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1.12: Estructuras de Conjuntos Especiales

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    152036
  • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)\(\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}\)

    \(\newcommand{\R}{\mathbb{R}}\)\(\newcommand{\N}{\mathbb{N}}\)

    Hay varios otros tipos de estructuras de conjuntos algebraicas que son más débiles que las\( \sigma \) -álgebras. Estos no son particularmente importantes en sí mismos, pero son importantes para construir\( \sigma \) -álgebras y las medidas sobre estas\( \sigma \) -álgebras. Es posible que desee omitir esta sección si no le interesan las cuestiones de existencia y singularidad de medidas positivas.

    Teoría Básica

    Definiciones

    A lo largo de esta sección, asumimos que\( S \) es un conjunto y\( \mathscr{S} \) es una colección no vacía de subconjuntos de\( S \). Aquí están las principales definiciones que necesitaremos.

    \( \mathscr{S} \)es un \( \pi \)-sistema si\( \mathscr{S} \) está cerrado bajo intersecciones finitas: si\( A, \, B \in \mathscr{S} \) entonces\( A \cap B \in \mathscr{S} \).

    El cierre bajo intersección es claramente una propiedad muy simple, pero\( \pi \) los sistemas resultan ser lo suficientemente útiles como para merecer un nombre.

    \( \mathscr{S} \)es un \( \lambda \)-sistema si se cierra bajo complementos y uniones disjuntas contables.

    1. Si\( A \in \mathscr{S} \) entonces\( A^c \in \mathscr{S} \).
    2. Si\( A_i \in \mathscr{S}\) para\( i \) en un conjunto de índices contables\( I \) y\( A_i \cap A_j = \emptyset \) para\( i \ne j \) entonces\( \bigcup_{i \in I} A_i \in \mathscr{S} \).

    \( \mathscr{S} \)es una semiálgebra si está cerrada bajo intersección y si los complementos pueden escribirse como uniones finitas y disjuntas:

    1. Si\( A, \, B \in \mathscr{S} \) entonces\( A \cap B \in \mathscr{S} \).
    2. Si\( A \in \mathscr{S} \) entonces existe una colección finita, disjunta\( \{B_i: i \in I\} \subseteq \mathscr{S} \) tal que\( A^c = \bigcup_{i \in I} B_i \).

    Para nuestra estructura final, recordemos que una secuencia\( (A_1, A_2, \ldots) \) de subconjuntos de\( S \) está aumentando si es\( A_n \subseteq A_{n+1} \) por todos\( n \in \N_+ \). La secuencia es decreciente si es\( A_{n+1} \subseteq A_n \) para todos\( n \in \N_+ \). Por supuesto, estos son los significados estándar de aumentar y disminuir en relación con el orden ordinario\( \le \) encendido\( \N_+ \) y el orden parcial del subconjunto\( \subseteq \) encendido\( \mathscr{P}(S) \).

    \( \mathscr{S} \)es una clase monótona si se cierra bajo uniones crecientes e intersecciones decrecientes:

    1. Si\( (A_1, A_2, \ldots) \) es una secuencia creciente de conjuntos en\( \mathscr{S} \) entonces\( \bigcup_{n=1}^\infty A_n \in \mathscr{S} \).
    2. Si\( (A_1, A_2, \ldots) \) es una secuencia decreciente de conjuntos en\( \mathscr{S} \) entonces\( \bigcap_{n=1}^\infty A_n \in \mathscr{S} \).

    Si\( (A_1, A_2, \ldots) \) es una secuencia creciente de conjuntos entonces a veces escribimos\( \bigcup_{n=1}^\infty A_n = \lim_{n \to \infty} A_n \). Del mismo modo, si\( (A_1, A_2 \ldots) \) es una secuencia decreciente de conjuntos que a veces escribimos\( \bigcap_{n=1}^\infty A_n = \lim_{n \to \infty} A_n \). El motivo de esta notación quedará claro en la sección de Convergencia en el capítulo sobre Espacios de probabilidad. Con esta notación, una clase monótona\( \mathscr{S} \) se define por la condición de que si\( (A_1, A_2, \ldots) \) es una secuencia creciente o decreciente de conjuntos en\( \mathscr{S} \) entonces\( \lim_{n \to \infty} A_n \in \mathscr{S} \).

    Teoremas Básicos

    Nuestra estructura de conjuntos más importante, la\( \sigma \) -álgebra, tiene todas las propiedades en las definiciones anteriores.

    Si\( \mathscr{S} \) es un\( \sigma \) -álgebra entonces\( \mathscr{S} \) es un\( \pi \) -sistema, un\( \lambda \) -sistema, una semiálgebra y una clase monótona.

    Si\( \mathscr{S} \) es un\( \lambda \) -sistema entonces\( S \in \mathscr{S} \) y\( \emptyset \in \mathscr{S} \).

    Prueba

    La prueba es igual que la de un álgebra. Existe\( A \in \mathscr{S} \) ya que no\( \mathscr{S} \) está vacío. De ahí\( A^c \in \mathscr{S} \) y así\( S = A \cup A^c \in \mathscr{S} \). Por último\( \emptyset = S^c \in \mathscr{S} \).

    Cualquier tipo de estructura algebraica en subconjuntos\( S \) que se define puramente en términos de propiedades de cierre se conservará bajo intersección. Es decir, tendremos resultados que son análogos a cómo se generan\( \sigma \) -álgebras a partir de conjuntos más básicos, con pruebas completamente sencillas y analgésicas. En los dos teoremas siguientes, el término sistema podría significar\( \pi \) -sistema,\( \lambda \) -sistema, o clase monótona de subconjuntos de\( S \).

    Si\( \mathscr{S}_i \) es un sistema para cada uno\( i \) en un conjunto de índices\( I \) y no\( \bigcap_{i \in I} \mathscr{S}_i \) está vacío, entonces\( \bigcap_{i \in I} \mathscr{S}_i \) es un sistema del mismo tipo.

    La condición de que no\( \bigcap_{i \in I} \mathscr{S}_i \) esté vacío es innecesaria para un\( \lambda \) -sistema, por el resultado anterior. Ahora supongamos que\( \mathscr{B} \) es una colección no vacía de subconjuntos de\( S \), pensados como conjuntos básicos de algún tipo. Entonces el sistema generado por\( \mathscr{B} \) es la intersección de todos los sistemas que contienen\( \mathscr{B} \).

    El sistema\( \mathscr{S} \) generado por\( \mathscr{B} \) es el sistema más pequeño que contiene\( \mathscr{B} \), y se caracteriza por las siguientes propiedades:

    1. \( \mathscr{B} \subseteq \mathscr{S} \).
    2. Si\( \mathscr{T} \) es un sistema y\( \mathscr{B} \subseteq \mathscr{T} \) luego\( \mathscr{S} \subseteq \mathscr{T} \).

    Tenga en cuenta, sin embargo, que los dos resultados anteriores no se aplican a las semiálgebras, ya que la semiálgebra no se define puramente en términos de propiedades de cierre (la condición on no\( A^c \) es una propiedad de cierre).

    Si\( \mathscr{S} \) es una clase monótona y una álgebra, entonces\( \mathscr{S} \) es una\( \sigma \) -álgebra.

    Prueba

    Todo lo que se necesita es probar el cierre bajo sindicatos contables. Así, supongamos que\( A_i \in \mathscr{S} \) para\( i \in \N_+ \). Entonces\( B_n = \bigcup_{i=1}^n A_i \in \mathscr{S} \) ya que\( \mathscr{S} \) es un álgebra. La secuencia\( (B_1, B_2, \ldots) \) va en aumento, entonces\( \bigcup_{n=1}^\infty B_n \in \mathscr{S} \), ya que\( \mathscr{S} \) es una clase monótona. Pero\( \bigcup_{n=1}^\infty B_n = \bigcup_{i=1}^\infty A_i \).

    Por definición, una semiálgebra es un\( \pi \) -sistema. Más importante aún, una semiálgebra puede ser utilizada para construir un álgebra.

    Supongamos que\( \mathscr{S} \) es una semiálgebra de subconjuntos de\( S \). Entonces la colección\( \mathscr{S}^* \) de uniones finitas y disjuntas de conjuntos en\( \mathscr{S} \) es un álgebra.

    Prueba

    Supongamos que\( A, \, B \in \mathscr{S}^* \). Entonces existen colecciones finitas, disjuntas\( \{A_i: i \in I\} \subseteq \mathscr{S} \) y\( \{B_j: j \in J\} \subseteq \mathscr{S} \) tal que\( A = \bigcup_{i \in I} A_i \) y\( B = \bigcup_{j \in J} B_j \). De ahí\[ A \cap B = \bigcup_{(i, j) \in I \times J} (A_i \cap B_j) \] Pero\( \{A_i \cap B_j: (i, j) \in I \times J\} \) es una colección finita, disjunta de conjuntos en\( \mathscr{S} \), entonces\( A \cap B \in \mathscr{S}^* \). Supongamos\( A \in \mathscr{S}^* \), para que exista una colección finita, disjunta\( \{A_i: i \in I\} \) tal que\( A = \bigcup_{i \in I} A_i \). Entonces\( A^c = \bigcap_{i \in I} A_i^c \). Pero\( A_i^c \in \mathscr{S}^* \) por definición de semiálgebra, y acabamos de demostrar que\( \mathscr{S}^* \) se cierra bajo intersecciones finitas, así\( A^c \in \mathscr{S}^* \).

    Diremos que nuestra colección no vacía\( \mathscr{S} \) se cierra bajo la diferencia establecida adecuada si\( A, \, B \in \mathscr{S} \) e\( A \subseteq B \) implica\( B \setminus A \in \mathscr{S} \). El siguiente teorema da la relación básica entre\( \lambda \) -sistemas y clases monótona.

    Supongamos que\( \mathscr{S} \) es una colección no vacía de subconjuntos de\( S \).

    1. Si\( \mathscr{S} \) es un\( \lambda \) -system entonces\( \mathscr{S} \) es una clase monótona y se cierra bajo la diferencia de conjunto adecuada.
    2. Si\( \mathscr{S} \) es una clase monótona, se cierra bajo diferencia de conjunto adecuada, y contiene\( S \), entonces\( \mathscr{S} \) es un\( \lambda \) -sistema.
    Prueba
    1. Supongamos que\( \mathscr{S} \) es un\( \lambda \) -sistema. Supongamos que\( A, \, B \in \mathscr{S} \) y\( A \subseteq B \). Entonces\( B^c \in \mathscr{S} \),\( A \) y\( B^c \) son disjuntas, así\( A \cup B^c \in \mathscr{S} \). Pero entonces\( (A \cup B^c)^c = B \cap A^c = B \setminus A \in \mathscr{S} \). Por lo tanto,\( \mathscr{S} \) se cierra bajo la diferencia de conjunto adecuada. A continuación supongamos que\( (A_1, A_2, \ldots) \) es una secuencia creciente de conjuntos en\( \mathscr{S} \). Dejar\( B_1 = A_1 \) y\( B_n = A_n \setminus A_{n-1} \) para\( n \in \{2, 3, \ldots\} \). Entonces\( B_i \in \mathscr{S} \) para cada uno\( i \in \N_+ \). Pero la secuencia\( (B_1, B_2, \ldots) \) es disjunta y tiene la misma unión que\( (A_1, A_2, \ldots) \). De ahí\( \bigcup_{i=1}^\infty A_i = \bigcup_{i=1}^\infty B_i \in \mathscr{S} \). Finalmente, supongamos que\( (A_1, A_2, \ldots) \) es una secuencia decreciente de conjuntos en\( \mathscr{S} \). Entonces\( A_i^c \in \mathscr{S} \) para cada uno\( i \in \N_+ \) y\( (A_1^c, A_2^c, \ldots) \) va en aumento. De ahí\( \bigcup_{i=1}^\infty A_i^c \in \mathscr{S} \) y por lo tanto\( \left(\bigcup_{i=1}^\infty A_i^c\right)^c = \bigcap_{i=1}^\infty A_i \in \mathscr{S} \).
    2. Supongamos que\( \mathscr{S} \) es una clase monótona, se cierra bajo diferencia de conjunto adecuada, y\( S \in \mathscr{S} \). Si\( A \in \mathscr{S} \) entonces trivialmente\( A \subseteq S \) así\( A^c = S \setminus A \in \mathscr{S} \). A continuación, supongamos que\( A, \; B \in \mathscr{S} \) son disjuntos. Entonces\( A^c \in \mathscr{S} \) y\( B \subseteq A^c \), entonces\( A^c \setminus B = A^c \cap B^c \in \mathscr{S} \). De ahí\( A \cup B = (A^c \cap B^c)^c \in \mathscr{S} \). Por último, supongamos que\( (A_1, A_2, \ldots) \) es una secuencia disjunta de conjuntos en\( \mathscr{S} \). Acabamos de demostrar que\( \mathscr{S} \) está cerrado bajo uniones finitas, disjuntas, entonces\( B_n = \bigcup_{i=1}^n A_i \in \mathscr{S} \). Pero la secuencia\( (B_1, B_2, \ldots) \) va en aumento, y de ahí\( \bigcup_{n=1}^\infty B_n = \bigcup_{i=1}^\infty A_i \in \mathscr{S} \).

    El siguiente teorema se conoce como el teorema de la clase monótona, y se debe al matemático Paul Halmos.

    Supongamos que\( \mathscr{A} \) es un álgebra,\( \mathscr{M} \) es una clase monótona, y\( \mathscr{A} \subseteq \mathscr{M} \). Entonces\( \sigma(\mathscr{A}) \subseteq \mathscr{M} \).

    Prueba

    Primero vamos a\( m(\mathscr{A}) \) denotar la clase monótona generada por\( \mathscr{A} \), como se definió anteriormente. El esquema de la prueba es mostrar que\( m(\mathscr{A}) \) es un álgebra, de modo que por (9),\( m(\mathscr{A}) \) es una\( \sigma \) -álgebra. De ello se deduce entonces\( \sigma(\mathscr{A}) \subseteq m(\mathscr{A}) \subseteq \mathscr{M} \). Para demostrar que\( m(\mathscr{A}) \) es un álgebra, primero mostramos que se cierra bajo complementos y luego bajo unión simple.

    Dado que\( m(\mathscr{A}) \) es una clase monótona, la colección también\( m^*(\mathscr{A}) = \{A \subseteq S: A^c \in m(\mathscr{A})\} \) es una clase monótona. Además,\( \mathscr{A} \subseteq m^*(\mathscr{A}) \) por lo que se deduce de eso\( m(\mathscr{A}) \subseteq m^*(\mathscr{A}) \). De ahí si\( A \in m(\mathscr{A}) \) entonces\( A \in m^*(\mathscr{A}) \) es así\( A^c \in m(\mathscr{A}) \). Así\( m(\mathscr{A}) \) se cierra bajo complementos.

    Vamos\( \mathscr{M}_1 = \{A \subseteq S: A \cup B \in m(\mathscr{A}) \text{ for all } B \in \mathscr{A}\} \). Entonces\( \mathscr{M}_1 \) es una clase monótona y\( \mathscr{A} \subseteq \mathscr{M}_1 \) así\( m(\mathscr{A}) \subseteq \mathscr{M}_1 \). Siguiente vamos\( \mathscr{M}_2 = \{A \subseteq S: A \cup B \in m(\mathscr{A}) \text{ for all } B \in m(\mathscr{A})\} \). Entonces también\( \mathscr{M}_2 \) es una clase monótona. Vamos\( A \in \mathscr{A} \). Si\( B \in m(\mathscr{A})\) entonces\( B \in \mathscr{M}_1 \) y por lo tanto\( A \cup B \in m(\mathscr{A}) \). De ahí\( A \in \mathscr{M}_2 \). Así tenemos\( \mathscr{A} \subseteq \mathscr{M}_2 \), así\( m(\mathscr{A}) \subseteq \mathscr{M}_2 \). Por último, vamos\( A, \, B \in m(\mathscr{A}) \). Entonces\( A \in \mathscr{M}_2 \) así\( A \cup B \in m(\mathscr{A}) \) y por lo tanto\( m(\mathscr{A}) \) se cierra bajo simple unión.

    Como se señala en (5), a\( \sigma \) -álgebra es tanto a\( \pi \) -system como a\( \lambda \) -system. Lo contrario también es cierto, y es una de las principales razones para estudiar estas estructuras.

    Si\( \mathscr{S} \) es un\( \pi \) -sistema y un\( \lambda \) -sistema entonces\( \mathscr{S} \) es un\( \sigma \) -álgebra.

    Prueba

    \( S \in \mathscr{S} \), y si\( A \in \mathscr{S} \) entonces\( A^c \in \mathscr{S} \) por definición de un\( \lambda \) -sistema. Así, lo único que queda es mostrar cierre bajo sindicatos contables. Así, supongamos que\( (A_1, A_2, \ldots) \) es una secuencia de conjuntos en\( \mathscr{S} \). Entonces\( A_i^c \in \mathscr{S} \) para cada uno\( i \in \N_+ \). Ya que también\( \mathscr{S} \) es un\( \pi \) -sistema, se deduce que para cada uno\( n \in \N_+ \),\( B_n = A_n \cap A_1^c \cap \cdots \cap A_{n-1}^c \in \mathscr{S} \) (por convención\( B_1 = A_1 \)). Pero la secuencia\( (B_1, B_2, \ldots) \) es disjunta y tiene la misma unión que\( (A_1, A_2, \ldots) \). De ahí\( \bigcup_{i=1}^\infty A_i = \bigcup_{i=1}^\infty B_i \in \mathscr{S} \).

    La importancia de\( \pi \) -sistemas y\( \lambda \) -sistemas se deriva en parte del \( \lambda \)teorema de\( \pi \) Dynkin dado a continuación. Se llama así por el matemático Eugene Dynkin.

    Supongamos que\( \mathscr{A} \) es un\( \pi \) -sistema de subconjuntos de\( S \),\( \mathscr{B} \) es un\( \lambda \) -sistema de subconjuntos de\( S \), y\( \mathscr{A} \subseteq \mathscr{B} \). Entonces\( \sigma(\mathscr{A}) \subseteq \mathscr{B} \).

    Prueba

    Dejar\( \mathscr{L} \) denotar el\( \lambda \) -sistema generado por\( \mathscr{A} \). Entonces por supuesto\( \mathscr{A} \subseteq \mathscr{L} \subseteq \mathscr{B} \). Para\( A \in \mathscr{L} \),\[ \mathscr{L}_A = \{B \subseteq S: B \cap A \in \mathscr{L}\}\] vamos a mostrar que\( \mathscr{L}_A \) es un\( \lambda \) -sistema. Tenga en cuenta eso\( S \cap A = A \in \mathscr{L}\) y por lo tanto\( S \in \mathscr{L}_A \). A continuación, supongamos eso\( B_1, \, B_2 \in \mathscr{L}_A \) y aquello\( B_1 \subseteq B_2 \). Entonces\( B_1 \cap A \in \mathscr{L} \) y\( B_2 \cap A \in \mathscr{L} \) y\( B_1 \cap A \subseteq B_2 \cap A \). De ahí\( (B_2 \setminus B_1) \cap A = (B_2 \cap A) \setminus (B_1 \cap A) \in \mathscr{L} \). De ahí\( B_2 \setminus B_1 \in \mathscr{L}_A \). Por último, supongamos que\( \{B_i: i \in I\} \) se trata de una colección contable y disjunta de conjuntos en\( \mathscr{L}_A \). Entonces\( B_i \cap A \in \mathscr{L} \) para cada uno\( i \in I \), y también\( \{B_i \cap A: i \in I\} \) es una colección disjunta. Por lo tanto,\( \bigcup_{i \in I} (B_i \cap A) = \left(\bigcup_{i \in I} B_i \right) \cap A \in \mathscr{L} \). De ahí\( \bigcup_{i \in I} B_i \in \mathscr{L}_A \).

    Siguiente arreglo\( A \in \mathscr{A} \). Si\( B \in \mathscr{A} \) entonces\( A \cap B \in \mathscr{A} \), así\( A \cap B \in \mathscr{L} \) y por lo tanto\( B \in \mathscr{L}_A \). Pero\( \mathscr{L} \) es el más pequeño\( \lambda \) -sistema que contiene\( \mathscr{A} \) por lo que hemos demostrado que\( \mathscr{L} \subseteq \mathscr{L}_A \) para cada uno\( A \in \mathscr{A} \). Ahora arregla\( B \in \mathscr{L}\). Si\( A \in \mathscr{A} \) entonces es\( B \in \mathscr{L}_A \) así\( A \cap B \in \mathscr{L} \) y por lo tanto\( A \in \mathscr{L}_B \). Nuevamente,\( \mathscr{L} \) es el más pequeño\( \lambda \) -sistema que contiene\( \mathscr{A} \) por lo que ahora hemos demostrado que\( \mathscr{L} \subseteq \mathscr{L}_B \) para cada uno\( B \in \mathscr{L} \). Por último, vamos\( B, \, C \in \mathscr{L} \). Entonces\( C \in \mathscr{L}_B \) y por lo tanto\( B \cap C \in \mathscr{L} \). Ahora se deduce que\( \mathscr{L} \) es un\( \pi \) -sistema, así como un\( \lambda \) -sistema, y por lo tanto por el teorema anterior,\( \mathscr{L} \) es un sigma-álgebra. Pero\( \mathscr{A} \subseteq \mathscr{L} \) y por lo tanto\( \sigma(\mathscr{A}) \subseteq \mathscr{L} \).

    Ejemplos y Casos Especiales

    Supongamos que\( S \) es un conjunto y\( \mathscr{A} \) es una partición finita de\( S \). Entonces\( \mathscr{S} = \{\emptyset\} \cup \mathscr{A} \) es una semiálgebra de subconjuntos de\( S \).

    Prueba

    Si\( A, \, B \in \mathscr{A} \) entonces\( A \cap B = \emptyset \in \mathscr{S} \). Si\( A \in \mathscr{S} \) entonces\( A^c = \bigcup\{B \in \mathscr{A}: B \neq A \}\)

    Espacios Euclideanos

    El siguiente ejemplo es particularmente importante porque se utilizará para construir medidas positivas sobre\( \R \). Let\[ \mathscr{B} = \{(a, b]: a, \, b \in \R, \; a \lt b\} \cup \{(-\infty, b]: b \in \R\} \cup \{(a, \infty): a \in \R \} \]

    \( \mathscr{B} \)es una semiálgebra de subconjuntos de\( \R \).

    Prueba

    Tenga en cuenta que la intersección de dos intervalos del tipo in\( \mathscr{B} \) es otro intervalo de este tipo. El complemento de un intervalo de este tipo es o bien otro intervalo de este tipo o la unión de dos intervalos disjuntos de este tipo.

    Del teorema anterior se deduce que la colección\( \mathscr{A} \) de uniones disjuntas finitas de intervalos en\( \mathscr{B} \) es un álgebra. Recordemos también que\( \sigma(\mathscr{B}) = \sigma(\mathscr{A}) \) es el\( \sigma \) álgebra de Borel\( \R \), llamado así por Émile Borel. Podemos generalizar todo esto\( \R^n \) para\( n \in \N_+ \)

    La colección\( \mathscr{B}_n = \left\{\prod_{i=1}^n A_i: A_i \in \mathscr{B} \text{ for each } i \in \{1, 2, \ldots, n\} \right\} \) es una semiálgebra de subconjuntos de\( \R^n \).

    Recordemos también que\( \sigma(\mathscr{B}_n) \) es la\( \sigma \) -álgebra de Borel conjuntos de\( \R^n \).

    Espacios de Productos

    Los ejemplos en esta discusión son importantes para construir medidas positivas sobre espacios de productos.

    Supongamos que\(\mathscr S\) es una semiálgebra de subconjuntos de un conjunto\( S \) y que\(\mathscr T\) es una semiálgebra de subconjuntos de un conjunto\( T \). Entonces\[ \mathscr U = \{A \times B: A \in \mathscr S, B \in \mathscr T\} \] es una semiálgebra de subconjuntos de\( S \times T \).

    Prueba
    1. Supongamos que\( A \times B, \, C \times D \in \mathscr U \), para que\( A, \, C \in \mathscr S \) y\( B, \, D \in \mathscr T \). Recordemos eso\( (A \times B) \cap (C \times D) = (A \cap C) \times (B \cap D) \). Pero\( A \cap C \in \mathscr S \) y\( B \cap D \in \mathscr T \) así\( (A \times B) \cap (C \times D) \in \mathscr U \).
    2. Supongamos\( A \times B \in \mathscr B \) que para que\( A \in \mathscr S \) y\( B \in \mathscr T \). Entonces\[ (A \times B)^c = (A^c \times B) \cup (A \times B^c) \cup (A^c \times B^c) \] existe una colección finita, disjunta\( \{A_i: i \in I\} \) de conjuntos en\( \mathscr S \) y una colección finita, disjunta\( \{B_j: j \in J\} \) de conjuntos en\( \mathscr T \) tal que\( A^c = \bigcup_{i \in I} A_i\) y\( B^c = \bigcup_{j \in J} B_j \). Por lo tanto,\[ (A \times B)^c = \left[\bigcup_{i \in I} (A_i \times B)\right] \cup \left[\bigcup_{j \in J} (A \times B_j)\right] \cup \left[\bigcup_{i \in I} \bigcup_{j \in J} (A_i \times B_j)\right] \] todos los conjuntos de productos en esta unión están\( \mathscr U \) dentro y los conjuntos de productos son disjuntos.

    Este resultado se extiende de una manera completamente sencilla a un producto de un número finito de juegos.

    Supongamos que\( n \in \N_+ \) y eso\( \mathscr S_i \) es una semiálgebra de subconjuntos de un conjunto\( S_i \) para\( i \in \{1, 2, \ldots, n\} \). Entonces\[ \mathscr U = \left\{\prod_{i=1}^n A_i: A_i \in \mathscr S_i \text{ for all } i \in \{1, 2, \ldots, n\}\right\} \] es una semiálgebra de subconjuntos de\( \prod_{i=1}^n S_i \).

    Obsérvese que la semiálgebra de productos de intervalos\( \R^n \) descritos anteriormente es un caso especial de este resultado. Para el producto de una secuencia infinita de conjuntos, el resultado es un poco más complicado.

    Supongamos que\( \mathscr S_i \) es una semiálgebra de subconjuntos de un conjunto\( S_i \) para\( i \in \N_+ \). Entonces\[ \mathscr U = \left\{\prod_{i=1}^\infty A_i: A_i \in \mathscr S_i \text{ for all } i \in \N_+ \text{ and } A_i = S_i \text{ for all but finitely many } i \in \N_+\right\} \] es una semiálgebra de subconjuntos de\( \prod_{i=1}^n S_i \).

    Prueba

    La prueba es muy parecida a las anteriores.

    1. Supongamos eso\( A = \prod_{i=1}^\infty A_i \in \mathscr U \) y\( B = \prod_{i=1}^\infty B_i \in \mathscr U \),\( A_i, \, B_i \in \mathscr S_i \) para que para\( i \in \N_+ \) y\( A_i = S_i \) para todos menos finitamente muchos\( i \in \N_+ \) y\( B_i = S_i \) para todos menos finitamente muchos\( i \in \N_+ \). Entonces\( A \cap B = \prod_{i=1}^\infty (A_i \cap B_i) \). También,\( A_i \cap B_i \in \mathscr S_i \) para\( i \in \N_+ \) y\( A_i \cap B_i = S_i \) para todos pero finitamente muchos\( in \in \N_+ \). Entonces\( A \cap B \in \mathscr U \).
    2. Supongamos que\( A = \prod_{i=1}^\infty A_i \in \mathscr U \), donde\( A_i \in \mathscr S_i \) para\( i \in \N_+ \) y\( A_i = S_i \) para\( i \gt n \), para algunos\( n \in \N_+ \). Entonces\( A^c = \bigcup_{j=1}^n B_j \) donde\[ B_j = A_1 \times \cdots \times A_{j-1} \times A_j^c \times S_{j+1} \times S_{j+2} \times \cdots, \quad j \in \{1, 2, \ldots, n\}\] Tenga en cuenta que los conjuntos de productos en esta unión son disjuntos. Pero para cada uno\( j \in \{1, 2, \ldots, n\} \) existe una colección finita disjunta\( \{C_{j,k}: k \in K_j\} \) tal que\( A_j^c = \bigcup_{k \in K_j} C_{j,k} \). Sustituir y distribuir luego da\( A^c \) como una unión finita y disjunta de conjuntos en\( \mathscr U \).

    Tenga en cuenta que este resultado no sería cierto con\( \mathscr U = \left\{\prod_{i=1}^\infty A_i: A_i \in \mathscr S_i \text{ for all } i \in \N_+\right\}\). En general, el complemento de un conjunto en\( \mathscr U \) no puede escribirse como una unión finita disjunta de conjuntos en\( \mathscr U \).


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