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5.18: La distribución Beta Prime

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    Teoría Básica

    La distribución beta prime es la distribución de la razón de probabilidades asociada a una variable aleatoria con la distribución beta. Dado que las variables con distribuciones beta se utilizan a menudo para modelar probabilidades y proporciones aleatorias, las odds ratios correspondientes también ocurren naturalmente.

    Definición

    Supongamos que\( U \) tiene la distribución beta con parámetros de forma\( a, \, b \in (0, \infty) \). La variable aleatoria\( X = U \big/ (1 - U) \) tiene la distribución beta prima con parámetros de forma\( a \) y\( b \).

    El caso especial\( a = b = 1 \) se conoce como la distribución beta prime estándar. Dado que\( U \) tiene una distribución continua en el intervalo\( (0, 1) \), la variable aleatoria\( X \) tiene una distribución continua en el intervalo\( (0, \infty) \).

    Funciones de distribución

    Supongamos que\( X \) tiene la distribución beta prime con parámetros de forma\( a, \, b \in (0, \infty) \), y como de costumbre, vamos a\( B \) denotar la función beta.

    \( X \)tiene la función de densidad de probabilidad\( f \) dada por\[ f(x) = \frac{1}{B(a, b)} \frac{x^{a - 1}}{(1 + x)^{a + b}}, \quad x \in (0, \infty) \]

    Prueba

    Primero, recordemos que el PDF beta\( g \) con parámetros\( a \) y\( b \) es\[ g(u) = u^{a-1} (1 - u)^{b-1}, \quad u \in (0, 1) \] La transformación\( x = u \big/ (1 - u) \)\( (0, 1) \) mapea\( (0, \infty) \) y va en aumento. La transformación inversa es\( u = x \big/ (x + 1) \), y\( 1 - u = 1 \big/ (x + 1) \) y\( du / dx = 1 \big/ (x + 1)^2 \). Así, por el cambio de fórmula de variables,\[ f(x) = g(u) \frac{du}{dx} = \frac{1}{B(a, b)} \left(\frac{x}{x+1}\right)^{a-1} \left(\frac{1}{x + 1}\right)^{b-1} \frac{1}{(x + 1)^2} = \frac{1}{B(a, b)} \frac{x^{a-1}}{(x + 1)^{a + b}}, \quad x \in (0, \infty) \]

    Si\( a \ge 1 \), la función de densidad de probabilidad se define en\( x = 0 \), entonces en este caso, es costumbre agregar este punto final al dominio. En particular, para la distribución beta prima estándar,\[ f(x) = \frac{1}{(1 + x)^2}, \quad x \in [0, \infty) \] Cualitativamente, las propiedades de primer orden de la función de densidad de probabilidad\( f \) dependen solo de\( a \), y en particular de si\( a \) es menor que, igual o mayor que 1.

    La función de densidad de probabilidad\( f \) satisface las siguientes propiedades:

    1. Si\( 0 \lt a \lt 1 \),\( f \) es decreciente con\( f(x) \to \infty \) as\( x \downarrow 0 \).
    2. Si\( a = 1 \),\( f \) está disminuyendo con el modo en\( x = 0 \).
    3. Si\( a \gt 1 \),\( f \) aumenta y luego disminuye con el modo en\( x = (a - 1) \big/ (b + 1) \).
    Prueba

    Estas propiedades se derivan del cálculo estándar. La primera derivada de\( f \) es\[ f^\prime(x) = \frac{1}{B(a, b)} \frac{x^{a-2}}{(1 + x)^{a + b + 1}} [(a - 1) - x(b + 1)], \quad x \in (0, \infty) \]

    Cualitativamente, las propiedades de segundo orden de\( f \) también dependen solo de\( a \), con transiciones en\( a = 1 \) y\( a = 2 \).

    Para\( a \gt 1 \), define\ begin {align} x_1 & =\ frac {(a - 1) (b + 2) -\ sqrt {(a - 1) (b + 2) (a + b)}} {(b + 1) (b + 2)}\\ x_2 & =\ frac {(a - 1) (b + 2) +\ sqrt {(a - 1) (+ 2) (a + b)}} {(b + 1) (b + 2)}\ end {align} La función de densidad de probabilidad\( f \) satisface las siguientes propiedades:

    1. Si\( 0 \lt a \le 1 \),\( f \) es cóncava hacia arriba.
    2. Si\( 1 \lt a \le 2 \),\( f \) es cóncava hacia abajo y luego hacia arriba, con punto de inflexión en\( x_2 \).
    3. Si\( a \gt 2 \),\( f \) es cóncavo hacia arriba, luego hacia abajo, luego hacia arriba nuevamente, con puntos de inflexión en\( x_1 \) y\( x_2 \).
    Prueba

    Estos resultados se derivan del cálculo estándar. La segunda derivada de\( f \) es\[ f^{\prime\prime}(x) = \frac{1}{B(a, b)} \frac{x^{a-3}}{(1 + x)^{a + b + 2}}\left[(a - 1)(a - 2) - 2 (a - 1)(b + 2) x + (b + 1)(b + 2)x^2\right], \quad x \in (0, \infty) \]

    Abra el Simulador de distribución especial y seleccione la distribución beta prime. Varíe los parámetros y anote la forma de la función de densidad de probabilidad. Para valores seleccionados de los parámetros, ejecute la simulación 1000 veces y compare la función de densidad empírica con la función de densidad de probabilidad.

    Debido a la definición de la variable beta prima, la función de distribución de\( X \) tiene una expresión simple en términos de la función de distribución beta con los mismos parámetros, que a su vez es la función beta incompleta regularizada. Así que\( G \) denotemos la función de distribución de la distribución beta con parámetros\( a, \, b \in (0, \infty) \), y recordemos que\[ G(x) = \frac{B(x; a, b)}{B(a, b)}, \quad x \in (0, 1) \]

    \( X \)tiene función de distribución\( F \) dada por\[ F(x) = G\left(\frac{x}{x + 1}\right), \quad x \in [0, \infty) \]

    Prueba

    Como se señala en la prueba de la fórmula para el PDF,\( x = u \big/ (1 - u) \) está aumentando estrictamente con la inversa\( u = x \big/ (x + 1) \). De ahí\[ F(x) = \P(X \le x) = \P\left(\frac{U}{U - 1} \le x\right) = \P\left(U \le \frac{x}{x + 1}\right) = G\left(\frac{x}{x + 1}\right), \quad x \in [0, \infty)\]

    De manera similar, la función cuantil de\( X \) tiene una expresión simple en términos de la función cuantil beta\( G^{-1} \) con los mismos parámetros.

    \( X \)tiene función cuantil\( F^{-1} \) dada por\[ F^{-1}(p) = \frac{G^{-1}(p)}{1 - G^{-1}(p)}, \quad p \in [0, 1) \]

    Prueba

    Esto se desprende del resultado para el CDF resolviendo\( p = F(x) = G\left(\frac{x}{x+1}\right) \) para\( x \) en términos de\( p \).

    Abra la Calculadora de Distribución Especial y elija la distribución beta prime. Varíe los parámetros y anote la forma de la función de distribución. Para los valores seleccionados de los parámetros, busque la mediana y el primer y tercer cuartiles.

    Para ciertos valores de los parámetros, las funciones distribution y quantile tienen expresiones de forma simples y cerradas.

    Si\( a \in (0, \infty) \) y\( b = 1 \) entonces

    1. \( F(x) = \left(\frac{x}{x + 1}\right)^a \)para\( x \in [0, \infty) \)
    2. \( F^{-1}(p) = \frac{p^{1/a}}{1 - p^{1/a}} \)para\( p \in [0, 1) \)
    Prueba

    Para\( a \gt 0 \) y\( b = 1 \),\( G(u) = u^a \) para\( u \in [0, 1] \) y\( G^{-1}(p) = p^{1/a} \) para\( p \in [0, 1] \)

    Si\( a = 1 \) y\( b \in (0, \infty) \) entonces

    1. \( F(x) = 1 - \left(\frac{1}{x + 1}\right)^b \)para\( x \in [0, \infty) \)
    2. \( F^{-1}(p) = \frac{1 - (1 - p)^{1/b}}{(1 - p)^{1/b}} \)para\( p \in [0, 1) \)
    Prueba

    Para\( a = 1 \) y\( b \gt 0 \),\( G(u) = 1 - (1 - u)^b \) para\( u \in [0, 1] \) y\( G^{-1}(p) = 1 - (1 - p)^{1/b} \) para\( p \in [0, 1] \).

    Si\( a = b = \frac{1}{2} \) entonces

    1. \( F(x) = \frac{2}{\pi} \arcsin\left(\sqrt{\frac{x}{x + 1}}\right) \)para\( x \in [0, \infty) \)
    2. \( F^{-1}(p) = \frac{\sin^2\left(\frac{\pi}{2} p\right)}{1 - \sin^2\left(\frac{\pi}{2} p\right)} \)para\( p \in [0, 1) \)
    Prueba

    Para\( a = b = \frac{1}{2} \),\( G(u) = \frac{2}{\pi} \arcsin\left(\sqrt{u}\right) \) para\( u \in (0, 1) \) y\( G^{-1}(p) = \sin^2\left(\frac{\pi}{2} p\right) \) para\( p \in [0, 1] \)

    Cuando\( a = b = \frac{1}{2} \),\( X \) es la razón de probabilidades para una variable con la distribución estándar de arcoseno.

    Momentos

    Como antes,\( X \) denota una variable aleatoria con la distribución beta prime, con parámetros\( a, \, b \in (0, \infty) \). Los momentos de\( X \) tienen una expresión simple en cuanto a la función beta.

    Si\( t \in (-a, b) \) entonces\[ \E\left(X^t\right) = \frac{B(a + t, b - t)}{B(a, b)} \] Si\(t \in (-\infty, -a] \cup [b, \infty)\) entonces\( \E(X^t) = \infty \).

    Prueba

    Una vez más, vamos a\( g \) denotar el PDF beta con parámetros\( a \) y\( b \). Con la transformación\( x = u \big/ (1 - u) \), como en la fórmula PDF de prueba, tenemos\( f(x) dx = g(u) du \). De ahí\( t \le -a \) que\[ \int_0^\infty x^t f(x) dx = \int_0^1 \left(\frac{u}{1 - u}\right)^t g(u) du = \frac{1}{B(a, b)} \int_0^1 u^{a + t - 1} (1 - u)^{b - t - 1} du \] si la integral impropia diverge a\( \infty \) en 0. Si\( t \ge b \) la integral impropia diverge a\( \infty \) en 1. Si\( -a \lt t \lt b \) la integral es\( B(a + t, b - t) \) por definición de la función beta.

    Por supuesto, generalmente estamos más interesados en los momentos enteros de\( X \). Recordemos que para\( x \in \R \) y\( n \in \N \), el poder ascendente\( x \) del orden\( n \) es\( x^{[n]} = x (x + 1) \cdots (x + n - 1) \).

    Supongamos que\( n \in \N \). Si\( n \lt b \) Entonces\[ \E\left(X^n\right) = \prod_{k=1}^n \frac{a + k - 1}{b - k} \] Si\( n \ge b \) entonces\( \E\left(X^n\right) = \infty \).

    Prueba

    A partir del momento general resultado,\[ \E(X^n) = \frac{B(a + n, b - n)}{B(a, b)} = \frac{\Gamma(a + n) \Gamma(a - n)}{\Gamma(a + b)} \frac{\Gamma(a + b)}{\Gamma(a) \Gamma(b)} = \frac{\Gamma(a + n)}{\Gamma(a)} \frac{\Gamma(b - n)}{\Gamma(b)} = \frac{a^{[n]}}{(b - n)^{[n]}} \] por una propiedad básica de la función gamma.

    Como corolario, tenemos la media y varianza.

    Si\( b \gt 1 \) entonces\[ \E(X) = \frac{a}{b - 1} \]

    Si\( b \gt 2 \) entonces\[ \var(X) = \frac{a (a + b - 1)}{(b - 1)^2 (b - 2)} \]

    Prueba

    Esto se desprende del resultado general del momento anterior y de la fórmula computacional\( \var(X) = \E\left(X^2\right) = [\E(X)]^2 \).

    Abra el Simulador de distribución especial y seleccione la distribución beta prime. Varíe los parámetros y anote el tamaño y la ubicación de la barra de desviación\(\pm\) estándar media. Para valores seleccionados de los parámetros, ejecute la simulación 1000 veces y compare la media empírica y la desviación estándar con la media de distribución y la desviación estándar.

    Finalmente, el resultado del momento general conduce a la asimetría y curtosis de\( X \).

    Si\( b \gt 3 \) entonces\[ \skw(X) = \frac{2 (2 a + b - 1)}{b - 3} \sqrt{\frac{b - 2}{a (a + b - 1)}}\]

    Prueba

    Esto se desprende de la fórmula computacional habitual para la asimetría en términos de los momentos\( \E(X^n) \) para\( n \in \{1, 2, 3\} \) y el resultado general del momento anterior.

    En particular, la distribución está sesgada positivamente para todos\( a \gt 0 \) y\( b \gt 3 \).

    Si\( b \gt 4 \) entonces\[ \kur(X) = \frac{3 a^3 b^2 + 69 a^3 b - 30 a^3 + 6 a^2 b^3 +12 a^2 b^2 -78 a^2 b +60 a^2 + 3 a b^4 + 9 a b^3 - 69 a b^2 + 99 a b - 42 a + 6 b^4 - 30 b^3 + 54 b^2- 42 b + 12}{(a + b - 1)(b - 3)(b - 4)} \]

    Prueba

    Esto se desprende de la fórmula computacional habitual para la curtosis en términos de los momentos\( \E(X^n) \) para\( n \in \{1, 2, 3, 4\} \) y el resultado general del momento anterior.

    Distribuciones Relacionadas

    La conexión más importante es la que existe entre la distribución beta prime y la distribución beta dada en la definición. Esto lo repetimos para énfasis.

    Supongamos que\( a, \, b \in (0, \infty) \).

    1. Si\( U \) tiene la distribución beta con parámetros\( a \) y\( b \), entonces\( X = U \big/ (1 - U) \) tiene la distribución beta prime con parámetros\( a \) y\( b \).
    2. Si\( X \) tiene la distribución beta prime con parámetros\( a \) y\( b \), entonces\( U = X \big/ (X + 1) \) tiene la distribución beta con parámetros\( a \) y\( b \).

    La familia beta prime se cierra bajo la transformación recíproca.

    Si\( X \) tiene la distribución beta prime con parámetros\( a, \, b \in (0, \infty) \) entonces\( 1 / X \) tiene la distribución beta prime con parámetros\( b \) y\( a \).

    Prueba

    Una prueba directa usando la fórmula de cambio de variables es posible, por supuesto, pero una mejor prueba utiliza una propiedad correspondiente de la distribución beta. Por definición, podemos tomar\( X = U \big/ (1 - U) \) donde\( U \) tiene la distribución beta con parámetros\( a \) y\( b \). Pero entonces\( 1/X = (1 - U) \big/ U \), y\( 1 - U \) tiene la distribución beta con parámetros\( b \) y\( a \). Por otra aplicación de la definición,\( 1/X \) tiene la distribución beta prime con parámetros\( b \) y\( a \).

    La distribución beta prime está estrechamente relacionada con la\( F \) distribución mediante una simple transformación a escala.

    Conexiones con\( F \) las distribuciones.

    1. Si\( X \) tiene la distribución beta prima con parámetros\( a, \, b \in (0, \infty) \) entonces\( Y = \frac{b}{a} X \) tiene la\( F \) distribución con\( 2 a \) grados de libertad en el numerador y\( 2 b \) grados de libertad en el denominador.
    2. Si\( Y \) tiene la\( F \) distribución con\( n \in (0, \infty) \) grados de libertad en el numerador y\( d \in (0, \infty) \) grados de libertad en el denominador, entonces\( X = \frac{n}{d} Y \) tiene la distribución beta prime con parámetros\( n/2 \) y\( d/2 \).
    Prueba

    Dejar\( f \) denotar el PDF de\( X \) y\( g \) el PDF de\( Y \).

    1. Por el cambio de fórmula de variables,\[ g(y) = \frac{a}{b} f\left(\frac{a}{b} y\right), \quad x \in (0, \infty) \] Sustituir en el PDF primo beta muestra que\( Y \) tiene la\( F \) distribución adecuada.
    2. Nuevamente usando la fórmula de cambio de variables,\[ f(x) = \frac{d}{n} g\left(\frac{d}{n} x\right), \quad x \in (0, \infty) \] Sustituyendo en el\( F \) PDF muestra que\( X \) tiene el PDF beta prime apropiado.

    El primo beta es la distribución de la relación de variables independientes con distribuciones gamma estándar. (Recordemos que estándar aquí significa que el parámetro de escala es 1.)

    Supongamos que\( Y \) y\( Z \) son independientes y tienen distribuciones gamma estándar con parámetros de forma\( a \in (0, \infty) \) y\( b \in (0, \infty) \), respectivamente. Después\( X = Y / Z \) tiene la distribución beta prime con parámetros\( a \) y\( b \).

    Prueba

    Por supuesto, se puede construir una prueba directa, pero un mejor enfoque es usar el resultado anterior. Así supongamos que\( Y \) y\( Z \) son como se afirma en el teorema. Entonces\( 2 Y \) y\( 2 Z \) son variables chi-cuadradas independientes con\( 2 a \) y\( 2 b \) grados de libertad, respectivamente. De ahí que\[ W = \frac{Y / 2a}{Z / 2b} \] tenga la\( F \) distribución con\( 2 a \) grados de libertad en el numerador y\( 2 b \) grados de libertad en el denominador. Por el resultado anterior,\[ X = \frac{2 a}{2 b} W = \frac{Y}{Z} \] tiene la distribución beta prime con parámetros\( a \) y\( b \).

    La distribución beta prime estándar es la misma que la distribución log-logística estándar.

    Prueba

    El PDF de la distribución beta prime estándar es\( f(x) = 1 \big/ (1 + x)^2 \) para\( x \in [0, \infty) \), que es el mismo que el PDF de la distribución log-logística estándar.

    Finalmente, la distribución beta prime es un miembro de la familia exponencial general de distribuciones.

    Supongamos que\( X \) tiene la distribución beta prime con parámetros\( a, \, b \in (0, \infty) \). Después\( X \) tiene una distribución exponencial general de dos parámetros con parámetros naturales\( a - 1 \) y\( -(a + b) \) y estadísticas naturales\( \ln(X) \) y\( \ln(1 + X) \).

    Prueba

    Esto se desprende de la definición de la familia exponencial general, ya que el PDF se puede escribir en la forma\[ f(x) = \frac{1}{B(a, b)} \exp[(a - 1) \ln(x) - (a + b) \ln(1 + x)], \quad x \in (0, \infty) \]


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