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7.4: Usando el Teorema del Límite Central

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    153456
  • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)\(\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}\)

    Es importante que entiendas cuándo usar el teorema del límite central (clt). Si se le pide que encuentre la probabilidad de la media, use el clt para la media. Si se le pide que encuentre la probabilidad de una suma o total, utilice el clt para las sumas. Esto también se aplica a los percentiles de medios y sumas.

    Si se le pide que encuentre la probabilidad de un valor individual, no use el clt. Utilice la distribución de su variable aleatoria.

    Ley de Grandes Números

    La ley de los grandes números dice que si se toman muestras de mayor y mayor tamaño de cualquier población, entonces la media\(\bar{x}\) de la muestra tiende a acercarse cada vez más\(\mu\). A partir del teorema del límite central, sabemos que a medida que\(n\) se hace cada vez más grande, las medias de la muestra siguen una distribución normal. Cuanto más grande\(n\) se hace, menor es la desviación estándar. (Recuerde que la desviación estándar para\(\bar{X}\) es\(\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}\).) Esto significa que la media muestral\(\bar{x}\) debe ser cercana a la media poblacional\(\mu\). Podemos decir que\(\mu\) es el valor que la muestra significa acercarse a medida que\(n\) se hace más grande. El teorema del límite central ilustra la ley de los grandes números.

    Ejemplo\(\PageIndex{1}\)

    Se realiza un estudio de estrés entre los estudiantes de un campus universitario. Los puntajes de estrés siguen una distribución uniforme con el puntaje de estrés más bajo igual a uno y el más alto igual a cinco. Utilizando una muestra de 75 alumnos, encuentra:

    1. La probabilidad de que la puntuación media de estrés para los 75 estudiantes sea inferior a dos.
    2. El percentil 90 para la puntuación media de estrés para los 75 estudiantes.
    3. La probabilidad de que el total de las 75 puntuaciones de estrés sea inferior a 200.
    4. El percentil 90 para el puntaje de estrés total para los 75 estudiantes.

    Soluciones

    Deja que\(X =\) una puntuación de estrés.

    Los problemas a y b te piden encontrar una probabilidad o un percentil para una media. Los problemas c y d te piden encontrar una probabilidad o un percentil para un total o suma. El tamaño de la muestra\(n\),, es igual a 75.

    Dado que los puntajes de estrés individuales siguen una distribución uniforme,\(X \sim U(1, 5)\) dónde\(a = 1\) y\(b = 5\).

    \[\mu_{x} = \dfrac{a+b}{2} = \dfrac{1+5}{2} = 3\]

    \[\sigma_{x} = \sqrt{\dfrac{(b-a)^{2}}{12}} = \sqrt{\dfrac{(5-1)^{2}}{12}} = 1.15\]

    Para los problemas 1. y 2., dejar que\(\bar{X} =\) la puntuación media de estrés para los 75 alumnos. Entonces,

    \[\bar{X} \sim N\left(3, \dfrac{1,15}{\sqrt{75}}\right)\]

    donde\(n = 75\).

    1. Encuentra\(P(\bar{x} < 2)\). Dibuja la gráfica.
    2. Encuentra el percentil 90 para la media de 75 puntuaciones de estrés. Dibuja una gráfica.
    3. Encuentra\(P(\sum x < 2000)\). Dibuja la gráfica.
    4. Encuentra el percentil 90 para el total de 75 puntajes de estrés. Dibuja una gráfica.

    RESPUESTAS

    a.\(P(\bar{x} < 2) = 0\)

    La probabilidad de que la puntuación media de estrés sea menor a dos es de aproximadamente cero.

    Esta es una curva de distribución normal sobre un eje horizontal. El pico de la curva coincide con el punto 3 en el eje horizontal. Un punto, 2, está marcado en el borde izquierdo de la curva.
    Figura\(\PageIndex{1}\).

    normalcdf\(\left(1,2,3,\dfrac{1.15}{\sqrt{75}}\right) = 0\)

    RECORDATORIO

    El puntaje de estrés más pequeño es uno

    b. dejar que\(k =\) el percentil 90.

    Encontrar\(k\), dónde\(P(\bar{x} < k) = 0.90\).

    \(k = 3.2\)

    Esta es una curva de distribución normal. El pico de la curva coincide con el punto 3 en el eje horizontal. Un punto, k, está etiquetado a la derecha de 3. Una línea vertical se extiende desde k hasta la curva. El área bajo la curva a la izquierda de k está sombreada. El área sombreada muestra que P (x-bar < k) = 0.90.
    Figura\(\PageIndex{2}\).

    El percentil 90 para la media de 75 puntajes es de aproximadamente 3.2. Esto nos dice que 90% de todas las medias de 75 puntuaciones de estrés son como máximo 3.2, y que 10% son al menos 3.2.

    InvNorm\(\left(0.90,3,1.\dfrac{1.15}{\sqrt{75}}\right) = 3.2\)

    Para los problemas c y d, deje\(\sum X =\) la suma de los 75 puntajes de estrés. Entonces,

    \[\sum X \sim N((75)(3), (\sqrt{75})(1.15))\]

    c. La media de la suma de 75 puntuaciones de estrés es\((75)(3) = 225\)

    La desviación estándar de la suma de 75 puntuaciones de estrés es\((\sqrt{75})(1.15) = 9.96\)

    \(P(\sum x < 200)\)

    Esta es una curva de distribución normal sobre un eje horizontal. El pico de la curva coincide con el punto 225 en el eje horizontal. Un punto, 200, está marcado en el borde izquierdo de la curva.
    Figura\(\PageIndex{3}\).

    La probabilidad de que el total de 75 puntajes sea inferior a 200 es aproximadamente cero.

    normalcdf\(75,200,(75)(3),(\sqrt{75})(1.15)\).

    RECORDATORIO

    El total más pequeño de 75 puntuaciones de estrés es de 75, porque el puntaje sencillo más pequeño es uno.

    d. Dejar que\(k =\) el percentil 90.

    Encuentra\(k\) dónde\(P(\sum x < k) = 0.90\).

    \(k = 237.8\)

    Esta es una curva de distribución normal. El pico de la curva coincide con el punto 225 en el eje horizontal. Un punto, k, está etiquetado a la derecha de 225. Una línea vertical se extiende desde k hasta la curva. El área bajo la curva a la izquierda de k está sombreada. El área sombreada muestra que P (suma de x < k) = 0.90.
    Figura\(\PageIndex{4}\).

    El percentil 90 para la suma de 75 puntajes es de alrededor de 237.8. Esto nos dice que el 90% de todas las sumas de 75 puntajes no son más de 237.8 y el 10% no son menos de 237.8.

    InvNorm\(\left(0.90, (75)(3), (\sqrt{75})(1.15)\right) = 237.8\)

    Ejercicio\(\PageIndex{1}\)

    Usa la información de Ejemplo\(\PageIndex{1}\), pero usa un tamaño de muestra de 55 para responder las siguientes preguntas.

    1. Encuentra\(P(\bar{x} < 7)\).
    2. Encuentra\(P(\sum x < 7)\).
    3. Encuentra el percentil 80 para la media de 55 puntajes.
    4. Encuentra el percentil 85 para la suma de 55 puntajes.

    Contestar

    1. 0.0265
    2. 0.2789
    3. 3.13
    4. 173.84

    Ejemplo\(\PageIndex{2}\)

    Supongamos que un analista de investigación de mercado para una compañía de telefonía celular realiza un estudio de sus clientes que exceden el tiempo permitido incluido en su contrato básico de telefonía celular; el analista encuentra que para aquellas personas que exceden el tiempo incluido en su contrato básico, el exceso de tiempo utilizado sigue un distribución exponencial con una media de 22 minutos.

    Considera una muestra aleatoria de 80 clientes que exceden el tiempo permitido incluido en su contrato básico de telefonía celular.

    Deje que\(X =\) el exceso de tiempo utilizado por un cliente de teléfono celular INDIVIDUAL que exceda su límite de tiempo contratado.

    \(X \sim Exp\left(\dfrac{1}{22}\right)\). De capítulos anteriores, lo sabemos\(\mu = 22\) y\(\sigma = 22\).

    Let\(\bar{X}\) = el exceso de tiempo medio utilizado por una muestra de\(n = 80\) clientes que exceden su límite de tiempo contratado.

    \[\bar{X} \sim N\left(22,\dfrac{22}{\sqrt{80}}\right)\]

    por el teorema del límite central para las medias muestrales

    1. Encuentre la probabilidad de que el exceso de tiempo medio utilizado por los 80 clientes en la muestra sea superior a 20 minutos. Esto nos está pidiendo que encontremos\(P(\bar{x} > 20)\). Dibuja la gráfica.
    2. Supongamos que un cliente que excede el límite de tiempo para su contrato de teléfono celular es seleccionado aleatoriamente. Encuentra la probabilidad de que el exceso de tiempo de este cliente individual sea superior a 20 minutos. Esto nos está pidiendo que encontremos\(P(x > 20)\).
    3. Explique por qué las probabilidades en las partes a y b son diferentes.
    4. Encuentre el percentil 95 para el exceso de tiempo medio de muestra para muestras de 80 clientes que excedan sus asignaciones básicas de tiempo de contrato. Dibuja una gráfica.

    Contestar

    1. Encuentra:\(P(\bar{x} > 20)\)

      \(P(\bar{x} > 20) = 0.79199\)usando normalcdf\(\left(20,1\text{E}99,22,\dfrac{22}{\sqrt{80}}\right)\)

      La probabilidad es 0.7919 de que el exceso de tiempo medio utilizado sea superior a 20 minutos, para una muestra de 80 clientes que excedan su límite de tiempo contratado.

      Esta es una curva de distribución normal. El pico de la curva coincide con el punto 22 en el eje horizontal. Un punto, 20, está etiquetado a la izquierda de 22. Una línea vertical se extiende desde 20 hasta la curva. El área bajo la curva a la derecha de k está sombreada. El área sombreada muestra que P (barra x 20)." src="https://stats.libretexts.org/@api/de...1180/7.4.5.png">

      Figura\(\PageIndex{5}\).

      RECORDATORIO

      1E99 = 10 99 y —1E99 = —10 99. Presiona la tecla EE para E. O simplemente usa 10 99 en lugar de 1E99.

    2. Encuentra\(P(x > 20)\). Recuerde utilizar la distribución exponencial para un individuo:\(X \sim Exp\left(\dfrac{1}{22}\right)\). \(P(x > 20) = e^{(−\left(\dfrac{1}{22}\right)(20))}\)o\(e^{(–0.04545(20))} = 0.4029\)
      1. \(P(x > 20) = 0.4029\)pero\(P(\bar{x} > 20) = 0.7919\)
      2. Las probabilidades no son iguales porque utilizamos diferentes distribuciones para calcular la probabilidad para individuos y para medias.
      3. Cuando se le solicite encontrar la probabilidad de un valor individual, use la distribución declarada de su variable aleatoria; no use el clt. Use el clt con la distribución normal cuando se le pida que encuentre la probabilidad de una media.
    3. Let\(k\) = el percentil 95. Encuentra\(k\) dónde\(P(\bar{x} < k) = 0.95\)

      \(k = 26.0\)usando InvNorm\(\left(0.95,22,\dfrac{22}{\sqrt{80}}\right) = 26.0\)

      Esta es una curva de distribución normal. El pico de la curva coincide con el punto 22 en el eje horizontal. Un punto, k, está etiquetado a la derecha de 22. Una línea vertical se extiende desde k hasta la curva. El área bajo la curva a la izquierda de k está sombreada. El área sombreada muestra que P (x-bar < k) = 0.95.

      Figura\(\PageIndex{6}\).

      El percentil 95 para el exceso de tiempo medio de muestra utilizado es de aproximadamente 26.0 minutos para muestras aleatorias de 80 clientes que exceden su tiempo contractual permitido.

      El noventa y cinco por ciento de dichas muestras tendría medias menores de 26 minutos; sólo el cinco por ciento de dichas muestras tendría medias por encima de los 26 minutos.

    Ejercicio\(\PageIndex{2}\)

    Utilice la información en Ejemplo\(\PageIndex{2}\), pero cambie el tamaño de la muestra a 144.

    1. Encuentra\(P(20 < \bar{x} < 30)\).
    2. Encuentra\(P(\sum x \text{ is at least } 3,000)\).
    3. Encuentre el percentil 75 para el exceso de tiempo medio de muestra de 144 clientes.
    4. Encuentre el percentil 85 por la suma de 144 excesos utilizados por los clientes.

    Contestar

    1. 0.8623
    2. 0.7377
    3. 23.2
    4. 3,441.6

    Ejemplo\(\PageIndex{3}\)

    En Estados Unidos, alguien es agredido sexualmente cada dos minutos, en promedio, según varios estudios. Supongamos que la desviación estándar es de 0.5 minutos y el tamaño de la muestra es 100.

    1. Encuentra la mediana, el primer cuartil y el tercer cuartil para la muestra de tiempo medio de agresiones sexuales en Estados Unidos.
    2. Encuentra la mediana, el primer cuartil y el tercer cuartil para la suma de tiempos de muestra de agresiones sexuales en Estados Unidos.
    3. Encuentra la probabilidad de que una agresión sexual ocurra en promedio entre 1.75 y 1.85 minutos.
    4. Encuentra el valor que está dos desviaciones estándar por encima de la media de la muestra.
    5. Encuentra el IQR para la suma de los tiempos de muestreo.

    Contestar

    1. Tenemos,\(\mu_{x} = \mu = 2\) y\(\sigma_{x} = \dfrac{\sigma}{\sqrt{n}} = \dfrac{0.5}{10} = 0.05\). Por lo tanto:
      1. percentil 50\(= \mu_{x} = \mu = 2\)
      2. 25 percentil\(= \text{invNorm}(0.25,2,0.05) = 1.97\)
      3. Percentil 75\(= \text{invNorm}(0.75,2,0.05) = 2.03\)
    2. Tenemos\(\mu_{\sum X} = n(\mu_{x}) = 100(2)\) y\(\sigma_{\mu X} = \sqrt{n}(\sigma_{x}) = 10(0.5) = 5\). Por lo tanto
      1. percentil 50 =\(\mu_{\sum X} = n(\mu_{X}) = 100(2) = 200\)
      2. 25 percentil\(= \text{invNorm}(0.25,200,5) = 196.63\)
      3. Percentil 75\(= \text{invNorm}(0.75,200,5) = 203.37\)
    3. \(P(1.75 < bar{x} < 1.85) =\)normalcdf\((1.75,1.85,2,0.05) = 0.0013\)
    4. Usando la ecuación\(z\) -score\(z = \dfrac{\bar{x} - \mu_{\bar{x}}}{\sigma_{\bar{x}}}\), y resolviendo para\(x\), tenemos\(x = 2(0.05) + 2 = 2.1\)
    5. El\(IQR\) es percentil 75°percentil 25 th\(= 203.37 – 196.63 = 6.74\)

    Ejercicio\(\PageIndex{3}\)

    Con base en datos de la Encuesta Nacional de Salud, las mujeres entre 18 y 24 años tienen una presión arterial sistólica promedio (en mm Hg) de 114.8 con una desviación estándar de 13.1. La presión arterial sistólica para mujeres entre 18 y 24 años sigue una distribución normal.

    1. Si se selecciona aleatoriamente a una mujer de esta población, encuentra la probabilidad de que su presión arterial sistólica sea mayor a 120.
    2. Si 40 mujeres de esta población son seleccionadas aleatoriamente, encuentra la probabilidad de que su presión arterial sistólica media sea mayor a 120.
    3. Si la muestra fueran cuatro mujeres entre las edades de 18 a 24 años y no conocíamos la distribución original, ¿podría utilizarse el teorema del límite central?

    Contestar

    1. \(P(x > 120)\)= normalcdf\((120,99,114.8,13.1) = 0.0272\). Se trata de un 3%, que la mujer seleccionada al azar tendrá una presión arterial sistólica mayor a 120.
    2. \(P(\bar{x} > 120) =\)normalcdf\(\left(120,114.8,\dfrac{13.1}{\sqrt{40}}\right) = 0.006\). Solo existe una probabilidad de 0.6% de que la presión arterial sistólica promedio para el grupo seleccionado al azar sea mayor a 120.
    3. El teorema del límite central no se pudo utilizar si el tamaño de la muestra era cuatro y no sabíamos que la distribución original era normal. El tamaño de la muestra sería demasiado pequeño.

    Ejemplo\(\PageIndex{4}\)

    Se realizó un estudio sobre la violencia contra las prostitutas y los síntomas del estrés postraumático que desarrollaron. El rango de edad de las prostitutas era de 14 a 61 años. La edad media fue de 30.9 años con una desviación estándar de nueve años.

    1. En una muestra de 25 prostitutas, ¿cuál es la probabilidad de que la edad media de las prostitutas sea menor a 35?
    2. ¿Es probable que la edad media del grupo de muestra pueda ser superior a 50 años? Interpretar los resultados.
    3. En una muestra de 49 prostitutas, ¿cuál es la probabilidad de que la suma de las edades no sea inferior a 1,600?
    4. ¿Es probable que la suma de las edades de las 49 prostitutas sea como máximo 1,595? Interpretar los resultados.
    5. Encuentra el percentil 95 para la muestra de edad media de 65 prostitutas. Interpretar los resultados.
    6. Encuentra el percentil 90 para la suma de las edades de 65 prostitutas. Interpretar los resultados.

    Contestar

    1. \(P(\bar{x} < 35) =\)normalcdf\((-E99,35,30.9,1.8) = 0.9886\)
    2. \(P(\bar{x} > 50) =\)normalcdf\((50, E99,30.9,1.8) \approx 0\). Para este grupo de muestra, es casi imposible que la edad promedio del grupo sea mayor a 50 años. Sin embargo, todavía es posible que un individuo de este grupo tenga una edad mayor a 50 años.
    3. \(P(\sum x \geq 1,600) =\)normalcdf\((1600,E99,1514.10,63) = 0.0864\)
    4. \(P(\sum x \leq 1,595) =\)normalcdf\((-E99,1595,1514.10,63) = 0.9005\). Esto significa que existe un 90% de probabilidad de que la suma de las edades para el grupo de muestra\(n = 49\) sea como máximo de 1595.
    5. El percentil 95 = InvNorm\((0.95,30.9,1.1) = 32.7\). Esto indica que 95% de las prostitutas en la muestra de 65 son menores de 32.7 años, en promedio.
    6. El percentil 90 = InvNorm\((0.90,2008.5,72.56) = 2101.5\). Esto indica que 90% de las prostitutas en la muestra de 65 tienen una suma de edades menores a 2,101.5 años.

    Ejercicio\(\PageIndex{4}\)

    Según datos del Boeing, el avión 757 transporta 200 pasajeros y tiene puertas con una altura media de 72 pulgadas. Supongamos que para cierta población de hombres tenemos una media de 69.0 pulgadas y una desviación estándar de 2.8 pulgadas.

    1. ¿Qué significa que la altura de la puerta permitiría que 95% de los hombres ingresaran a la aeronave sin doblarse?
    2. Supongamos que la mitad de los 200 pasajeros son hombres. ¿Qué altura media de puerta satisface la condición de que hay una probabilidad de 0.95 de que esta altura sea mayor que la altura media de 100 hombres?
    3. Para los ingenieros que diseñan el 757, qué resultado es más relevante: la altura desde la parte a o la parte b? ¿Por qué?

    Contestar

    1. Eso lo sabemos\(\mu_{x} = \mu = 69\) y tenemos\(\sigma_{x} = 2.8\). La altura de la puerta se encuentra para ser InvNorm\((0.95,69,2.8) = 73.61\)
    2. Eso lo sabemos\(\mu_{x} = \mu = 69\) y tenemos\(\sigma_{x} = 2.8\). Entonces, InvNorm\((0.95,69,0.28) = 69.49\)
    3. Al diseñar las alturas de las puertas, necesitamos incorporar la mayor variabilidad posible para dar cabida a tantos pasajeros como sea posible. Por lo tanto, necesitamos usar el resultado basado en la parte a.

    Nota Histórica: Aproximación Normal al Binomio

    Históricamente, poder calcular probabilidades binomiales fue una de las aplicaciones más importantes del teorema del límite central. Las probabilidades binomiales con un valor pequeño para\(n\) (digamos, 20) se mostraron en una tabla de un libro. Para calcular las probabilidades con grandes valores de\(n\), había que usar la fórmula binomial, lo que podría ser muy complicado. El uso de la aproximación normal a la distribución binomial simplificó el proceso. Para calcular la aproximación normal a la distribución binomial, tomar una muestra aleatoria simple de una población. Debe cumplir con las condiciones para una distribución binomial:

    • hay un cierto número\(n\) de juicios independientes
    • los resultados de cualquier ensayo son éxito o fracaso
    • cada ensayo tiene la misma probabilidad de éxito\(p\)

    Recordemos que si\(X\) es la variable aleatoria binomial, entonces\(X \sim B(n, p)\). La forma de la distribución binomial debe ser similar a la forma de la distribución normal. Para asegurar esto, las cantidades\(np\) y\(nq\) deben ser ambas mayores a cinco (\(np > 5\)y\(nq > 5\)); la aproximación es mejor si ambas son mayores o iguales a 10). Entonces el binomio puede aproximarse por la distribución normal con media\(\mu = np\) y desviación estándar\(\sigma = \sqrt{npq}\). Recuerden eso\(q = 1 - p\). Para obtener la mejor aproximación, sumar 0.5\(x\) o restar 0.5 de\(x\) (use\(x + 0.5\) o\(x - 0.5\)). El número 0.5 se denomina factor de corrección de continuidad y se utiliza en el siguiente ejemplo.

    Ejemplo\(\PageIndex{5}\)

    Supongamos que en un distrito escolar local de Kindergarten hasta 12º grado (K - 12), 53 por ciento de la población favorece una escuela charter para los grados K a 5. Se encuestó una muestra aleatoria simple de 300.

    1. Encuentra la probabilidad de que al menos 150 favorezcan una escuela chárter.
    2. Encuentra la probabilidad de que a lo sumo 160 favorezcan una escuela charter.
    3. Encuentra la probabilidad de que más de 155 favorezcan una escuela charter.
    4. Encuentra la probabilidad de que menos de 147 favorezcan una escuela charter.
    5. Encuentra la probabilidad de que exactamente 175 favorezcan una escuela charter.

    Que\(X =\) el número que favorezca una escuela chárter para los grados K a 5. \(X \sim B(n, p)\)dónde\(n = 300\) y\(p = 0.53\). Desde\(np > 5\) y\(nq > 5\), utilizar la aproximación normal al binomio. Las fórmulas para la media y desviación estándar son\(\mu = np\) y\(\sigma = \sqrt{npq}\). La media es 159 y la desviación estándar es 8.6447. La variable aleatoria para la distribución normal es\(X\). \(Y \sim N(159, 8.6447)\). Consulte La distribución normal para obtener ayuda con las instrucciones de la calculadora.

    Para la parte a, incluyes 150 por lo que\(P(X \geq 150)\) tiene aproximación normal\(P(Y \geq 149.5) = 0.8641\).

    normalcdf\((149.5,10^{99},159,8.6447) = 0.8641\).

    Para la parte b, incluyes 160 por lo que\(P(X \leq 160)\) tiene aproximación normal\(P(Y \leq 160.5) = 0.5689\).

    normalcdf\((0,160.5,159,8.6447) = 0.5689\)

    Para la parte c, se excluye 155 por lo que\(P(X > 155)\) tiene aproximación normal\(P(y > 155.5) = 0.6572\).

    normalcdf\((155.5,10^{99},159,8.6447) = 0.6572\).

    Para la parte d, se excluye 147 por lo que\(P(X < 147)\) tiene aproximación normal\(P(Y < 146.5) = 0.0741\).

    normalcdf\((0,146.5,159,8.6447) = 0.0741\)

    Para la parte e,\(P(X = 175)\) tiene aproximación normal\(P(174.5 < Y < 175.5) = 0.0083\).

    normalcdf\((174.5,175.5,159,8.6447) = 0.0083\)

    Debido a calculadoras y software de computadora que permiten calcular probabilidades binomiales para grandes valores de\(n\) manera fácil, no es necesario utilizar la aproximación normal a la distribución binomial, siempre que tenga acceso a estas herramientas tecnológicas. La mayoría de los laboratorios escolares cuentan con Microsoft Excel, un ejemplo de software informático que calcula las probabilidades binomiales. Muchos estudiantes tienen acceso a las calculadoras de la serie TI-83 o 84, y calculan fácilmente las probabilidades para la distribución binomial. Si escribe “cálculo de distribución de probabilidad binomial” en un navegador de Internet, puede encontrar al menos una calculadora en línea para el binomio.

    Por ejemplo, las probabilidades se calculan utilizando la siguiente distribución binomial: (\(n = 300 and p = 0.53\)). Comparar las respuestas de distribución binomial y normal. Consulte Variables Aleatorias Discretas para obtener ayuda con las instrucciones de calculadora para el binomio.

    \(P(X \geq 150)\): 1 - binomialcdf\((300,0.53,149) = 0.8641\)

    \(P(X \leq 160)\): binomialcdf\((300,0.53,160) = 0.5684\)

    \(P(X > 155)\): 1 - binomialcdf\((300,0.53,155) = 0.6576\)

    \(P(X < 147)\): binomialcdf\((300,0.53,146) = 0.0742\)

    \(P(X = 175)\):( Se utiliza el binomio pdf.) binomialpdf\((300,0.53,175) = 0.0083\)

    Ejercicio\(\PageIndex{5}\)

    En una ciudad, el 46 por ciento de la población favorece a la titular, Dawn Morgan, para la alcaldía. Se toma una muestra aleatoria simple de 500. Usando el factor de corrección de continuidad, encuentra la probabilidad de que al menos 250 favorezcan a Dawn Morgan para alcalde.

    Contestar

    0.0401

    Referencias

    • Datos del Wall Street Journal.
    • “Encuesta Nacional de Examen de Salud y Nutrición”. Centro de Control y Prevención de Enfermedades. Disponible en línea en http://www.cdc.gov/nchs/nhanes.htm (consultado el 17 de mayo de 2013).

    Glosario

    Distribución Exponencial
    una variable aleatoria continua (RV) que aparece cuando estamos interesados en los intervalos de tiempo entre algunos eventos aleatorios, por ejemplo, el tiempo entre llegadas de emergencia a un hospital, notación:\(X \sim Exp(m)\). La media es\(\mu = \dfrac{1}{m}\) y la desviación estándar es\(\sigma = \dfrac{1}{m}\). La función de densidad de probabilidad es\(f(x) = me^{-mx}\),\(x \geq 0\) y la función de distribución acumulativa es\(P(X \leq x) = 1 - e^{-mx}\).
    Media
    un número que mide la tendencia central; un nombre común para la media es “promedio”. El término “media” es una forma abreviada de “media aritmética”. Por definición, la media para una muestra (denotada por\(\bar{x}\)) es\(\bar{x} = \dfrac{\text{Sum of all values in the sample}}{\text{Number of values in the sample}}\), y la media para una población (denotada por\(\mu\)) es\(\mu = \dfrac{\text{Sum of all values in the population}}{\text{Number of values in the population}}\).
    Distribución Normal
    una variable aleatoria continua (RV) con pdf\(f(x) = \dfrac{1}{\sigma \sqrt{2\pi}}e^{\dfrac{(x - \mu)^{2}}{2\sigma^{2}}}\), donde\(\mu\) es la media de la distribución y\(\sigma\) es la desviación estándar.; notación:\(X \sim N(\mu, \sigma)\). Si\(\mu = 0\) y\(\sigma = 1\), el RV se llama la distribución normal estándar.
    Distribución Uniforme
    una variable aleatoria continua (RV) que tiene resultados igualmente probables sobre el dominio,\(a < x < b\); a menudo referida como la Distribución Rectangular porque la gráfica del pdf tiene la forma de un rectángulo. Notación:\(X \sim U(a, b)\). La media es\(\mu = \dfrac{a+b}{2}\) y la desviación estándar es\(\sigma = \sqrt{\dfrac{(b-a)^{2}}{12}}\). La función de densidad de probabilidad es\(f(x) = \dfrac{a+b}{2}\) para\(a < x < b\) o\(a \leq x \leq b\). La distribución acumulativa es\(P(X \leq x) = \dfrac{x-a}{b-a}\).

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