de ganancia de una apuesta.

    \(P(\text{win}) = P(\text{one moderate earthquake will occur}) = 21.42%\)

    \(P(\text{loss}) = P(\text{one moderate earthquake will not occur}) = 100% – 21.42%\)

    Si apuestas muchas veces, ¿saldrá adelante? Explica tu respuesta en una oración completa usando números. ¿Cuál es la desviación estándar de\(X\)? Construye una tabla similar a Table y Table para ayudarte a responder estas preguntas.

    Responder

    \(x\) \(P(x)\) \(xP(x)\) \((x – \mu^{2})P(x)\)
    ganar \ (x\)” style="vertical-align:middle; ">50 \ (P (x)\)” style="vertical-align:middle; ">0.2142 \ (xP (x)\)” style="vertical-align:middle; ">10.71 \ ((x —\ mu^ {2}) P (x)\)” style="vertical-align:middle; "> [50 — (—5.006)] 2 (0.2142) = 648,0964
    pérdida \ (x\)” style="vertical-align:middle; ">—20 \ (P (x)\)” style="vertical-align:middle; ">0.7858 \ (xP (x)\)” style="vertical-align:middle; ">—15.716 \ ((x —\ mu^ {2}) P (x)\)” style="vertical-align:middle; "> [—20 — (—5.006)] 2 (0.7858) = 176.6636

    Media = Valor esperado = 10.71 + (—15.716) = —5.006.

    Si haces esta apuesta muchas veces en las mismas condiciones, tu resultado a largo plazo será una pérdida promedio de $5.01 por apuesta.

    Desviación estándar\(= \sqrt{648.0964+176.6636} \approx 28.7186\)

    Ejercicio\(\PageIndex{6}\)

    El 11 de mayo de 2013 a las 9:30 PM, la probabilidad de que la actividad sísmica moderada (un sismo moderado) ocurriera en las siguientes 48 horas en Japón fue de aproximadamente 1.08%. Se apuesta a que ocurrirá un sismo moderado en Japón durante este periodo. Si ganas la apuesta, ganas $100. Si pierdes la apuesta, pagas $10. Let\(X\) = la cantidad de ganancia de una apuesta. Encuentra la media y desviación estándar de\(X\).

    Responder

    \(x\) \(P(x)\) \(x ⋅ P(x)\) \((x - \mu^{2}) ⋅ P(x)\)
    ganar \ (x\)” style="vertical-align:middle; ">100 \ (P (x)\)” style="vertical-align:middle; ">0.0108 \ (x ⋅ P (x)\)” style="vertical-align:middle; ">1.08 \ ((x -\ mu^ {2}) ⋅ P (x)\)” style="vertical-align:middle; "> [100 — (—8.812)] 2 ⋅ 0.0108 = 127.8726
    pérdida \ (x\)” style="vertical-align:middle; ">—10 \ (P (x)\)” style="vertical-align:middle; ">0.9892 \ (x ⋅ P (x)\)” style="vertical-align:middle; ">—9.892 \ ((x -\ mu^ {2}) ⋅ P (x)\)” style="vertical-align:middle; "> [—10 — (—8.812)] 2 ⋅ 0.9892 = 1.3961

    Media = Valor esperado\(= \mu = 1.08 + (–9.892) = –8.812\)

    Si haces esta apuesta muchas veces en las mismas condiciones, tu resultado a largo plazo será una pérdida promedio de $8.81 por apuesta.

    Desviación estándar\(= \sqrt{127.7826+1.3961} \approx 11.3696\)

    Algunas de las funciones discretas de probabilidad más comunes son binomial, geométrica, hipergeométrica y Poisson. La mayoría de los cursos elementales no cubren los geométricos, hipergeométricos y Poisson. Su instructor le avisará si desea cubrir estas distribuciones.

    Una función de distribución de probabilidad es un patrón. Se intenta ajustar un problema de probabilidad en un patrón o distribución para poder realizar los cálculos necesarios. Estas distribuciones son herramientas para facilitar la resolución de problemas de probabilidad. Cada distribución tiene sus propias características especiales. Aprender las características permite distinguir entre las diferentes distribuciones.

    Resumen

    El valor esperado, o media, de una variable aleatoria discreta predice los resultados a largo plazo de un experimento estadístico que se ha repetido muchas veces. La desviación estándar de una distribución de probabilidad se utiliza para medir la variabilidad de posibles resultados.

    Revisión de Fórmula

    1. Valor medio o esperado:\(\mu = \sum_{x \in X}xP(x)\)
    2. Desviación estándar:\(\sigma = \sqrt{\sum_{x \in X}(x - \mu)^{2}P(x)}\)

    Glosario

    Valor esperado
    promedio aritmético esperado cuando un experimento se repite muchas veces; también llamado la media. Notaciones:\(\mu\). Para una variable aleatoria discreta (RV) con función de distribución de probabilidad\(P(x)\), la definición también se puede escribir en la forma\(\mu = \sum{xP(x)}\).
    Media
    un número que mide la tendencia central; un nombre común para la media es 'promedio'. El término 'media' es una forma abreviada de 'media aritmética'. Por definición, la media para una muestra (detonada por\(\bar{x}\)) es\(\bar{x} = \dfrac{\text{Sum of all values in the sample}}{\text{Number of values in the sample}}\) y la media para una población (denotada por\(\mu\)) es\(\mu = \dfrac{\text{Sum of all values in the population}}{\text{Number of values in the population}}\).
    Media de una distribución de probabilidad
    el promedio a largo plazo de muchos ensayos de un experimento estadístico
    Desviación estándar de una distribución de probabilidad
    un número que mide hasta qué punto están los resultados de un experimento estadístico de la media de la distribución
    La Ley de los Grandes Números
    A medida que aumenta el número de ensayos en un experimento de probabilidad, la diferencia entre la probabilidad teórica de un evento y la probabilidad de frecuencia relativa se acerca a cero.

    Referencias

    1. Catálogo de clases en la Universidad Estatal de Florida. Disponible en línea en apps.oti.fsu.edu/registrarco... ArchformLegacy (consultado el 15 de mayo de 2013).
    2. “Terremotos mundiales: noticias y aspectos destacados del terremoto en vivo”, Terremotos mundiales, 2012. www.world-earthquake es.com/ind... thq_prediction (consultado el 15 de mayo de 2013).

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